Викиконспекты ПМ-ПУ - Вклад [ru]

Ортогональные матрицы

2024-11-26T09:54:24Z

St001214: Новая страница: «{{Определение |definition=Квадратная матрица $A$ с вещественными элементами называется ортого...»

{{Определение
|definition=Квадратная матрица $A$ с вещественными элементами называется ортогональной, если ее обратная матрица совпадает с транспонированной, то есть $A^{-1} =A^{T} $.
}}

Пусть произвольная квадратная матрица $A=\{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{n,n} $ является ортогональной. Соответствующая транспонированная матрица $A^{T} =\{ \delta_{jk} \}_{j,k=1}^{n,n}$, причем по определению $\delta_{jk} =\alpha_{kj} $. Вычислим произведение $AA^{T} =\left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \delta_{jk} \right\}_{i,k=1}^{n,n} = \left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \alpha_{kj} \right\}_{i,k=1}^{n,n} $. Поскольку $A$ является ортогональной матрицей, то $AA^{T} =AA^{-1} =E$. Сравнивая поэлементно матрицы $AA^{T} $ и $E$, получаем, что если $i\ne k$, то $\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \alpha_{kj} = 0$, а в случае $i=k$, имеем $\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij}^{2} =1$.

Таким образом, у ортогональной матрицы сумма квадратов элементов одной строки равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух разных строк равна нулю. Если $a_{i} $ есть $i$-я строка матрицы $A=[a_1, a_2, ..., a_n ]$, то условие $AA^{T} =E$ эквивалентно соотношению $a_{i} a_{j}^{T} = \left[\begin{array}{l} {1, i=j;} \\ {0, i\ne j.} \end{array}\right. $
{{Определение
|definition=Строка матрицы $A$ называется нормированной, если $a_{i} a_{i}^{T} =1$.
}}
{{Определение
|definition=Две строки матрицы $A$ называются ортогональными, если $a_{i} a_{j}^{T} =0$.
}}
Таким образом, у ортогональной матрицы все строки нормированные и попарно ортогональные между собой.

По определению ортогональной матрицы $A^{-1} =A^{T}$, следовательно, $A^{T} A=E$. Поэтому, если $a^{i} $ {{---}} $i$-й столбец матрицы $A$, $i=\overline{1,n}$, то
$\left(a^{i} \right)^{T} a^{j} =\left[\begin{array}{l} {1, i=j;} \\ {0, i\ne j.} \end{array}\right.$

Таким образом, у ортогональной матрицы все столбцы нормированные и попарно ортогональные между собой.

Очевидно, что если матрица $A$ ортогональная, то и транспонированная матрица $A^{T}$ также является ортогональной матрицей.

Простейшим примером ортогональной матрицы служит единичная матрица $E$, так как $EE^{T} =E^{T} E=E$.
{{Теорема
|statement=Пусть $A$ {{---}} ортогональная матрица. Тогда обратная матрица $A^{-1}$ являются ортогональной матрицей.
|proof= По условию матрица $A$ является ортогональной, следовательно, матрица $A^{T}$ {{---}} ортогональная. По определению $A^{T} =A^{-1}$, поэтому $A^{-1}$ {{---}} ортогональная матрица.
}}
{{Теорема
|statement=Пусть $A_1$, $A_2 $ {{---}} ортогональные матрицы. Тогда ортогональной матрицей является произведение $A_1 A_2$.
|proof= Рассмотрим произведение $A_1 A_2 \left(A_1 A_2 \right)^{T}$, имеем $A_1 A_2 (A_1 A_2)^{T} =A_1 A_2 A_2^{T} A_1^{T} =A_1 EA_1^{T} =A_1 A_1^{T} =E, $ поэтому $A_1 A_2 $ {{---}} ортогональная матрица.
}}
{{Теорема
|statement=Квадрат определителя ортогональной матрицы равен единице.
|proof= Пусть $A$ является ортогональной матрицей.
По определению ортогональной матрицы $AA^{T} = E$, то $\det \left(AA^{T} \right)=\det E$, отсюда $\det A\det A^{T} =1$, поэтому окончательно имеем $\left(\det A\right)^{2} =1$.
}}

Перестановки

2024-11-26T09:36:46Z

St001214:

Пусть $a=\{ 1, 2, ..., n-1, n\}$ последовательность натуральных чисел, а $b=\{ j_{1}, j_2, ..., j_n\}$ {{---}} последовательность тех же чисел, но взятых в другом (том же) порядке.
{{Определение
|definition=Последовательность $b$ называется перестановкой последовательности $a$.
}}
{{Лемма
|statement=Число различных перестановок последовательности a равно $n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1$.
|proof= Так как среди чисел $j_{1}, j_2, ..., j_n$ нет одинаковых, то в качестве первого числа $j_{1}$ можно взять любое из чисел от 1 до $n$. Поэтому имеем ровно $n$ вариантов выбора. В качестве второго числа $j_2$ можно взять любое из $n-1$ оставшихся, то есть имеем $n-1$ вариантов выбора. Таким образом, получаем $n(n-1)$ различных способов выбора первых двух элементов. Продолжая аналогичные рассуждения, убеждаемся, что число различных перестановок из $n$ чисел равно $n!$.
}}
{{Определение
|definition=Будем говорить, что пара элементов $(j_{k}, j_{m})$, $k<m$, перестановки $b$ образует инверсию, если $j_{k} > j_{m}$. Число всех пар перестановки $b$, образующих инверсию, называется числом инверсий в $b$ и обозначается $inv\{b\}$.
}}
{{Определение
|definition=Перестановка, содержащая четное число инверсий, называется четной, а нечетное число {{---}} нечетной.
}}
{{Определение
|definition=Если в некоторой перестановке $j$-й и $k$-й элементы поменять местами, оставив без изменения положение остальных $n-2$ элементов, то такая операция называется транспозицией и обозначается $(j, k)$.
}}
{{Теорема
|statement=Пусть в некоторой перестановке сделана транспозиция. Полученная перестановка приводится к исходной в результате нечетного числа транспозиций соседних элементов.
|proof= Пусть дана некоторая перестановка $\{j_{1}, ..., j_{k}, ..., j_{s}, ..., j_n\}$. Допустим, что в результате транспозиции $(k, s)$ элементы $j_{k}$ и $j_{s}$ поменялись местами. Число элементов между ними равно $s-k-1$. Меняем местами $j_{k+1}$ и $j_{s}$, затем $j_{k+2}$ и $j_{s}$ и так далее После $s-k-1$ транспозиций получаем перестановку $\{ j_{1}, ..., j_{k-1}, j_{k+1}, ..., j_{s}, j_{k}, j_{s+1}, ..., j_n \} $. Меняем теперь местами $j_{k}$ и $j_{s}$, потом $j_{k}$ и $j_{s-1}$ и так далее В результате $s-k$ транспозиций приходим к исходной перестановке. Всего совершено нечетное число $2(s-k)-1$ транспозиций соседних элементов.
}}
{{Теорема
|statement=При транспозиции соседних элементов число инверсий в перестановке меняется на единицу.
|proof= Допустим, что в перестановке $a=\{ j_{1}, ..., j_{k}, j_{k+1}, ..., j_n \} $ сделана транспозиция $(k, k+1)$, получаем $b=\{ j_{1}, ..., j_{k+1}, j_{k}, ..., j_n \}$. Понятно, что число инверсий в перестановках, не содержащих элементы $j_{k}$ и $j_{k+1}$, совпадают. Больше того, если из перестановок $a$ и $b$ исключить один из этих элементов, то число инверсий в оставшихся перестановках также будут совпадать, поскольку каждый из них не меняет своего положения относительно других элементов. Тогда становится очевидным, что если $j_{k} >j_{k+1} $, то $inv \{a\} = inv \{b\} + 1$, тогда как в случае $j_{k} <j_{k+1} $ имеем $inv \{b\} = inv \{a\} + 1$.
}}
{{Следствие
|statement=При транспозиции соседних элементов четная перестановка становится нечетной, а нечетная {{---}} четной.
}}
{{Следствие
|statement=Любая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.
}}
{{Теорема
|statement=Число четных перестановок всегда совпадает с числом нечетных.
|proof= Допустим, что число четных перестановок равно $p$, а число нечетных $q$. Если во всех четных перестановках сделать транспозицию $(1, 2)$, то получим $p$ нечетных перестановок, следовательно, $p\le q$. С другой стороны, если во всех нечетных перестановках также произвести транспозицию $(1, 2)$, то получаем $q$ четных. Но по условию всего их было $p$, поэтому $q\le p$. Отсюда следует, что $p=q$.
}}
{{Теорема
|statement=Любая перестановка может быть получена из любой другой посредством нескольких транспозиций.
|proof= Доказательство проведем методом математической индукции. Если $n=2$, то утверждение очевидно. Пусть теорема доказана для случая, когда в перестановке $n-1$ элементов. Докажем утверждение, когда элементов $n$.

Рассмотрим две произвольные перестановки $a=\{\alpha_{1}, \alpha_2, ..., \alpha_n\} $ и $b=\{\beta_{1}, \beta_2, ..., \beta_n\}$. Если $\alpha_{1} =\beta_{1}$, то поскольку перестановки $\{ \alpha_2, \alpha_3, ..., \alpha_n \} $ и $\{ \beta_2, \beta_3, ..., \beta_n \} $ содержат $n-1$ элементов, то в соответствии с индукционным предположением посредством нескольких транспозиций одна из них приводится к другой.

Пусть $\alpha_{1} \ne \beta_{1}$, но, понятно, что существует такой элемент $\beta_{j}$, что $\alpha_{1} =\beta_{j} $. Если сделать транспозицию $(1, j)$ в $b$, то получаем перестановку, в которой первый элемент совпадает с первым элементом $a$. Таким образом, приходим к уже рассмотренному случаю.
}}

Перестановки

2024-11-26T09:36:09Z

St001214: Новая страница: «Пусть $a=\{ 1, 2, ..., n-1, n\}$ последовательность натуральных чисел, а $b=\{ j_{1}, j_2, ..., j_n\}$ {{---}} после...»

Пусть $a=\{ 1, 2, ..., n-1, n\}$ последовательность натуральных чисел, а $b=\{ j_{1}, j_2, ..., j_n\}$ {{---}} последовательность тех же чисел, но взятых в другом (том же) порядке.

{{Определение
|definition=Последовательность $b$ называется перестановкой последовательности $a$.
}}

{{Лемма
|statement=Число различных перестановок последовательности a равно $n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1$.
|proof= Так как среди чисел $j_{1}, j_2, ..., j_n$ нет одинаковых, то в качестве первого числа $j_{1}$ можно взять любое из чисел от 1 до $n$. Поэтому имеем ровно $n$ вариантов выбора. В качестве второго числа $j_2$ можно взять любое из $n-1$ оставшихся, то есть имеем $n-1$ вариантов выбора. Таким образом, получаем $n(n-1)$ различных способов выбора первых двух элементов. Продолжая аналогичные рассуждения, убеждаемся, что число различных перестановок из $n$ чисел равно $n!$.
}}

{{Определение
|definition=Будем говорить, что пара элементов $(j_{k}, j_{m})$, $k<m$, перестановки $b$ образует инверсию, если $j_{k} > j_{m}$. Число всех пар перестановки $b$, образующих инверсию, называется числом инверсий в $b$ и обозначается $inv\{b\}$.
}}

{{Определение
|definition=Перестановка, содержащая четное число инверсий, называется четной, а нечетное число {{---}} нечетной.
}}

{{Определение
|definition=Если в некоторой перестановке $j$-й и $k$-й элементы поменять местами, оставив без изменения положение остальных $n-2$ элементов, то такая операция называется транспозицией и обозначается $(j, k)$.
}}

{{Теорема
|statement=Пусть в некоторой перестановке сделана транспозиция. Полученная перестановка приводится к исходной в результате нечетного числа транспозиций соседних элементов.
|proof= Пусть дана некоторая перестановка $\{j_{1}, ..., j_{k}, ..., j_{s}, ..., j_n\}$. Допустим, что в результате транспозиции $(k, s)$ элементы $j_{k}$ и $j_{s}$ поменялись местами. Число элементов между ними равно $s-k-1$. Меняем местами $j_{k+1}$ и $j_{s}$, затем $j_{k+2}$ и $j_{s}$ и так далее После $s-k-1$ транспозиций получаем перестановку $\{ j_{1}, ..., j_{k-1}, j_{k+1}, ..., j_{s}, j_{k}, j_{s+1}, ..., j_n \} $. Меняем теперь местами $j_{k}$ и $j_{s}$, потом $j_{k}$ и $j_{s-1}$ и так далее В результате $s-k$ транспозиций приходим к исходной перестановке. Всего совершено нечетное число $2(s-k)-1$ транспозиций соседних элементов.
}}

{{Теорема
|statement=При транспозиции соседних элементов число инверсий в перестановке меняется на единицу.
|proof= Допустим, что в перестановке $a=\{ j_{1}, ..., j_{k}, j_{k+1}, ..., j_n \} $ сделана транспозиция $(k, k+1)$, получаем $b=\{ j_{1}, ..., j_{k+1}, j_{k}, ..., j_n \}$. Понятно, что число инверсий в перестановках, не содержащих элементы $j_{k}$ и $j_{k+1}$, совпадают. Больше того, если из перестановок $a$ и $b$ исключить один из этих элементов, то число инверсий в оставшихся перестановках также будут совпадать, поскольку каждый из них не меняет своего положения относительно других элементов. Тогда становится очевидным, что если $j_{k} >j_{k+1} $, то $inv \{a\} = inv \{b\} + 1$, тогда как в случае $j_{k} <j_{k+1} $ имеем $inv \{b\} = inv \{a\} + 1$.
}}

{{Следствие
|statement=При транспозиции соседних элементов четная перестановка становится нечетной, а нечетная {{---}} четной.
}}

{{Следствие
|statement=Любая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.
}}

{{Теорема
|statement=Число четных перестановок всегда совпадает с числом нечетных.
|proof= Допустим, что число четных перестановок равно $p$, а число нечетных $q$. Если во всех четных перестановках сделать транспозицию $(1, 2)$, то получим $p$ нечетных перестановок, следовательно, $p\le q$. С другой стороны, если во всех нечетных перестановках также произвести транспозицию $(1, 2)$, то получаем $q$ четных. Но по условию всего их было $p$, поэтому $q\le p$. Отсюда следует, что $p=q$.
}}

{{Теорема
|statement=Любая перестановка может быть получена из любой другой посредством нескольких транспозиций.
|proof= Доказательство проведем методом математической индукции. Если $n=2$, то утверждение очевидно. Пусть теорема доказана для случая, когда в перестановке $n-1$ элементов. Докажем утверждение, когда элементов $n$.

Рассмотрим две произвольные перестановки $a=\{\alpha_{1}, \alpha_2, ..., \alpha_n\} $ и $b=\{\beta_{1}, \beta_2, ..., \beta_n\}$. Если $\alpha_{1} =\beta_{1}$, то поскольку перестановки $\{ \alpha_2, \alpha_3, ..., \alpha_n \} $ и $\{ \beta_2, \beta_3, ..., \beta_n \} $ содержат $n-1$ элементов, то в соответствии с индукционным предположением посредством нескольких транспозиций одна из них приводится к другой.

Пусть $\alpha_{1} \ne \beta_{1}$, но, понятно, что существует такой элемент $\beta_{j}$, что $\alpha_{1} =\beta_{j} $. Если сделать транспозицию $(1, j)$ в $b$, то получаем перестановку, в которой первый элемент совпадает с первым элементом $a$. Таким образом, приходим к уже рассмотренному случаю.
}}

Генеалогическое древо языков программирования

2022-10-29T19:25:21Z

St001214: Новая страница: «<graphviz> digraph languages { node [fontsize=10, shape = plaintext]; 1957->1958; 1958->1959; 1959->1960; 1960->1961; 1961->1962; 1962->1963; 196...»

<graphviz>
digraph languages {
node [fontsize=10, shape = plaintext];
1957->1958;
1958->1959;
1959->1960;
1960->1961;
1961->1962;
1962->1963;
1963->1964;
1964->1965;
1965->1966;
1966->1967;
1967->1968;
1968->1969;
1969->1970;
1970->1971;
1971->1972;
1972->1973;
1973->1974;
1974->1975;
1975->1976;
1976->1977;
1977->1978;
1978->1979;
1979->1980;
1980->1981;
1981->1982;
1982->1983;
1983->1984;
1984->1985;
1985->1986;
1986->1987;
1987->1988;
1988->1989;
1989->1990;
1990->1991;
1991->1992;
1992->1993;
1993->1994;
1994->1995;
1995->1996;
1996->1997;
1997->1998;
1998->1999;
1999->2000;
2000->2001;
2001->future;

node [fontsize=10, shape = plaintext];
"Fortran I";
"FLOW-MATIC";
"Fortran II";
"ALGOL 58";
LISP;
"ALGOL 60";
APL;
COBOL;
"Fortran IV";
CPL;
"SIMULA I";
SNOBOL;
BASIC;
"PL/I";
"ALGOL W";
"SIMULA 67";
"ALGOL 68";
"BCPL";
B;
Pascal;
C;
Prolog;
Scheme;
"MODULA-2";
"Fortran 77";
awk;
ML;
"Smalltalk 80"
ICON;
"Ada 83";
Miranda;
"COMMON LISP";
"Objective-C";
"C++";
Perl;
"MODULA-3";
Oberon;
QuickBASIC;
Haskell;
"ANSI C (C89)";
"Fortran 90";
Eiffel;
"Visual BASIC";
Python;
Lua;
PHP;
Java;
Ruby;
"Fortran 95";
"Ada 95";
Javascript;
C99;
"C#";
"Python 2.0";
"Visual Basic.NET";

{ rank=same; 1957 "Fortran I" "FLOW-MATIC";}
{ rank=same; 1958 "Fortran II" "ALGOL 58";}
{ rank=same; 1959 LISP;}
{ rank=same; 1960 "ALGOL 60" APL COBOL;}
{ rank=same; 1962 "Fortran IV" CPL;}
{ rank=same; 1963 "SIMULA I" SNOBOL;}
{ rank=same; 1964 BASIC "PL/I";}
{ rank=same; 1966 "ALGOL W";}
{ rank=same; 1967 "SIMULA 67";}
{ rank=same; 1968 "ALGOL 68";}
{ rank=same; 1969 "BCPL";}
{ rank=same; 1970 B;}
{ rank=same; 1971 Pascal C;}
{ rank=same; 1973 Prolog;}
{ rank=same; 1975 Scheme;}
{ rank=same; 1977 "MODULA-2";}
{ rank=same; 1978 "Fortran 77" awk ML;}
{ rank=same; 1980 "Smalltalk 80";}
{ rank=same; 1982 ICON;}
{ rank=same; 1983 "Ada 83" Miranda;}
{ rank=same; 1984 "COMMON LISP" "Objective-C";}
{ rank=same; 1985 "C++";}
{ rank=same; 1986 Perl;}
{ rank=same; 1987 "MODULA-3";}
{ rank=same; 1988 Oberon QuickBASIC Haskell;}
{ rank=same; 1989 "ANSI C (C89)";}
{ rank=same; 1990 "Fortran 90" Eiffel "Visual BASIC";}
{ rank=same; 1991 Python;}
{ rank=same; 1994 Lua PHP Java;}
{ rank=same; 1995 "Fortran 95" "Ada 95" Ruby;}
{ rank=same; 1997 Javascript;}
{ rank=same; 1999 C99;}
{ rank=same; 2000 "C#" "Python 2.0";}
{ rank=same; 2001 "Visual Basic.NET";}

"Fortran I"->"Fortran II";
"Fortran I"->"ALGOL 58";
"ALGOL 58"->"ALGOL 60";
"FLOW-MATIC"->COBOL;
"Fortran II"->"Fortran IV";
"ALGOL 60"->"SIMULA I";
"Fortran IV"->BASIC;
"ALGOL 60"->BASIC;
"ALGOL 60"->"PL/I";
COBOL->"PL/I";
"ALGOL 60"->"ALGOL W";
"SIMULA I"->"SIMULA 67";
"ALGOL 60"->"ALGOL 68";
CPL->"BCPL";
"BCPL"->B;
B->C;
"ALGOL 68"->C;
LISP->Scheme;
Pascal->"MODULA-2";
"Fortran IV"->"Fortran 77";
SNOBOL->awk;
Pascal->ML;
LISP->ML;
"SIMULA 67"->"Smalltalk 80";
SNOBOL->ICON;
Pascal->"Ada 83";
ML->Miranda;
Scheme->"COMMON LISP";
"Smalltalk 80"->"Objective-C";
C->"Objective-C";
C->"C++";
"SIMULA 67"->"C++";
awk->Perl;
"MODULA-2"->"MODULA-3";
"MODULA-2"->Oberon;
BASIC->QuickBASIC;
"COMMON LISP"->Haskell;
C->"ANSI C (C89)";
"C++"->"ANSI C (C89)";
"Fortran 77"->"Fortran 90";
"Ada 83"->Eiffel;
"SIMULA 67"->Eiffel;
QuickBASIC->"Visual BASIC";
"ANSI C (C89)"->Python;
"MODULA-3"->Python;
Perl->PHP;
"C++"->Java;
"Fortran 90"->"Fortran 95";
"Ada 83"->"Ada 95";
"Smalltalk 80"->Ruby;
Perl->Ruby;
Perl->Javascript;
"ANSI C (C89)"->C99;
Java->"C#";
"C++"->"C#";
Python->"Python 2.0";
"Visual BASIC"->"Visual Basic.NET";

edge [style=invis];
1973->Prolog;
1960->APL;
1994->Lua;

}
</graphviz>

Языки программирования

2022-10-29T17:58:31Z

St001214: Новая страница: «* Генеалогическое древо языков программирования»

* [[Генеалогическое древо языков программирования]]

Наибольший общий делитель полиномов

2022-07-11T21:29:23Z

St001214: Новая страница: «{{Определение |definition=Полином <math>g(x)</math> называется '''общим делителем''' двух полиномов $f_{0}...»

{{Определение
|definition=Полином <math>g(x)</math> называется '''общим делителем''' двух полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$, если $f_{0} \vdots g$, $f_{1} \vdots g$.
}}

{{Определение
|definition=Общий делитель $d(x)$ полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$ называется '''наибольшим общим делителем''' (НОД), если $d(x)$ делится нацело на любой другой общий делитель этих полиномов.
}}

{{Определение
|definition=Полиномы $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$ называются '''взаимно простыми''', если они не имеют общих делителей положительных степеней.
}}

{{Лемма
|statement=Наибольший общий делитель двух полиномов определяется с точностью до постоянного сомножителя.
|proof=Пусть даны два различных наибольших общих делителя $d_{0} (x)$ и $d_{1} (x)$ полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$.

По определению НОД $d_{0} (x) = h_{1} (x)d_{1} (x)$, а $d_{1} (x)=h_{0} (x)d_{0} (x)$. Следовательно, $d_{0} (x)=h_{1} (x)h_{0} (x)d_{0} (x)$, поэтому $\deg [h_{0} (x)h_{1} (x)]=0$, отсюда $\deg h_{0} (x)=\deg h_{1} (x)=0$, т. е. полиномы $h_{0} (x)$ и $h_{1} (x)$ являются константами.
}}

== Алгоритм Евклида ==
Приведем конструктивный способ построения НОД двух полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$, который называется алгоритмом Евклида.

Пусть для определенности $\deg f_{0} (x)\ge \deg f_{1} (x)$. Делим полином $f_{0} (x)$ на полином $f_{1} (x)$ с остатком, получаем $f_{0} (x)=f_{1} (x)q_{1} (x)+r_{1} (x)$. Теперь полином $f_{1} (x)$ делим на остаток от деления $r_{1} (x)$, имеем $f_{1} (x)=r_{1} (x)q_{2} (x)+r_{2} (x)$. Затем полином $r_{1} (x)$ делим на $r_{2} (x)$ и т. д. В итоге получаем цепочку равенств:
\begin{align}
f_{0} &= f_{1} q_{1} +r_{1},\\
f_{1} &= r_{1} q_{2} +r_{2},\\
r_{1} &= r_{2} q_{3} +r_{3},\\ &...,\\
r_{k-2} &= r_{k-1} q_{k} +r_{k},\\
r_{k-1} &= r_{k} q_{k+1}.
\end{align}
Так как $\deg r_{1} >\deg r_{2} >\cdots >\deg r_{k-1} >\deg r_{k} $, то цепочка равенств конечна и в ней существует звено, в котором деление осуществляется нацело. Докажем, что полином $r_{k} (x)$ является наибольшим общим делителем полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$.

Действительно, поскольку $r_{k-1} \vdots r_{k} $, то оба слагаемых в правой части соотношения $r_{k-2} =r_{k-1} q_{k} +r_{k}$ делятся на $r_{k} (x)$, поэтому $r_{k-2} \vdots r_{k}$. Продолжая подобные рассуждения и передвигаясь по цепочке, получаем, что $f_{1} \vdots r_{k} $, $f_{0} \vdots r_{k} $. Таким образом, $r_{k} (x)$ является общим делителем полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$.

Пусть $d(x)$ {{---}} произвольный общий делитель указанных полиномов. В силу первого равенства цепочки $f_{0} =f_{1} q_{1} +r_{1}$ остаток от деления $r_{1} (x)$ делится нацело на полином $d(x)$. Тогда из второго равенства $f_{1} =r_{1} q_{2} +r_{2} $ следует, что $r_{2} \vdots d$. Рассуждая аналогично и перебирая последовательно все равенства, в итоге имеем $r_{k} \vdots d$. В силу произвольности $d(x)$ и в соответствии с определением НОД получаем, что $r_{k} (x)$ {{---}} наибольший общий делитель полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$.

{{Теорема
|statement=Если $d(x)$ {{---}} это наибольший общий делитель полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$, то существуют такие полиномы $u_{0} (x)$ и $u_{1} (x)$, что
$d(x) = u_{0} (x)f_{0} (x)+u_{1} (x)f_{1} (x)$.
|proof=В соответствии с алгоритмом Евклида $d(x)=r_{k} (x)$. Но $r_{k} =r_{k-2} -r_{k-1} q_{k} =a_{1}^{(k-2)} r_{k-2} +a_{2}^{(k-1)} r_{k-1}$, где $a_{1}^{(k-2)} =1$, $a_{2}^{(k-1)} =-q_{k} $.

Из алгоритма Евклида следует, что $r_{k-1} =r_{k-3} -r_{k-2} q_{k-1}$. Поэтому, подставляя в выражение для $r_{k}$, получаем $r_{k} =a_{1}^{(k-2)} r_{k-2} +a_{2}^{(k-1)} [r_{k-3} -r_{k-2} q_{k-1} ]= a_{1}^{(k-3)} r_{k-3} +a_{2}^{(k-2)} r_{k-2} $, где $a_{1}^{(k-3)} =a_{2}^{(k-1)} $, $a_{2}^{(k-2)} =a_{1}^{(k-2)} -a_{2}^{(k-1)} q_{k-1} $.

Далее заменяем $r_{k-2} $ и т.д. В итоге будем иметь, что $r_{k} =a_{1}^{(1)} r_{1} +a_{2}^{(2)} r_{2} $. Но $r_{1} =f_{0} -f_{1} q_{1} $, а $r_{2} =f_{1} -r_{1} q_{2} =f_{1} -(f_{0} -f_{1} q_{1} )q_{2} $.

Поэтому окончательно имеем
$r_{k} =a_{1}^{(1)} (f_{0} -f_{1} q_{1} )+a_{2}^{(2)} [f_{1} -(f_{0} -f_{1} q_{1} )q_{2} ]=u_{0} f_{0} +u_{1} f_{1},$
где $u_{0} =a_{1}^{(1)} -a_{2}^{(2)} q_{2} $, $u_{1} =-a_{1}^{(1)} q_{1} +a_{2}^{(2)} (1+q_{1} q_{2} )$.
}}

{{Следствие
|statement=Полиномы $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$ взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют полиномы $u_{0} (x)$ и $u_{1} (x)$, для которых
$u_{0}(x) f_{0}(x) + u_{1}(x) f_{1}(x) = 1$.
}}

{{Следствие
|statement=Если полином $f_{0} (x)$ взаимно прост с каждым из полиномов $f_{1} (x)$ и $f_{2} (x)$, то он взаимно прост и с их произведением $f_{1} (x)f_{2} (x)$.
|proof= Так как $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$ взаимно просты, то существуют такие полиномы $u_{0} (x)$ и $u_{1} (x)$, что справедливо $u_{0} (x)f_{0} (x)+u_{1} (x)f_{1} (x)=1$. Умножим обе части последнего соотношения на $f_{2} (x)$, получаем $[u_{0} (x)f_{2} (x)]f_{0} (x)+u_{1} (x)[f_{1} (x)f_{2} (x)]=f_{2} (x)$. Если предположить, что полиномы $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)f_{2} (x)$ имеют общий делитель положительной степени, то он должен быть делителем и полинома $f_{2} (x)$. Но по условию $f_{0} (x)$ взаимно прост с $f_{2} (x)$, следовательно, полином $f_{0} (x)$ и произведение $f_{1} (x)f_{2} (x)$ являются взаимно простыми полиномами.
}}

{{Следствие
|statement=Если произведение $f_{1} (x)f_{2} (x)$ делится нацело на полином $f_{0} (x)$, причем $f_{1} (x)$ и $f_{0} (x)$ являются взаимно простыми, то $f_{2} \vdots f_{0} $.
|proof= Поскольку $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$ взаимно просты, то существуют такие полиномы $u_{0} (x)$ и $u_{1} (x)$, что справедливо $u_{0} (x)f_{0} (x)+u_{1} (x)f_{1} (x)=1$. Умножим обе части соотношения на $f_{2} (x)$, получаем $[u_{0} (x)f_{2} (x)]f_{0} (x)+u_{1} (x)[f_{1} (x)f_{2} (x)]=f_{2} (x)$. Левая часть последнего равенства, очевидно, делится нацело на $f_{0} (x)$. Следовательно, должна делиться нацело и правая часть, т. е. $f_{2} \vdots f_{0}$.
}}

Полиномы

2022-07-10T15:36:50Z

St001214: Новая страница: «{{Определение |definition='''Полиномом степени''' $n$ называется сумма $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} + ... + a_{n-...»

{{Определение
|definition='''Полиномом степени''' $n$ называется сумма $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} + ... + a_{n-1} x + a_{n},$ где $a_{i}$, $i = \overline{0,n}$ {{---}} комплексные числа, причем $a_{0} \ne 0$. Число $n$ называется '''степенью полинома''' $f(x)$ и обозначается $n=\deg f(x)$. Если $a_{0} =1$, то полином называется приведенным.
}}

Непосредственно из определения следует, что число $a_{0}$ является полиномом нулевой степени. Число $0$ также является полиномом, но его степень не определена.

{{Определение
|definition=Два полинома $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} + ... + a_{n-1} x + a_{n}$ и $g(x) = b_{0} x^{n} + b_{1} x^{n-1} + ... + b_{n-1} x + b_{n}$ называются '''равными''' (обозначение $f(x)=g(x)$), если для любого $k=\overline{0,n}$ справедливы равенства $a_{k} =b_{k}$.
}}

{{Теорема
|statement=Для любых двух полиномов $f(x)$ и $g(x)$, $\deg f\ge \deg g$, существуют такие однозначно определяемые полиномы $q(x)$ и $r(x)$, что $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, причем $\deg r(x)<\deg g(x)$, либо $r(x)\equiv 0$.
|proof=
Пусть $f(x) = a_{0} x^{n} + ... + a_{n-1} x + a_{n} $, $g(x) = b_{0} x^{m} + ... + b_{m-1} x + b_{m}$, $n\ge m$, $a_{0} \ne 0$, $b_{0} \ne 0$. Построим вспомогательный полином
$f_{1} (x) = f(x) - \frac{ a_{0} }{ b_{0} } x^{n-m} g(x)$.

Очевидно, что степень построенного полинома $n_{1} =\deg f_{1} (x)<n$. Пусть $a_{10}$ {{---}} старший коэффициент полинома $f_{1} (x)$, таким образом, $f_{1} (x) = a_{1,0} x^{n_1} + ... +a_{1,n_1 - 1} x + a_{ 1,n_1 }$. Если $n_{1} \ge m$, то строим следующий полином
$f_{2} (x) = f_{1} (x) - \frac{ a_{1,0} }{ b_{0} } x^{n_{1} - m} g(x)$.

Ясно, что справедливо соотношение $n_{2} = \deg f_{2} (x) < n_{1} $, причем $f_{2} (x) = a_{2,0} x^{n_{2} } + ... + a_{2,n_2 - 1} x + a_{2,n_2}$, где коэффициент $a_{2,0} \ne 0$. Если $n_{2} \ge m$, то находим другой полином
$f_{3} (x) = f_{3} (x) - \frac{ a_{2,0} }{b_0} x^{n_{2} - m} g(x)$,
причем $n_{3} = \deg f_{3} (x)<n_{2} $ и т. д.

По построению $n > n_{1} > n_{2} > n_{3} > ...$, поэтому после конечного числа шагов получаем полином $f_{k} (x)$ такой, что $n_{k} = \deg f_{k} (x) < m$, где
$f_{k} (x) = f_{k-1} (x) - \frac{a_{k-1,0} }{ b_{0} } x^{n_{k-1} - m} g(x)$.

Складывая последовательно записанные равенства, получаем
$f_{1} (x) + f_{2} (x) + ... + f_{k-1} (x) + f_{k} (x) = f(x) + f_{1} (x) + ... + f_{k-1} (x) - \left[\frac{a_0}{b_0} x^{n-m} +\frac{a_{1,0} }{b_0} x^{n_{1}-m} + ... + \frac{a_{k-1,0} }{b_0} x^{n_{k-1}-m} \right] g(x).$

Тогда после сокращений окончательно имеем
$f_{k} (x) = f(x)-\left[\frac{a_0}{b_0} x^{n-m} + \frac{a_{1,0} }{b_{0} } x^{n_{1}-m} + ... + \frac{a_{k-1,0} }{b_0} x^{n_{k-1}-m} \right] g(x),$
поэтому если
$q(x) = \frac{a_{0} }{b_{0} } x^{n-m} + \frac{a_{1,0} }{b_0} x^{n_{1}-m} + ... + \frac{a_{k-1,0} }{b_0} x^{n_{k-1}-m}, r(x)=f_{k} (x),$
то получаем равенство $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$.

Докажем теперь, что полиномы $q(x)$ и $r(x)$ определяются однозначно. Предположим, что существуют полиномы $\bar{q}(x)$ и $\bar{r}(x)$, причем $f(x)=g(x)\bar{q}(x)+\bar{r}(x)$, $\deg \bar{r}(x)<\deg g(x)$ (или $\bar{r}(x)\equiv 0$). Вычитая указанное равенство из $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, получаем
$g(x)[q(x)-\bar{q}(x)] = \bar{r}(x)-r(x).$

Но $\deg \{ g(x)[q(x)-\bar{q}(x)]\} \ge \deg g(x)$, в то время как $\deg [\bar{r}(x)-r(x)]<\deg g(x)$. Полученное противоречие доказывает однозначность определения полиномов $q(x)$ и $r(x)$, т. е. $q(x)=\bar{q}(x)$, $r(x)=\bar{r}(x)$.
}}
{{Определение
|definition=Полином $q(x)$ называется '''частным''', а $r(x)$ {{---}} '''остатком от деления''' полинома $f(x)$ на полином $g(x)$.
}}
{{Определение
|definition=Если $r(x)\equiv 0$, то говорят, что полином $f(x)$ делится нацело на полином $g(x)$ (обозначение $f\vdots g$), а сам полином $g(x)$ при этом называется '''делителем полинома''' $f(x)$.
}}

Алгебра и геометрия

2022-07-10T15:27:05Z

St001214: /* Полиномы и их корни */

== Полиномы и их корни ==
* [[Комплексные числа]]
* [[Полиномы]]
* [[Теорема Безу]]
* [[Схема Горнера]]
* [[Разложение полинома на множители]]
* [[Наибольший общий делитель полиномов]]
* [[Полиномы с вещественными коэффициентами]]
* [[Рациональные дроби]]

== Матрицы и определители ==
* [[Матрицы и операции с ними]]
* [[Определители второго порядка]]
* [[Определители третьего порядка]]
* [[Перестановки]]
* [[Определители порядка n]]
* [[Алгебраические дополнения и миноры]]
* [[Определитель ступенчатой матрицы]]
* [[Блочные матрицы]]
* [[Определитель произведения двух матриц]]
* [[Обратная матрица]]
* [[Ортогональные матрицы]]
* [[Характеристический полином матрицы]]

== Линейные пространства ==
*[[Линейные операции над векторами]]
* [[Линеал]]
* [[Линейная зависимость и независимость векторов]]
* [[Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном пространстве]]
* [[Базис и размерность линеала]]
* [[Ранг матрицы]]
* [[Изоморфизм линеалов]]
* [[Аффинные пространства]]
* [[Аффинные системы координатa]]
* [[Геометрический смысл аффинных координат]]
* [[Декартовые прямоугольные системы координат]]
* [[Полярная система координат]]
* [[Цилиндрические координаты в трехмерном пространстве]]
* [[Сферические координаты в трехмерном пространстве]]
* [[Деление вектора в заданном отношении]]
* [[Скалярное произведение векторов]]
* [[Евклидовы, нормированные и метрические пространства]]
* [[Векторное произведение векторов]]
* [[Смешанное произведение трех векторов]]
* [[Двойное векторное произведение]]
== Системы линейных уравнений ==
* [[Совместные, определенные, равносильные системы линейных уравнений]]
* [[Системы линейных уравнений с квадратной матрицей]]
* [[Структура общего решения однородной системы линейных уравнений]]
* [[Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений]]
* [[Метод Гаусса]]
* [[Геометрический смысл систем линейных уравнений]]
* [[Уравнение с угловым коэффициентом прямой на плоскости]]
* [[Геометрический смысл систем линейных неравенств]]
* [[Нормированное уравнение плоскости (прямой)]]
* [[Пучки плоскостей (прямых на плоскости)]]
* [[Взаимное расположение прямых и плоскостей]]

== Квадратичные формы ==
* [[Приведение квадратичной формы к каноническому виду]]
* [[Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью унитреугольного преобразования]]
* [[Положительно определенные квадратичные формы]]
* [[Закон инерции]]
* [[Собственные значения и собственные векторы матрицы]]
* [[Подобные матрицы]]
* [[Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду]]
* [[Унитарные матрицы]]
* [[Эрмитовы формы]]

== Преобразование координат ==
* [[Преобразование декартовых прямоугольных координат]]
* [[Преобразование координат в n-мерном линейном пространстве]]
* [[Преобразование аффинных координат]]
* [[Линии и поверхности второго порядка]]
* [[Алгебраические линии и поверхности]]
* [[Эллипс]]
* [[Гипербола]]
* [[Парабола]]
* [[Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах]]
* [[Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду]]
* [[Классификация линий второго порядка]]
* [[Инварианты общего уравнения линии второго порядка относительно преобразования декартовых координат]]
* [[Исследование общего уравнения линии второго порядка с помощью инвариантов]]
* [[Поверхности вращения]]
* [[Эллипсоид]]
* [[Гиперболоиды]]
* [[Параболоиды]]
* [[Цилиндрические поверхности]]
* [[Конические поверхности]]

== Элементы общей теории кривых и поверхностей ==
* [[Векторная функция скалярного аргумента]]
* [[Производная векторной функции скалярного аргумента. Формула Тейлора. Интеграл от векторной функции]]
* [[Понятие кривой]]
* [[Касательная к кривой]]
* [[Нормальная плоскость кривой]]
* [[Соприкасающаяся плоскость кривой]]
* [[Спрямляющая плоскость кривой]]
* [[Нормаль]]
* [[Главная нормаль]]
* [[Бинормаль]]
* [[Длина дуги кривой]]
* [[Естественная параметризация]]
* [[Кривизна кривой]]
* [[Кручение кривой]]
* [[Формулы Френе]]
* [[Взаимное расположение кривой и граней естественного трехгранника]]
* [[Натуральные уравнения кривой]]
* [[Понятие поверхности]]
* [[Касательная прямая к поверхности, касательная плоскость и нормаль к поверхности]]
* [[Первая квадратичная форма]]
* [[Длина дуги кривой на поверхности]]
* [[Угол между кривыми на поверхности]]
* [[Площадь поверхности]]
* [[Вторая квадратичная форма поверхности]]
* [[Кривизна кривой, лежащей на поверхности]]

== Геометрическая структура систем линейных уравнений ==
* [[Линейные подпространства]]
* [[Сумма и пересечение линейных подпространств]]
* [[Многомерные плоскости]]
* [[Взаимное расположение многомерных плоскостей]]

== Геометрическая структура систем линейных неравенств ==
* [[Выпуклые множества]]
* [[Выпуклые конусы]]
* [[Отделимость выпуклых множеств]]
* [[Конечные конусы]]
* [[Выпуклое многогранное множество]]
* [[Грани многогранного множества]]
* [[Параметрическое уравнение многогранного множества]]
* [[Геометрия задачи линейного программирования]]

== Практика ==
* [[Задачи по высшей алгебре]]
* [[Задачи по аналитической геометрии]]

Схема Горнера

2022-07-10T15:26:07Z

St001214: Новая страница: «Возьмем произвольно полином <math>f(x)=a_{0} x^{n} +a_{1} x^{n-1} +...+a_{n-1} x+a_{n}</math>. Пусть $f(x)=(x-c)q(x)+r$, где $r=...»

Возьмем произвольно полином <math>f(x)=a_{0} x^{n} +a_{1} x^{n-1} +...+a_{n-1} x+a_{n}</math>.
Пусть $f(x)=(x-c)q(x)+r$, где $r=const$. Ясно, что $q(x)=b_{0} x^{n-1} +b_{1} x^{n-2} +...+b_{n-2} x+b_{n-1} $. Тогда для определения остатка $r$ и коэффициентов $b_{k},$ $k=\overline{0,n-1}$ имеем очевидное соотношение
\begin{equation}
a_{0} x^{n} +a_{1} x^{n-1} +...+a_{n-1} x+a_{n} = (x-c)(b_{0} x^{n-1} +b_{1} x^{n-2} +...+b_{n-2} x+b_{n-1} )+r.
\end{equation}

Сравнивая коэффициенты полиномов при одинаковых степенях $x$, имеем
\begin{equation}
a_{0} = b_{0}, a_{k} =b_{k} - b_{k-1} c, k=\overline{1,n-1}, a_{n} = r-b_{n-1} c,
\end{equation}
поэтому окончательно получаем схему Горнера
\begin{equation}
b_{0} = a_{0}, b_{k} = a_{k} +b_{k-1} c, k=\overline{1,n-1}, r=a_{n} +b_{n-1} c.
\end{equation}

Обратная матрица

2022-07-10T14:56:20Z

St001214:

{{Определение
|definition=Правой обратной матрицей для матрицы <math>A=[n\times n]</math> называется такая матрица $U$, что $AU=E$, где $E$ {{---}} единичная матрица.
}}
{{Определение
|definition=Левой обратной матрицей для матрицы $A=[n\times n]$ называется такая матрица $V$, что $VA=E$, где $E$ — единичная матрица.
}}
{{Определение
|definition=
Матрица $A=[n\times n]$ называется ''невырожденной'', если $\det A\ne 0$, в противном случае, она называется ''вырожденной''.
}}
{{Определение
|definition=Матрица, одновременно являющаяся как правой, так и левой обратной матрицей, называется ''обратной матрицей'' для матрицы $A=[n\times n]$ и обозначается $A^{-1}$, то есть $A^{-1} =U=V$.
}}
{{Теорема
|statement=Матрица $A=\{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{n,n} $ имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда она невырожденная.
|proof=''Необходимость.'' Допустим, что обратная матрица существует. Тогда существует правая обратная матрица $U$, причем $AU=E$, следовательно, $\det (AU)=\det E = 1$. В силу свойств определителей $\det (AU) = \det A\det U$, отсюда, $\det A\ne 0$, то есть матрица $A$ является невырожденной.

''Достаточность.'' Пусть $\det A\ne 0$. Построим вспомогательную матрицу $\tilde{A}$, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы $A$, следующим образом:
\begin{equation}
\tilde{A}=\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\
\vdots & \vdots & ... & \vdots \\
A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn}
\end{array}\right).
\end{equation}
Вычисляя произведение матриц $A\tilde{A}$, получаем
\begin{equation}
A\tilde{A} = \left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & ... & \alpha_{1n} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & ... & \alpha_{2n} \\
\vdots & \vdots & ... & \vdots \\
\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & ... & \alpha_{nn}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\
\vdots & \vdots & ... & \vdots \\
A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn}
\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc}
{\sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{1k} } & {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{2k} } & ... & {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{nk} } \\
{\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{1k} } & {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{2k} } & ... & {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{nk} } \\
\vdots & \vdots & ... & \vdots \\
{\sum_{k=1}^{n}\alpha_{nk} A_{1k} } & {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{nk} A_{2k} } & ... & {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{nk} A_{nk} }
\end{array}\right).
\end{equation}

В соответствии с теоремой о разложении определителя по элементам какой-либо строки имеем
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n}\alpha_{ik} A_{jk} = \left[\begin{array}{l} {\det A, i=j;} \\ {0, i\ne j.} \end{array}\right.
\end{equation}

Следовательно, произведение $A\tilde{A}=diag\{ \det A,\det A,...,\det A\} =(\det A)E$, поэтому матрица $U=\frac{1}{\det A} \tilde{A}$ является правой обратной матрицей.

Аналогично показывается, что $V=\frac{1}{\det A} \tilde{A}$ является левой обратной матрицей. Таким образом, по определению обратная матрица
$A^{-1} = U = V = \frac{1}{\det A} \tilde{A}$.
}}

{{Определение
|definition=Матрица $\tilde{A}$, построенная в ходе доказательства, называется ''присоединенной матрицей''.
}}
{{Следствие
|statement=У любой невырожденной матрицы $A$ кроме $A^{-1} $ не существует других левых (правых) обратных матриц.
|proof=Предположим, что у матрицы $A$ имеется правая обратная матрица $U$, для которой $AU=E$. Так как по условию $\det A\ne 0$, то существует матрица $A^{-1}$. Тогда получаем $A^{-1} AU=A^{-1} E$, следовательно, $EU=A^{-1}$, отсюда $U=A^{-1} $. Аналогично показывается, что $V=A^{-1}$.
}}
{{Следствие
|statement=Обратная матрица правой (левой) унитреугольной матрицы является правой (левой) унитреугольной матрицей.
|proof= Заметим, что определитель унитреугольной матрицы равен единице, поэтому соответствующая обратная матрица совпадает с присоединенной матрицей $\tilde{A}$. Рассмотрим произведение левой унитреугольной матрицы на матрицу $\tilde{A}$. Так как $\alpha_{ij}=0$, $i<j$, то в первая строка произведения $A\tilde{A}$ определяется соотношениями
$1 = \sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{1k} = \alpha_{11} A_{11} = A_{11} $, $0 = \sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{2k} = \alpha_{11} A_{21} = A_{21} $, ..., $0 = \sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{nk} = \alpha_{11} A_{n1} = A_{n1}$,
то есть имеем $A_{11} = 1$, $A_{k1} = 0$, для любого $k = \overline{2, n}$. Для второй строки имеем
$0=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{1k} =\alpha_{21} A_{11} +\alpha_{22} A_{12} =\alpha_{21} +A_{12}$, $1=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{2k} =A_{22}$, $0=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{3k} =\alpha_{21} A_{31} +\alpha_{22} A_{32} =A_{32} $, ..., $0=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{nk} =\alpha_{21} A_{n1} +\alpha_{22} A_{n2} =A_{n2}$,
таким образом, $A_{22} =1$, $A_{32} =\cdots =A_{n2} =0$ и так далее.
}}
{{Теорема
|statement=Для любой невырожденной матрицы $A$ справедливы соотношения:
# $\det A^{-1} =\frac{1}{\det A}$
# $\left(A^{-1} \right)^{-1} =A$
# $\left(A^{T} \right)^{-1} =\left(A^{-1} \right)^{T}$.
|proof= 1. По определению $AA^{-1} =E$, поэтому $\det \left(AA^{-1} \right)=\det E$, следовательно, имеем $\det A\det A^{-1} =1$.

2. Очевидно, что справедливо соотношение $\left(A^{-1} \right)^{-1} A^{-1} = E$. Умножим это равенство справа на матрицу $A$, получаем
$\left(A^{-1} \right)^{-1} A^{-1} A=EA$, отсюда $\left(A^{-1} \right)^{-1} E=A$, следовательно, $\left(A^{-1} \right)^{-1} = A$.

3. Поскольку $AA^{-1} =E$, то $\left(AA^{-1} \right)^{T} =E^{T} =E$. В соответствии с теоремой 2.1.1 $\left(AA^{-1} \right)^{T} =\left(A^{-1} \right)^{T} A^{T}$, таким образом, $\left(A^{-1} \right)^{T} A^{T} =E$. Умножим обе части последнего равенства справа на матрицу $\left(A^{T} \right)^{-1}$, имеем $\left(A^{-1} \right)^{T} A^{T} \left(A^{T} \right)^{-1} =E\left(A^{T} \right)^{-1} $. Отсюда с учетом соотношения $A^{T} \left(A^{T} \right)^{-1} =E$, окончательно получаем $\left(A^{T} \right)^{-1} =\left(A^{-1} \right)^{T} $.
}}
{{Теорема
|statement=Для любых невырожденных матриц $A$ и $B$ справедливо равенство $\left(AB\right)^{-1} =B^{-1} A^{-1}$.
|proof=По условию $\det A\ne 0$, $\det B\ne 0$, поэтому $\det (AB)\ne 0$. Следовательно, существует обратная матрица $\left(AB\right)^{-1}$. Возьмем матрицу $B^{-1} A^{-1} $ и, вычисляя произведение $B^{-1} A^{-1} \left(AB\right)$, имеем
$B^{-1} A^{-1} \left(AB\right)=B^{-1} A^{-1} AB=B^{-1} EB=B^{-1} B=E$.

Следовательно, $B^{-1} A^{-1} $ является левой обратной матрицей. Аналогично, получаем
$\left(AB\right)B^{-1} A^{-1} =ABB^{-1} A^{-1} =AEA^{-1} =AA^{-1} =E$.

Таким образом, матрица $B^{-1} A^{-1} $ одновременно является как правой, так и левой обратной матрицей, поэтому $B^{-1} A^{-1} =\left(AB\right)^{-1}$.
}}
{{Теорема
|statement=Решение системы линейных уравнений $Ax=b$ с квадратной невырожденной матрицей имеет вид $x=A^{-1} b$.
|proof= Пусть $x^{*}$ — решение системы. Тогда имеем тождество $Ax^{*} \equiv b$. Умножим обе части этого тождества слева на матрицу $A^{-1}$, получаем $A^{-1} Ax^{*} \equiv A^{-1} b$, следовательно, $x^{*} =A^{-1} b$.

С другой стороны, если подставить $x=A^{-1} b$ в систему, получаем равенство $A\left(A^{-1} b\right)=AA^{-1} b=b$, то есть $x=A^{-1} b$ является решением системы.

Найдем формулу построения обратной матрицы для ступенчатой матицы
\begin{equation}
S=\left(\begin{array}{cc} S_{11} & {\bf 0} \\ S_{21} & S_{22} \end{array}\right),
\end{equation}
где $S_{11} =[k\times k]$, $S_{22} =[(n-k)\times (n-k)]$, причем $\det S_{11} \ne 0$, $\det S_{22} \ne 0$. Тогда $\det S=\det S_{11} \det S_{22} \ne 0$, поэтому у матрицы $S$ существует обратная матрица.

Допустим, что
\begin{equation}
S^{-1} =\left(\begin{array}{cc} X & Y \\ Z & T \end{array}\right),
\end{equation}
причем $X=[k\times k]$, $T=[(n-k)\times (n-k)]$. Тогда в соответствии с правилами умножения блочных матриц, имеем
\begin{equation}
SS^{-1} =\left(\begin{array}{cc} S_{11} & {\bf 0} \\ S_{21} & S_{22} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} X & Y \\ Z & T \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {S_{11} X} & {S_{11} Y} \\ {S_{21} X+S_{22} Z} & {S_{21} Y+S_{22} T} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {E_k } & {\bf 0} \\ {\bf 0} & E_{n-k} \end{array}\right).
\end{equation}

Сравнивая соответствующие блоки матриц, имеем следующие матричные соотношения $S_{11} X=E_k$, $S_{11} Y = 0$, $S_{21} X+S_{22} Z = 0$, $S_{21} Y+S_{22} T=E_{n-k} $. Рассмотрим последовательно данные равенства. Поскольку $\det S_{11} \ne 0$, то из первого соотношения следует, что $X=S_{11}^{-1}$, а из второго — $Y=0$. Но тогда из последнего равенства с учетом невырожденности матрицы $S_{22} $ получаем $T=S_{22}^{-1} $. Рассмотрим третье соотношение. Поскольку $X=S_{11}^{-1}$, то $S_{21} S_{11}^{-1} +S_{22} Z = 0$. Выражая из полученного равенства матрицу $Z$, имеем $Z=-S_{22}^{-1} S_{21} S_{11}^{-1} $. Таким образом, окончательно получаем, что обратная матрица
\begin{equation}
S^{-1} =\left(\begin{array}{cc} {S_{11}^{-1} } & {\bf 0} \\ {-S_{22}^{-1} S_{21} S_{11}^{-1} } & {S_{22}^{-1} } \end{array}\right).
\end{equation}
}}

Матрицы и операции с ними

2022-07-06T16:34:07Z

St001214:

{{Определение
|definition=Матрицей называется таблица элементов, состоящая из <math>m</math> строк и <math>n</math> столбцов.
}}
Элементы матриц часто обозначают одной буквой с двумя индексами $\alpha_{ij}$, первый из которых обозначает номер строки, а второй — номер столбца. Таким образом, матрица
\begin{equation}
A = \left(
\begin{array}{cccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & ... & \alpha_{1n} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & ... & \alpha_{2n} \\
... & ... & ... & ... \\
\alpha_{m1} & \alpha_{m2} & ... & \alpha_{mn}
\end{array}
\right) = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}.
\end{equation}

Если строки матриц обозначить латинской буквой с индексом внизу $a_{i}$, $i=\overline{1,m}$, а столбцы — с индексом вверху $a^{j}$, $j=\overline{1,n}$, то матрицу $A$ можно записать как $A = [a_{1}, a_2, ..., a_{m} ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$.

Если необходимо подчеркнуть размер матрицы, то пишут $A=[m\times n]$.
{{Определение
|definition=Матрица называется ''квадратной'', если число ее строк $m$ равно числу столбцов $n$.
}}
{{Определение
|definition=''Диагональ'' квадратной матрицы $\alpha_{11}, \alpha_{22}, ..., \alpha_{nn}$ называется ''главной''.
}}
{{Определение
|definition=Квадратная матрица называется ''диагональной'', если все отличные от нуля элементы этой матрицы стоят на главной диагонали.
}}

\begin{equation}
A = \left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{11} & 0 & ... & 0 \\
0 & \alpha_{22} & ... & 0 \\
... & ... & ... & ... \\
0 & 0 & ... & \alpha_{nn}
\end{array}\right) = diag\{ \alpha_{11}, \alpha_{22}, ..., \alpha_{nn} \} .
\end{equation}

{{Определение
|definition=Матрица $E=diag\{ 1, 1, ..., 1\} $ называется ''единичной''.
}}
{{Определение
|definition=Квадратная матрица, у которой все элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю, называется ''нижней (верхней) треугольной''.
}}
{{Определение
|definition=Две матрицы $A = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $, $B = \{ \beta_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $ одного и того же размера называются ''равными'' и обозначаются ${\bf A} = {\bf B}$, если у них равны соответствующие элементы, то есть $\alpha_{ij} = \beta_{ij}$, $i=\overline{1,m}$, $j=\overline{1,n}$.
}}
{{Определение
|definition=Произведением матрицы ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $ на число $\gamma$ называется матрица $\gamma {\bf A} = \{ \gamma \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$.
}}
{{Определение
|definition=Суммой двух матриц одного и того же размера называется матрица, каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов слагаемых.
}}

Таким образом, если ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$, ${\bf B} = \{ \beta_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$, то сумма ${\bf A} + {\bf B} = \{ \alpha_{ij} + \beta_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$.

== Свойства суммы матриц и произведения матрицы на число ==

# ${\bf A} + {\bf B} = {\bf B} + {\bf A}$
# $({\bf A} + {\bf B}) + {\bf C} = {\bf A} + ({\bf B} + {\bf C})$
# Матрица ${\bf 0}$, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и играет роль нуля: ${\bf A} + {\bf 0} = {\bf A}$
# Для любой матрицы ${\bf А}$ существует противоположная $-{\bf A} = (-1){\bf A}$, то есть ${\bf A}+(-{\bf A})=0$
# $(\gamma_{1} +\gamma_2 ){\bf A} = \gamma_{1} {\bf A} + \gamma_2 {\bf A}$
# $\gamma ({\bf A} + {\bf B}) = \gamma {\bf A} + \gamma {\bf B}$
# $\gamma_{1} (\gamma_2 {\bf A}) = (\gamma_{1} \gamma_2) {\bf A}$
# $1\cdot {\bf A} = {\bf A}$.

{{Определение
|definition=''Произведением двух матриц'' ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $, ${\bf B} = \{ \beta_{jk} \}_{j,k=1}^{n,p}$ называется матрица ${\bf C} = \{ \gamma_{ik} \}_{i,k=1}^{m,p} = {\bf AB}$, где $\gamma_{ik} = \sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \beta_{jk}$.
}}
Непосредственно из данного определения следует, что
$\gamma_{ik} = a_{i} b^{k} = (\alpha_{i1} \alpha_{i2} ... \alpha_{in} ) \left(\begin{array}{c} \beta_{1k} \\ \beta_{2k} \\ \vdots \\ \beta_{nk} \end{array}\right) = \alpha_{i1} \beta_{1k} + \alpha_{i2} \beta_{2k} + \cdots + \alpha_{in} \beta_{nk}.$
{{Замечание
|content=Для существования произведения двух матриц их размеры должны быть согласованы: количество столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.
}}
{{Замечание
|content=Произведение матриц не обладает свойством коммутативности, поскольку даже для квадратных матриц в общем случае ${\bf AB} \ne {\bf BA}$.
}}

{{Определение
|definition=Матрицы ${\bf A}$ и ${\bf B}$, для которых ${\bf AB} = {\bf BA}$ называются ''коммутирующими''.
}}

Заметим, что если ${\bf A} = [a_{1}, a_2, ..., a_{m} ] = [m \times n]$, ${\bf B} = [b^{1}, b^{2}, ..., b^{p} ] = [n \times p]$, то произведение
${\bf AB} = {\bf A}[b^{1}, b^{2}, ..., b^{p}] = [{\bf A}b^{1}, {\bf A}b^{2}, ..., {\bf A}b^{p}], {\bf AB} = [a_{1}, a_2, ..., a_{m}]{\bf B} = [a_{1} {\bf B}, a_2 {\bf B}, ..., a_{m} {\bf B}].$

Пусть неизвестные $\xi_{1}, \xi_2, ..., \xi_{m}$ связаны с системой неизвестных $\eta_{1}, \eta_2, ..., \eta_n$ с помощью линейных соотношений
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{c}
\xi_{1} = \alpha_{11} \eta_{1} + \alpha_{12} \eta_2 + \cdots \alpha_{1n} \eta_n, \\
\xi_2 = \alpha_{21} \eta_{1} + \alpha_{22} \eta_2 + \cdots \alpha_{2n} \eta_n, \\
\cdots \cdots \cdots \\
\xi_{m} = \alpha_{m1} \eta_{1} + \alpha_{m2} \eta_2 + \cdots \alpha_{mn} \eta_n,
\end{array}\right.
\end{equation}
где $\alpha_{ij} $ некоторые числа, $i=\overline{1,m}$, $j=\overline{1,n}$.

Переход от $\xi_{1}, \xi_2, ..., \xi_{m}$ к $\eta_{1}, \eta_2, ..., \eta_n$ по приведенным формулам называется ''линейным преобразованием'' неизвестных.

Введем матрицу ${\bf A} = [a_{1}, a_2, ..., a_{m} ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ] = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $ и столбцы
$x = \left(\begin{array}{c}
\xi_{1} \\ \xi_2 \\ \vdots \\ \xi_{m}
\end{array}\right)$,
$y = \left(\begin{array}{c}
\eta_{1} \\ \eta_2 \\ \vdots \\ \eta_n
\end{array}\right)$.
Тогда в матричной записи линейные преобразования можно представить в виде
\begin{equation}
x = {\bf A}y \Leftrightarrow \xi_{i} = \sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \eta_{j}, i=\overline{1,m} \Leftrightarrow \xi_{i} = a_{i} y, i=\overline{1,m} \Leftrightarrow x = \sum_{j=1}^{n}a^{j} \eta_{j}.
\end{equation}

{{Лемма
|statement=Пусть $x={\bf A}y$, $y={\bf B}z$ {{---}} два последовательных линейных преобразования переменных. Тогда матрица линейного преобразования переменных $x$ к переменным $z$ равна произведению матриц преобразований.
|proof= С одной стороны, очевидно, что $x={\bf A}({\bf B}z)$. С другой стороны,
$\xi_{i} = \sum_{k=1}^{n} {\alpha_{ik} \eta_{k} } = \sum_{k=1}^{n}\alpha_{ik} \left( \sum_{j=1}^{p}\beta_{kj} \zeta_{j} \right) = \sum_{j=1}^{p}\left( \sum_{k=1}^{n}\alpha_{ik} \beta_{kj} \right) \zeta_{j} = \sum_{j=1}^{p}\gamma_{ij} \zeta_{j}, i=\overline{1,m}$,
где $\beta_{kj}$ {{---}} элемент матрицы ${\bf B} = [n \times p]$, $\zeta_{j}$ {{---}} элемент столбца $z$, $j=\overline{1,p}$.

По определению произведения матриц $\gamma_{ij}$ является элементом матрицы ${\bf AB}$, то есть $x=({\bf AB})z$. Таким образом, для любого столбца $z$ справедливо равенство $x={\bf A}({\bf B}z)=({\bf AB})z$.
}}

== Свойства операции произведения матриц ==

# $({\bf A}+{\bf B}){\bf C} = {\bf AC} + {\bf BC}$, ${\bf A}=[m\times n]$, ${\bf B}=[m\times n]$, ${\bf C}=[n\times p]$
# ${\bf A} ({\bf B}+{\bf C} ) = {\bf AB} + {\bf AC}$, ${\bf A}=[m\times n]$, ${\bf B}=[n\times p]$, ${\bf C}=[n\times p]$
# $({\bf AB}){\bf C}={\bf A}({\bf BC})$, ${\bf A}=[m\times n]$, ${\bf B}=[n\times p]$, ${\bf C}=[p\times s]$
# Если ${\bf E}_n =[n\times n]$, ${\bf E}_{m} =[m\times m]$ две единичные матрицы, то для любой ${\bf A}=[m\times n]$ справедливы равенства ${\bf AE}_n = {\bf E}_{m} {\bf A} = {\bf A}$.

{{Определение
|definition=Произведение матриц $\underbrace{{\bf A}\cdot {\bf A}\cdots {\bf A}}_{k} = {\bf A}^{k}$ называется $k$-й степенью матрицы ${\bf A}$, причем ${\bf A}^{0} = {\bf E}$.
}}

{{Определение
|definition=''Транспонированием матрицы'' называется замена ее столбцов строками, а строк {{---}} столбцами.
}}

Таким образом, если матрица
\begin{equation}
{\bf A} = \left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & ... & \alpha_{1n} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & ... & \alpha_{2n} \\
... & ... & ... & ... \\
\alpha_{m1} & \alpha_{m2} & ... & \alpha_{mn}
\end{array}\right) = [m\times n],
\end{equation}
то транспонированная матрица
\begin{equation}
{\bf A}^{T} = \left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{11} & \alpha_{21} & ... & \alpha_{m1} \\
\alpha_{12} & \alpha_{22} & ... & \alpha_{m2} \\
... & ... & ... & ... \\
\alpha_{1n} & \alpha_{2n} & ... & \alpha_{nm}
\end{array}\right) = [n\times m].
\end{equation}
Следовательно, если ${\bf A}^{T} = \{ \delta_{ks} \}_{k,s=1}^{n,m} $, то $\delta_{ks} =\alpha_{sk} $, $s=\overline{1,m}$, $k=\overline{1,n}$.

Непосредственно из определения следует, что $\left({\bf A}^{T} \right)^{T} = {\bf A}$, $({\bf A}+{\bf B})^{T} = {\bf A}^{T} + {\bf B}^{T}$, $(\gamma {\bf A})^{T} =\gamma {\bf A}^{T}$.

{{Определение
|definition=Матрица, равная своей транспонированной матрице, называется ''симметрической матрицей''.
}}

Таким образом, если выполнено равенство ${\bf А} = {\bf А}^{Т}$, то ${\bf А}$ — симметрическая матрица и ее элементы симметричны относительно главной диагонали.

{{Теорема
|statement=Транспонированное произведение двух матриц равно произведению транспонированных сомножителей, взятых в обратном порядке, то есть $({\bf AB})^{T} = {\bf B}^{T} {\bf A}^{T}$.
|proof=Пусть ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $, ${\bf B} = \{ \beta_{jl} \}_{j,l=1}^{n,p}$. Тогда ${\bf AB} = \left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \beta_{jl} \right\}_{i,l=1}^{m,p} =\left\{\gamma_{il} \right\}_{i,l=1}^{m,p}$. Допустим, что ${\bf B}^{T} = \{ \delta_{lj} \}_{l,j=1}^{p,n} $, ${\bf A}^{T} = \{ \theta_{ji} \}_{j,i=1}^{n,m} $, получаем ${\bf B}^{T} {\bf A}^{T} = \left\{\sum_{j=1}^{n}\delta_{lj} \theta_{ji} \right\}_{l,i=1}^{p,m} = \{ \mu_{li} \}_{l,i=1}^{p,m}$. Но
$\mu_{li} = \sum_{j=1}^{n}{\delta_{lj} \theta_{ji} } = \sum_{j=1}^{n}{\beta_{jl} \alpha_{ij} } = \sum_{j=1}^{n} {\alpha_{ij} \beta_{jl} } =\gamma_{il},$
то есть окончательно имеем равенство ${\bf B}^{T} {\bf A}^{T} =({\bf AB})^{T} $.
}}

Определители третьего порядка

2022-07-06T16:03:37Z

St001214:

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными <math>\xi_1</math>, <math>\xi_2</math>, <math>\xi_3</math>:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 + \alpha_{13} \xi_3 = \beta_{1},\\
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 + \alpha_{23} \xi_3 = \beta_2,\\
\alpha_{31} \xi_{1} + \alpha_{32} \xi_2 + \alpha_{33} \xi_3 = \beta_3.
\end{array}\right.
\end{equation}

В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где
\begin{equation}
A = \left(\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right),
x = \left(\begin{array}{c}
\xi_{1} \\ \xi_2 \\ \xi_3
\end{array}\right),
b = \left(\begin{array}{c}
\beta_{1} \\ \beta_2 \\ \beta_3
\end{array}\right).
\end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}$, второе — на $\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}$, третье — на $\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}$. Складывая полученные равенства, имеем
\begin{equation}
[\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})]\xi_{1}
= \beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}).
\end{equation}

Если выражение
\begin{equation}
\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} -\alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})
= \alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31}
\end{equation}
не равно нулю, то
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation}

Аналогично находим
\begin{equation}
\xi_2 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{21} \alpha_{33}) + \beta_2 (\alpha_{11} \alpha_{33} - \alpha_{13} \alpha_{31}) + \beta_3 (\alpha_{13} \alpha_{21} - \alpha_{11} \alpha_{23})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} },
\end{equation}
а затем
\begin{equation}
\xi_3 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{22} \alpha_{31}) + \beta_2 (\alpha_{12} \alpha_{31} - \alpha_{11} \alpha_{32}) + \beta_3 (\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation}

Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок
$
\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right|.
$

Для решения системы с тремя неизвестными справедливы формулы Крамера
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\beta_{1} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\beta_2 & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\beta_3 & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right|}{\det {\bf A}},
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \beta_{1} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \beta_2 & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \beta_3 & \alpha_{33}
\end{array}\right|}{\det {\bf A}},
\xi_3 = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \beta_{1} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \beta_2 \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \beta_3
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}.
\end{equation}

Определители второго порядка

2022-07-06T16:02:02Z

St001214:

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными <math>\xi_{1}</math> и <math>\xi_{2}</math>:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 = \beta_{1}, \\
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 = \beta_2,
\end{array}\right.
\end{equation}
где $\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \beta_{1}, \beta_2$ — заданные числа. В матричной записи систему можно представить в виде ${\bf A}x={\bf b}$, где
\begin{equation}
{\bf A} = \left(\begin{array}{cc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22}
\end{array}\right),
x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \end{array}\right),
b = \left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_2 \end{array}\right).
\end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22}$, а второе — на $(-\alpha_{12})$. Складывая полученные равенства, получи
$(\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} ) \xi_{1} = (\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12}).$

Предположим, что $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} \ne 0$, тогда
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
\end{equation}

Аналогично, умножая первое равенство на $(-\alpha_{21})$, второе — на $\alpha_{11}$, и складывая, получаем
\begin{equation}
\xi_2 =\frac{\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
\end{equation}

Полученные $\xi_{1}$ и $\xi_2$ являются решением исходной системы уравнений.

{{Определение
|definition=
Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.
}}

Определитель второго порядка матрицы ${\bf А}$ обозначается $\det {\bf A}$ или
$\left| \begin{array}{cc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22}
\end{array}\right|$.


Заметим, что $\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} = \left|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right|$, $\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} = \left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right|$.
Поэтому соотношения для $\xi_{1}$ и $\xi_2$ можно представить в виде
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right|} {\det {\bf A}},
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right|} {\det {\bf A}}.
\end{equation}
Эти формулы называются ''формулами Крамера'' для решения системы уравнений.

Определители второго порядка

2022-07-06T16:01:38Z

St001214:

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 = \beta_{1}, \\
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 = \beta_2,
\end{array}\right.
\end{equation}
где $\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \beta_{1}, \beta_2$ — заданные числа. В матричной записи систему можно представить в виде ${\bf A}x={\bf b}$, где
\begin{equation}
{\bf A} = \left(\begin{array}{cc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22}
\end{array}\right),
x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \end{array}\right),
b = \left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_2 \end{array}\right).
\end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22}$, а второе — на $(-\alpha_{12})$. Складывая полученные равенства, получи
$(\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} ) \xi_{1} = (\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12}).$

Предположим, что $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} \ne 0$, тогда
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
\end{equation}

Аналогично, умножая первое равенство на $(-\alpha_{21})$, второе — на $\alpha_{11}$, и складывая, получаем
\begin{equation}
\xi_2 =\frac{\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
\end{equation}

Полученные $\xi_{1}$ и $\xi_2$ являются решением исходной системы уравнений.

{{Определение
|definition=
Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.
}}

Определитель второго порядка матрицы ${\bf А}$ обозначается $\det {\bf A}$ или
$\left| \begin{array}{cc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22}
\end{array}\right|$.


Заметим, что $\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} = \left|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right|$, $\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} = \left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right|$.
Поэтому соотношения для $\xi_{1}$ и $\xi_2$ можно представить в виде
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right|} {\det {\bf A}},
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right|} {\det {\bf A}}.
\end{equation}
Эти формулы называются ''формулами Крамера'' для решения системы уравнений.

Определители третьего порядка

2022-07-06T15:44:13Z

St001214:

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 + \alpha_{13} \xi_3 = \beta_{1},\\
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 + \alpha_{23} \xi_3 = \beta_2,\\
\alpha_{31} \xi_{1} + \alpha_{32} \xi_2 + \alpha_{33} \xi_3 = \beta_3.
\end{array}\right.
\end{equation}

В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где
\begin{equation}
A = \left(\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right),
x = \left(\begin{array}{c}
\xi_{1} \\ \xi_2 \\ \xi_3
\end{array}\right),
b = \left(\begin{array}{c}
\beta_{1} \\ \beta_2 \\ \beta_3
\end{array}\right).
\end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}$, второе — на $\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}$, третье — на $\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}$. Складывая полученные равенства, имеем
\begin{equation}
[\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})]\xi_{1}
= \beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}).
\end{equation}

Если выражение
\begin{equation}
\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} -\alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})
= \alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31}
\end{equation}
не равно нулю, то
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation}

Аналогично находим
\begin{equation}
\xi_2 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{21} \alpha_{33}) + \beta_2 (\alpha_{11} \alpha_{33} - \alpha_{13} \alpha_{31}) + \beta_3 (\alpha_{13} \alpha_{21} - \alpha_{11} \alpha_{23})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} },
\end{equation}
а затем
\begin{equation}
\xi_3 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{22} \alpha_{31}) + \beta_2 (\alpha_{12} \alpha_{31} - \alpha_{11} \alpha_{32}) + \beta_3 (\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation}

Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок
\begin{equation}
\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right|.
\end{equation}

Для решения системы с тремя неизвестными справедливы формулы Крамера
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\beta_{1} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\beta_2 & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\beta_3 & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right|}{\det {\bf A}},
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \beta_{1} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \beta_2 & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \beta_3 & \alpha_{33}
\end{array}\right|}{\det {\bf A}},
\xi_3 = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \beta_{1} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \beta_2 \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \beta_3
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}.
\end{equation}

Определители третьего порядка

2022-07-06T15:36:16Z

St001214: Новая страница: «Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$: \begin{equation...»

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 + \alpha_{13} \xi_3 = \beta_{1},\\
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 + \alpha_{23} \xi_3 = \beta_2,\\
\alpha_{31} \xi_{1} + \alpha_{32} \xi_2 + \alpha_{33} \xi_3 = \beta_3.
\end{array}\right.
\end{equation}
В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где
\begin{equation}
A = \left(\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right),
x = \left(\begin{array}{c}
\xi_{1} \\ \xi_2 \\ \xi_3
\end{array}\right),
b = \left(\begin{array}{c}
\beta_{1} \\ \beta_2 \\ \beta_3
\end{array}\right).
\end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}$, второе — на $\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}$, третье — на $\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}$. Складывая полученные равенства, имеем
\begin{equation}
[\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})]\xi_{1}
= \beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}).
\end{equation}

Если выражение
\begin{equation}
\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} -\alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})
= \alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31}
\end{equation}
не равно нулю, то
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation}

Аналогично находим
\begin{equation}
\xi_2 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{21} \alpha_{33}) + \beta_2 (\alpha_{11} \alpha_{33} - \alpha_{13} \alpha_{31}) + \beta_3 (\alpha_{13} \alpha_{21} - \alpha_{11} \alpha_{23})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} },
\end{equation}
а затем
\begin{equation}
\xi_3 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{22} \alpha_{31}) + \beta_2 (\alpha_{12} \alpha_{31} - \alpha_{11} \alpha_{32}) + \beta_3 (\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation}

Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок
\begin{equation}
\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right|.
\end{equation}

Для решения системы с тремя неизвестными также справедливы формулы Крамера
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\beta_{1} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\beta_2 & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\beta_3 & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right|}{\det {\bf A}},
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \beta_{1} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \beta_2 & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \beta_3 & \alpha_{33}
\end{array}\right|}{\det {\bf A}},
\xi_3 = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \beta_{1} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \beta_2 \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \beta_3
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}.
\end{equation}

Определители второго порядка

2022-07-06T15:34:33Z

St001214: Новая страница: «Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными \begin{equation} \left\{\begin{array}{l}...»

Алгебра и геометрия

2022-07-06T15:34:01Z

St001214: /* Матрицы и определители */

== Полиномы и их корни ==
* [[Комплексные числа]]
* [[Теорема Безу]]
* [[Схема Горнера]]
* [[Разложение полинома на множители]]
* [[Наибольший общий делитель полиномов]]
* [[Полиномы с вещественными коэффициентами]]
* [[Рациональные дроби]]

== Матрицы и определители ==
* [[Матрицы и операции с ними]]
* [[Определители второго порядка]]
* [[Определители третьего порядка]]
* [[Перестановки]]
* [[Определители порядка n]]
* [[Алгебраические дополнения и миноры]]
* [[Определитель ступенчатой матрицы]]
* [[Блочные матрицы]]
* [[Определитель произведения двух матриц]]
* [[Обратная матрица]]
* [[Ортогональные матрицы]]
* [[Характеристический полином матрицы]]

== Линейные пространства ==
*[[Линейные операции над векторами]]
* [[Линеал]]
* [[Линейная зависимость и независимость векторов]]
* [[Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном пространстве]]
* [[Базис и размерность линеала]]
* [[Ранг матрицы]]
* [[Изоморфизм линеалов]]
* [[Аффинные пространства]]
* [[Аффинные системы координатa]]
* [[Геометрический смысл аффинных координат]]
* [[Декартовые прямоугольные системы координат]]
* [[Полярная система координат]]
* [[Цилиндрические координаты в трехмерном пространстве]]
* [[Сферические координаты в трехмерном пространстве]]
* [[Деление вектора в заданном отношении]]
* [[Скалярное произведение векторов]]
* [[Евклидовы, нормированные и метрические пространства]]
* [[Векторное произведение векторов]]
* [[Смешанное произведение трех векторов]]
* [[Двойное векторное произведение]]
== Системы линейных уравнений ==
* [[Совместные, определенные, равносильные системы линейных уравнений]]
* [[Системы линейных уравнений с квадратной матрицей]]
* [[Структура общего решения однородной системы линейных уравнений]]
* [[Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений]]
* [[Метод Гаусса]]
* [[Геометрический смысл систем линейных уравнений]]
* [[Уравнение с угловым коэффициентом прямой на плоскости]]
* [[Геометрический смысл систем линейных неравенств]]
* [[Нормированное уравнение плоскости (прямой)]]
* [[Пучки плоскостей (прямых на плоскости)]]
* [[Взаимное расположение прямых и плоскостей]]

== Квадратичные формы ==
* [[Приведение квадратичной формы к каноническому виду]]
* [[Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью унитреугольного преобразования]]
* [[Положительно определенные квадратичные формы]]
* [[Закон инерции]]
* [[Собственные значения и собственные векторы матрицы]]
* [[Подобные матрицы]]
* [[Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду]]
* [[Унитарные матрицы]]
* [[Эрмитовы формы]]

== Преобразование координат ==
* [[Преобразование декартовых прямоугольных координат]]
* [[Преобразование координат в n-мерном линейном пространстве]]
* [[Преобразование аффинных координат]]
* [[Линии и поверхности второго порядка]]
* [[Алгебраические линии и поверхности]]
* [[Эллипс]]
* [[Гипербола]]
* [[Парабола]]
* [[Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах]]
* [[Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду]]
* [[Классификация линий второго порядка]]
* [[Инварианты общего уравнения линии второго порядка относительно преобразования декартовых координат]]
* [[Исследование общего уравнения линии второго порядка с помощью инвариантов]]
* [[Поверхности вращения]]
* [[Эллипсоид]]
* [[Гиперболоиды]]
* [[Параболоиды]]
* [[Цилиндрические поверхности]]
* [[Конические поверхности]]

== Элементы общей теории кривых и поверхностей ==
* [[Векторная функция скалярного аргумента]]
* [[Производная векторной функции скалярного аргумента. Формула Тейлора. Интеграл от векторной функции]]
* [[Понятие кривой]]
* [[Касательная к кривой]]
* [[Нормальная плоскость кривой]]
* [[Соприкасающаяся плоскость кривой]]
* [[Спрямляющая плоскость кривой]]
* [[Нормаль]]
* [[Главная нормаль]]
* [[Бинормаль]]
* [[Длина дуги кривой]]
* [[Естественная параметризация]]
* [[Кривизна кривой]]
* [[Кручение кривой]]
* [[Формулы Френе]]
* [[Взаимное расположение кривой и граней естественного трехгранника]]
* [[Натуральные уравнения кривой]]
* [[Понятие поверхности]]
* [[Касательная прямая к поверхности, касательная плоскость и нормаль к поверхности]]
* [[Первая квадратичная форма]]
* [[Длина дуги кривой на поверхности]]
* [[Угол между кривыми на поверхности]]
* [[Площадь поверхности]]
* [[Вторая квадратичная форма поверхности]]
* [[Кривизна кривой, лежащей на поверхности]]

== Геометрическая структура систем линейных уравнений ==
* [[Линейные подпространства]]
* [[Сумма и пересечение линейных подпространств]]
* [[Многомерные плоскости]]
* [[Взаимное расположение многомерных плоскостей]]

== Геометрическая структура систем линейных неравенств ==
* [[Выпуклые множества]]
* [[Выпуклые конусы]]
* [[Отделимость выпуклых множеств]]
* [[Конечные конусы]]
* [[Выпуклое многогранное множество]]
* [[Грани многогранного множества]]
* [[Параметрическое уравнение многогранного множества]]
* [[Геометрия задачи линейного программирования]]

== Практика ==
* [[Задачи по высшей алгебре]]
* [[Задачи по аналитической геометрии]]

Определители второго и третьего порядка

2022-07-06T14:54:49Z

St001214:

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 = \beta_{1}, \\
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 = \beta_2,
\end{array}\right.
\end{equation}
где $\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \beta_{1}, \beta_2$ — заданные числа. В матричной записи систему можно представить в виде ${\bf A}x={\bf b}$, где
\begin{equation}
{\bf A} = \left(\begin{array}{cc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22}
\end{array}\right),
x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \end{array}\right),
b = \left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_2 \end{array}\right).
\end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22}$, а второе — на $(-\alpha_{12})$. Складывая полученные равенства, получи
$(\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} ) \xi_{1} = (\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12}).$

Предположим, что $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} \ne 0$, тогда
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
\end{equation}

Аналогично, умножая первое равенство на $(-\alpha_{21})$, второе — на $\alpha_{11}$, и складывая, получаем
\begin{equation}
\xi_2 =\frac{\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
\end{equation}

Полученные $\xi_{1}$ и $\xi_2$ являются решением исходной системы уравнений.

{{Определение
|definition=
Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.
}}

Определитель второго порядка матрицы ${\bf А}$ обозначается $\det {\bf A}$ или
$\left| \begin{array}{cc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22}
\end{array}\right|$.


Заметим, что $\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} = \left|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right|$, $\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} = \left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right|$.
Поэтому соотношения для $\xi_{1}$ и $\xi_2$ можно представить в виде
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right|} {\det {\bf A}},
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right|} {\det {\bf A}}.
\end{equation}
Эти формулы называются ''формулами Крамера'' для решения системы уравнений.


Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 + \alpha_{13} \xi_3 = \beta_{1},\\
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 + \alpha_{23} \xi_3 = \beta_2,\\
\alpha_{31} \xi_{1} + \alpha_{32} \xi_2 + \alpha_{33} \xi_3 = \beta_3.
\end{array}\right.
\end{equation}
В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где
\begin{equation}
A = \left(\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right),
x = \left(\begin{array}{c}
\xi_{1} \\ \xi_2 \\ \xi_3
\end{array}\right),
b = \left(\begin{array}{c}
\beta_{1} \\ \beta_2 \\ \beta_3
\end{array}\right).
\end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}$, второе — на $\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}$, третье — на $\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}$. Складывая полученные равенства, имеем
\begin{equation}
[\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})]\xi_{1}
= \beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}).
\end{equation}

Если выражение
\begin{equation}
\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} -\alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})
= \alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31}
\end{equation}
не равно нулю, то
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation}

Аналогично находим
\begin{equation}
\xi_2 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{21} \alpha_{33}) + \beta_2 (\alpha_{11} \alpha_{33} - \alpha_{13} \alpha_{31}) + \beta_3 (\alpha_{13} \alpha_{21} - \alpha_{11} \alpha_{23})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} },
\end{equation}
а затем
\begin{equation}
\xi_3 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{22} \alpha_{31}) + \beta_2 (\alpha_{12} \alpha_{31} - \alpha_{11} \alpha_{32}) + \beta_3 (\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation}

Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок
\begin{equation}
\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right|.
\end{equation}

Для решения системы с тремя неизвестными также справедливы формулы Крамера
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\beta_{1} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\beta_2 & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\beta_3 & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right|}{\det {\bf A}},
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \beta_{1} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \beta_2 & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \beta_3 & \alpha_{33}
\end{array}\right|}{\det {\bf A}},
\xi_3 = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \beta_{1} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \beta_2 \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \beta_3
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}.
\end{equation}

Определители второго и третьего порядка

2022-07-06T14:54:31Z

St001214: Содержимое страницы заменено на «{{Определение |definition= Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''...»

{{Определение
|definition=
Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.
}}

Определители второго и третьего порядка

2022-07-06T14:50:03Z

St001214:

Определитель произведения двух матриц

2022-07-06T14:41:38Z

St001214:

Пусть дана квадратная матрица $A=[a_1, a_2, ..., a_n ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$.

Введем вспомогательную квадратную матрицу
\begin{equation}
G_{ij} =\{ \gamma_{ks} \}_{k,s=1}^{n,n} =[n\times n],\, \, \gamma_{ks} =\left[\begin{array}{l} {0,\, \, k\ne i,\, s\ne j,} \\ {1,\, \, k=i,\, s=j,} \end{array}\right.
\end{equation}
в которой единственный отличный от нуля элемент стоит в $i$-й строке и $j$-м столбце ($i\ne j$).

В соответствии с формулой умножения матриц:
\begin{equation}
G_{ij} A = G_{ij} [a_1, a_2, ..., a_n ]=[{\bf 0}_1, ..., {\bf 0}_{i-1}, a_{j}, {\bf 0}_{i+1}, ..., {\bf 0}_n].
\end{equation}

Построим матрицу $E+\gamma G_{ij}$, где $\gamma$ — произвольное число, а $Е$ — единичная матрица.
Тогда
\begin{equation}
(E+\gamma G_{ij} )A = A+\gamma G_{ij} A=[a_1, ..., a_{i-1}, a_{i} +\gamma a_{j}, a_{i+1}, ..., a_n ].
\end{equation}

Следовательно, умножение матрицы $A$ слева на матрицу $E+\gamma G_{ij} $ эквивалентно прибавлению к $i$-й строке матрицы $A$ ее строки с номером $j$, умноженной на число $\gamma$.

Когда матрица $A$ умножается справа на матрицу $G_{ij}$, то
\begin{equation}
AG_{ij} =[a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ]G_{ij} =[{\bf 0}^{1}, ..., {\bf 0}^{j-1}, a^{i}, {\bf 0}^{j+1}, ..., {\bf 0}^{n} ],
\end{equation}
и тогда
\begin{equation}
A(E+\gamma G_{ij} ) = A+\gamma AG_{ij} =[a^{1}, ..., a^{j-1}, a^{j} +\gamma a^{i}, a^{j+1}, ..., a^{n} ],
\end{equation}
то есть это действие эквивалентно прибавлению к $j$-му столбцу матрицы $A$ ее столбца с номером $i$, предварительно умноженному на число $\gamma$.

Матрица $E+\gamma G_{ij}$ называется ''матрицей элементарного преобразования''.

Обобщением матрицы элементарного преобразования является понятие унитреугольной матрицы.

{{Определение
|definition=
Правой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

\begin{equation}
U_R =\left(\begin{array}{ccccc}
1 & \gamma_{12} & ... & \gamma_{1,n-1} & \gamma_{1n} \\
0 & 1 & ... & \gamma_{2,n-1} & \gamma_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & ... & 1 & \gamma_{n-1,n} \\
0 & 0 & ... & 0 & 1
\end{array}\right)
\end{equation}

{{Определение
|definition=
Левой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

\begin{equation}
U_L =\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & ... & 0 & 0 \\
\gamma_{21} & 1 & ... & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\gamma_{n-1,1} & \gamma_{n-1,2} & ... & 1 & 0 \\
\gamma_{n1} & \gamma_{n2} & ... & \gamma_{n,n-1} & 1
\end{array}\right).
\end{equation}

Умножая произвольную матрицу $A=[a_1, a_2, ..., a_n ]$ слева на матрицу $U_{R}$, получаем
$U_R A = [a_1 +\gamma_{12} a_2 +\cdots +\gamma_{1n} a_n, a_2 +\gamma_{23} a_3 +\cdots +\gamma_{2n} a_n, ..., a_n ],$
а при умножении слева на матрицу $U_l$, имеем
$U_L A = [a_1, \gamma_{21} a_1 +a_2, ..., \gamma_{n1} a_1 +\gamma_{n2} a_2 +\cdots + a_n ].$

В силу свойств определителей, очевидно, что $\det (U_R A)=\det (U_L A)=\det A$.

{{Теорема
|statement=
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей.
|proof=
Возьмем две произвольные квадратные матрицы $A$ и $B$ размера $[n\times n]$. Докажем, что $\det (AB)=\det A\det B$.

Для этого построим вспомогательную матрицу $[2n\times 2n]$:
$
C = \left(\begin{array}{cc} {A} & {\bf 0} \\ {-E} & {B} \end{array}\right).
$

Матрица $C$ является ступенчатой и ее определитель равен произведению определителей диагональных блоков, то есть $\det C=\det A\det B$. Построим правую унитреугольную матрицу
$U_{R} =\left(\begin{array}{cc} {E} & {A} \\ {\bf 0} & {E} \end{array}\right).$

В силу свойств унитреугольных матриц $\det (U_{R} C)=\det C$. Умножая блочные матрицы, имеем
\begin{equation}
U_{R} C = \left(
\begin{array}{cc}{E} & {A} \\ {\bf 0} & {E}
\end{array} \right)
\left(
\begin{array}{cc} {A} & {\bf 0} \\ {-E} & {B}
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{cc} {\bf 0} & {AB} \\ {-E} & {B}
\end{array}
\right).
\end{equation}

Поскольку
\begin{equation}
\det C = \det (U_{R} C) = \det \left(\begin{array}{cc} {\bf 0} & {AB} \\ {-E} & {B} \end{array}\right)
=(-1)^{n} \det \left(\begin{array}{cc} {AB} & {\bf 0} \\ {B} & {-E} \end{array}\right)
=(-1)^{2n} \det \left(\begin{array}{cc} {AB} & {\bf 0} \\ {B} & {E} \end{array}\right)
=\det (AB)\det E=\det (AB),
\end{equation}
следовательно, окончательно получаем, что $\det C=\det A\det B=\det (AB)$.
}}

Определитель произведения двух матриц

2022-07-06T14:29:37Z

St001214:

Пусть дана квадратная матрица $A=[a_1, a_2, ..., a_n ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$.

Введем вспомогательную квадратную матрицу
\begin{equation}
G_{ij} =\{ \gamma_{ks} \}_{k,s=1}^{n,n} =[n\times n],\, \, \gamma_{ks} =\left[\begin{array}{l} {0,\, \, k\ne i,\, s\ne j,} \\ {1,\, \, k=i,\, s=j,} \end{array}\right.
\end{equation}
в которой единственный отличный от нуля элемент стоит в $i$-й строке и $j$-м столбце ($i\ne j$).

В соответствии с формулой умножения матриц: $G_{ij} A = G_{ij} [a_1, a_2, ..., a_n ]=[{\bf 0}_1, ..., {\bf 0}_{i-1}, a_{j}, {\bf 0}_{i+1}, ..., {\bf 0}_n].$

Построим матрицу $E+\gamma G_{ij}$, где $\gamma$ — произвольное число, а $Е$ — единичная матрица.
Тогда $(E+\gamma G_{ij} )A = A+\gamma G_{ij} A=[a_1, ..., a_{i-1}, a_{i} +\gamma a_{j}, a_{i+1}, ..., a_n ].$

Следовательно, умножение матрицы $A$ слева на матрицу $E+\gamma G_{ij} $ эквивалентно прибавлению к $i$-й строке матрицы $A$ ее строки с номером $j$, умноженной на число $\gamma$.

Когда матрица $A$ умножается справа на матрицу $G_{ij}$, то
$AG_{ij} =[a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ]G_{ij} =[{\bf 0}^{1}, ..., {\bf 0}^{j-1}, a^{i}, {\bf 0}^{j+1}, ..., {\bf 0}^{n} ].$,
и тогда
$A(E+\gamma G_{ij} ) = A+\gamma AG_{ij} =[a^{1}, ..., a^{j-1}, a^{j} +\gamma a^{i}, a^{j+1}, ..., a^{n} ],$
то есть это действие эквивалентно прибавлению к $j$-му столбцу матрицы $A$ ее столбца с номером $i$, предварительно умноженному на число $\gamma$.

Матрица $E+\gamma G_{ij}$ называется ''матрицей элементарного преобразования''.

Обобщением матрицы элементарного преобразования является понятие унитреугольной матрицы.

{{Определение
|definition=
Правой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

\begin{equation}
U_R =\left(\begin{array}{ccccc}
1 & \gamma_{12} & ... & \gamma_{1,n-1} & \gamma_{1n} \\
0 & 1 & ... & \gamma_{2,n-1} & \gamma_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & ... & 1 & \gamma_{n-1,n} \\
0 & 0 & ... & 0 & 1
\end{array}\right)
\end{equation}

{{Определение
|definition=
Левой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

\begin{equation}
U_L =\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & ... & 0 & 0 \\
\gamma_{21} & 1 & ... & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\gamma_{n-1,1} & \gamma_{n-1,2} & ... & 1 & 0 \\
\gamma_{n1} & \gamma_{n2} & ... & \gamma_{n,n-1} & 1
\end{array}\right).
\end{equation}

Умножая произвольную матрицу $A=[a_1, a_2, ..., a_n ]$ слева на матрицу $U_{R}$, получаем
$U_R A = [a_1 +\gamma_{12} a_2 +\cdots +\gamma_{1n} a_n, a_2 +\gamma_{23} a_3 +\cdots +\gamma_{2n} a_n, ..., a_n ],$
а при умножении слева на матрицу $U_l$, имеем
$U_L A = [a_1, \gamma_{21} a_1 +a_2, ..., \gamma_{n1} a_1 +\gamma_{n2} a_2 +\cdots + a_n ].$

В силу свойств определителей, очевидно, что $\det (U_R A)=\det (U_L A)=\det A$.

{{Теорема
|statement=
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей.
|proof=
Возьмем две произвольные квадратные матрицы $A$ и $B$ размера $[n\times n]$. Докажем, что $\det (AB)=\det A\det B$.

Для этого построим вспомогательную матрицу
$C = \left(\begin{array}{c|c} A & {\bf 0} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right) = [2n\times 2n].$

Матрица $C$ является ступенчатой и ее определитель равен произведению определителей диагональных блоков, то есть $\det C=\det A\det B$. Построим правую унитреугольную матрицу
$U_{R} =\left(\begin{array}{c|c} {E} & {A} \\ \hline {{\bf 0}} & {E} \end{array}\right).$

В силу свойств унитреугольных матриц $\det (U_{R} C)=\det C$. Умножая блочные матрицы, имеем
\begin{equation}
U_{R} C=\left(\begin{array}{c|c} {E} & {A} \\ \hline {{\bf 0}} & {E} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c|c} {A} & {{\bf 0}} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c} {{\bf 0}} & {AB} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right).
\end{equation}

Поскольку
\begin{equation}
\det C = \det (U_{R} C) = \det \left(\begin{array}{c|c} {{\bf 0}} & {AB} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right)=(-1)^{n} \det \left(\begin{array}{c|c} {AB} & {{\bf 0}} \\ \hline {B} & {-E} \end{array}\right)=(-1)^{2n} \det \left(\begin{array}{c|c} {AB} & {{\bf 0}} \\ \hline {B} & {E} \end{array}\right)=$$
$$=\det (AB)\det E=\det (AB),
\end{equation}
следовательно, окончательно получаем, что $\det C=\det A\det B=\det (AB)$.
}}

Определитель произведения двух матриц

2022-07-06T14:24:22Z

St001214: Новая страница: «Пусть дана квадратная матрица $A=[a_1, a_2, ..., a_n ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$. Введем вспомогательную кв...»

Пусть дана квадратная матрица $A=[a_1, a_2, ..., a_n ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$.

Введем вспомогательную квадратную матрицу
$G_{ij} =\{ \gamma_{ks} \}_{k,s=1}^{n,n} =[n\times n],\, \, \gamma_{ks} =\left[\begin{array}{l} {0,\, \, k\ne i,\, s\ne j,} \\ {1,\, \, k=i,\, s=j,} \end{array}\right.$
в которой единственный отличный от нуля элемент стоит в $i$-й строке и $j$-м столбце ($i\ne j$).

В соответствии с формулой умножения матриц: $G_{ij} A = G_{ij} [a_1, a_2, ..., a_n ]=[{\bf 0}_1, ..., {\bf 0}_{i-1}, a_{j}, {\bf 0}_{i+1}, ..., {\bf 0}_n ].$

Построим матрицу $E+\gamma G_{ij}$, где $\gamma$ — произвольное число, а $Е$ — единичная матрица.
Тогда $(E+\gamma G_{ij} )A = A+\gamma G_{ij} A=[a_1, ..., a_{i-1}, a_{i} +\gamma a_{j}, a_{i+1}, ..., a_n ].$

Следовательно, умножение матрицы $A$ слева на матрицу $E+\gamma G_{ij} $ эквивалентно прибавлению к $i$-й строке матрицы $A$ ее строки с номером $j$, умноженной на число $\gamma$.

Когда матрица $A$ умножается справа на матрицу $G_{ij}$, то
$AG_{ij} =[a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ]G_{ij} =[{\bf 0}^{1}, ..., {\bf 0}^{j-1}, a^{i}, {\bf 0}^{j+1}, ..., {\bf 0}^{n} ].$,
и тогда
$A(E+\gamma G_{ij} ) = A+\gamma AG_{ij} =[a^{1}, ..., a^{j-1}, a^{j} +\gamma a^{i}, a^{j+1}, ..., a^{n} ],$
то есть это действие эквивалентно прибавлению к $j$-му столбцу матрицы $A$ ее столбца с номером $i$, предварительно умноженному на число $\gamma$.

Матрица $E+\gamma G_{ij}$ называется ''матрицей элементарного преобразования''.

Обобщением матрицы элементарного преобразования является понятие унитреугольной матрицы.

{{Определение
|definition=
Правой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

$$
U_R =\left(\begin{array}{ccccc}
1 & \gamma_{12} & ... & \gamma_{1,n-1} & \gamma_{1n} \\
0 & 1 & ... & \gamma_{2,n-1} & \gamma_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & ... & 1 & \gamma_{n-1,n} \\
0 & 0 & ... & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

{{Определение
|definition=
Левой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

$$
U_L =\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & ... & 0 & 0 \\
\gamma_{21} & 1 & ... & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\gamma_{n-1,1} & \gamma_{n-1,2} & ... & 1 & 0 \\
\gamma_{n1} & \gamma_{n2} & ... & \gamma_{n,n-1} & 1
\end{array}\right).
$$

Умножая произвольную матрицу $A=[a_1, a_2, ..., a_n ]$ слева на матрицу $U_{R}$, получаем
$U_R A = [a_1 +\gamma_{12} a_2 +\cdots +\gamma_{1n} a_n, a_2 +\gamma_{23} a_3 +\cdots +\gamma_{2n} a_n, ..., a_n ],$
а при умножении слева на матрицу $U_l$, имеем
$U_L A = [a_1, \gamma_{21} a_1 +a_2, ..., \gamma_{n1} a_1 +\gamma_{n2} a_2 +\cdots + a_n ].$

В силу свойств определителей, очевидно, что $\det (U_R A)=\det (U_L A)=\det A$.

{{Теорема
|statement=
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей.
|proof=
Возьмем две произвольные квадратные матрицы $A$ и $B$ размера $[n\times n]$. Докажем, что $\det (AB)=\det A\det B$.

Для этого построим вспомогательную матрицу
$$C = \left(\begin{array}{c|c} A & {\bf 0} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right) = [2n\times 2n].$$

Матрица $C$ является ступенчатой и ее определитель равен произведению определителей диагональных блоков, то есть $\det C=\det A\det B$. Построим правую унитреугольную матрицу
$$U_{R} =\left(\begin{array}{c|c} {E} & {A} \\ \hline {{\bf 0}} & {E} \end{array}\right).$$

В силу свойств унитреугольных матриц $\det (U_{R} C)=\det C$. Умножая блочные матрицы, имеем
$$U_{R} C=\left(\begin{array}{c|c} {E} & {A} \\ \hline {{\bf 0}} & {E} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c|c} {A} & {{\bf 0}} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c} {{\bf 0}} & {AB} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right).$$

Поскольку
$$\det C = \det (U_{R} C) = \det \left(\begin{array}{c|c} {{\bf 0}} & {AB} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right)=(-1)^{n} \det \left(\begin{array}{c|c} {AB} & {{\bf 0}} \\ \hline {B} & {-E} \end{array}\right)=(-1)^{2n} \det \left(\begin{array}{c|c} {AB} & {{\bf 0}} \\ \hline {B} & {E} \end{array}\right)=$$
$$=\det (AB)\det E=\det (AB),$$
следовательно, окончательно получаем, что $\det C=\det A\det B=\det (AB)$.
}}

Множества

2021-12-31T11:51:27Z

St001214: /* Определения */

== Определения ==
{{Определение
|definition=
Множество {{---}} любая совокупность элементов одной природы, мыслимая как единое целое.
}}
{{Определение
|definition=
Пустое множество {{---}} множество, не содержащее элементов. Обозначается <math>\varnothing</math>.
}}
{{Определение
|definition=
Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
}}
{{Определение
|definition=
Два множества называются равномощными, если каждому элементу одного множества взаимно-однозначно сопоставляется один и только один элемент другого.
}}
{{Определение
|definition=
Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел <math>\N</math>, называют ''счетным множеством''.
}}
{{Определение
|definition=
Мощность множества {{---}} количество элементов множества. Обозначают <math>\vert A \vert</math>. Используется для конечных множеств.
}}

== Подмножества ==
{{Определение
|definition=
Обозначают <math>A \subseteq B</math> и говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> является элементом множества <math>B</math>.
}}
Если также известно, что <math>A \neq B</math>, говорят, что <math>A</math> является собственным (или
строгим) подмножеством множества <math></math> и пишут <math>A \subset B</math>.
{{Пример
|content=
1) <math>\{ 1,\ 3 \} \subset \{ 3,\ 5,\ 1,\ 4 \}</math> 
2) <math>\{ k,\ l,\ j \} \subseteq \{ l,\ j,\ k \} </math>
}}
{{Определение
|definition=
Множество всех подмножеств множества <math>A</math> будем обозначать <math>2^A</math>. Мощность
множества всех подмножеств множества с <math>n</math> элементами равна <math>2^n\colon \ \vert 2^A \vert = 2^{\vert A \vert}</math>.
}}
{{Пример
|content=
Пусть <math>A = \{ a,\ b,\ c \}</math>. Тогда <math>2^A = \{ \varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a,\ b\},\ \{a,\ c\},\ \{b,\ c\},\ \{A\} \}</math>.
Видно, что в этом множестве <math>2^{\vert A \vert} = 2^3 = 8</math> элементов.
}}
== Операции над множествами ==
=== Объединение множеств ===
<math>A \cup B = \{ x \mid x \in A\ </math> или <math>\ x \in B \}</math>
=== Пересечение множеств ===
<math>A \cap B = \{ x \mid x \in A\ </math> и <math>\ x \in B \}</math>
=== Дополнение множества ===
<math>\overline{A} = \{ x \mid x \in U\ </math> и <math>\ x \notin A \}</math>, где <math>U</math> {{---}} универсальное множество.
=== Разность множеств ===
<math>A\ \backslash\ B = \{ x \mid x \in A\ </math> и <math>\ x \notin B \}</math>
=== Симметрическая разность множеств ===
<math>A\ \dot - \ B = \left ( A\ \backslash\ B \right ) \cup \left ( B\ \backslash\ A \right )</math>
{{Утверждение
|id=mnoj
|about=Основные тождества алгебры множеств
|statement=
Пусть <math>A,\ B,\ C,\</math> произвольные подмножества множества <math>U</math>, тогда выполняются следующие тождества:

<math>1)\ </math> ''Коммутативность:'' <math>\ a)\ </math> <math>A \cup B = B \cup A ;\quad</math> <math>b)\ A \cap B = B \cap A</math>

<math>2)\ </math> ''Ассоциативность:'' <math>\ a)\ A \cup \left ( B \cup C \right ) = \left ( A \cup B \right ) \cup C ; \quad</math> <math>b)\ A \cap \left ( B \cap C \right ) = \left (A \cap B \right ) \cap C </math>;

<math>3)\ </math> <math>a)</math> ''Дистрибутивность'' <math>\cup</math> ''относительно'' <math>\cap: \ </math> <math>A \cup \left ( B \cap C \right ) = \left ( A \cup B \right ) \cap \left ( A \cup C \right )</math>

<math>\quad\ \ b)</math> ''Дистрибутивность'' <math>\cap</math> ''относительно'' <math>\cup: \ </math> <math>A \cap \left ( B \cup C \right ) = \left ( A \cap B \right ) \cup \left ( A \cap C \right )</math>

<math>4)\ </math> <math>A \cup \varnothing = A</math>; <math>\quad A \cap \varnothing = \varnothing</math>

<math>5)\ </math> <math>A \cup U = U</math>; <math>\ A \cap U = A</math>

<math>6)\ </math> <math>A \cup \overline{A} = U</math>; <math>\quad A \cap \overline{A} = \varnothing</math>

<math>7)\ </math> ''Законы де Моргана:'' <math>\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}</math>; <math>\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}</math>

<math>8)\ </math> ''Идемпотентность:'' <math>A \cup A = A</math>; <math>\quad A \cap A = A</math>

<math>9)\ </math> ''Законы поглощения'' <math>A \cap \left ( A \cup B \right ) = A;</math> <math>\quad A \cup \left ( A \cap B \right ) = A</math>

<math>10)\ </math> ''Инволютивный закон'' <math>\overline{\overline{A}} = A</math>
Доказательства тождеств следуют из определений операций над множествами.
}}

Теорема Безу

2021-12-31T11:47:09Z

St001214: /* Литература */

{{Теорема
|statement=
Для того, чтобы полином <math>f(x)</math> делился на двучлен <math>x - c</math>, необходимо и достаточно, чтобы <math>f(c) = 0</math>.
|proof=
''Необходимость''. Пусть <math>f(x)</math> делится на <math>x - c</math>, т.е. <math>f(x) = (x - c) \cdot h(x)</math>. Тогда <math>f(c) = 0</math>.

''Достаточность''. Пусть <math>f(c) = 0</math>, тогда в равенстве <math>f(x) = (x - c) \cdot h(x) + r</math> $\:$ будет $\:$ <math>r = f(c) = 0</math>, т.е. <math>f(x) = (x - c) \cdot h(x)</math>.
}}
{{Следствие
|statement=
Остаток от деления полинома <math>f(x)</math> на двучлен <math>x - c</math> равен <math>f(c)</math>.
}}

== Литература ==
''Фадеев Д. К.'' Лекции по алгебре: Учебное пособие. 4-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2005. — 416 с.

Обсуждение:Множества

2021-12-27T22:13:17Z

St001214: Новая страница: «* В предложении определения равномощных множеств, видимо, пропущено слово после запятой....»

* В предложении определения равномощных множеств, видимо, пропущено слово после запятой. --[[Участник:St001214|St001214]] ([[Обсуждение участника:St001214|обсуждение]]) 01:12, 28 декабря 2021 (MSK)
* В названии Утверждения следует убрать "(Основные тождества алгебры логики)" поскольку здесь разговор про множества, а не про алгебру логики. --[[Участник:St001214|St001214]] ([[Обсуждение участника:St001214|обсуждение]]) 01:12, 28 декабря 2021 (MSK)
* Перепутаны Идемпотентность и Законы де Моргана. --[[Участник:St001214|St001214]] ([[Обсуждение участника:St001214|обсуждение]]) 01:12, 28 декабря 2021 (MSK)
* Законы поглощения тоже надо проверить. --[[Участник:St001214|St001214]] ([[Обсуждение участника:St001214|обсуждение]]) 01:12, 28 декабря 2021 (MSK)
* Добавить источник информации. --[[Участник:St001214|St001214]] ([[Обсуждение участника:St001214|обсуждение]]) 01:12, 28 декабря 2021 (MSK)

Обсуждение участника:StudentL

2021-12-27T22:03:12Z

St001214: Новая страница: «На странице Множества ошибки в "Утверждение (Основные тождества алгебры логики)": * в на...»

На странице [[Множества]] ошибки в "Утверждение (Основные тождества алгебры логики)":
* в названии следует убрать "(Основные тождества алгебры логики)" поскольку здесь разговор про множества, а не про алгебру логики.
* перепутаны Идемпотентность и Законы де Моргана;
* Законы поглощения тоже надо проверить.

Эрмитовы формы

2021-12-10T14:03:06Z

St001214: Новая страница: «{{Определение |definition=Эрмитовой формой называется многочлен от комплексных элементов <math>...»

{{Определение
|definition=Эрмитовой формой называется многочлен от комплексных элементов <math>\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n </math> и сопряженных переменных <math>\bar \xi_1, \bar \xi_2, ..., \bar \xi_n </math> вида <math>g(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n ) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {\alpha_{ij} \xi_i \bar {\xi}_j} }, \alpha_{ji} = \bar \alpha_{ij}.</math>
}}

В матричной записи эрмитова форма имеет вид
<math>g({\rm {\bf z}}) = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf Az}}</math>,
где <math>{\rm {\bf z}}^\ast = (\bar \xi_1, \bar \xi_2, ..., \bar \xi_n)</math>, причем матрица <math>{\rm {\bf A}} = {\rm {\bf A}}^\ast</math>.

Заметим, что все диагональные коэффициенты (когда <math>i=j</math>) у эрмитовой формы всегда являются вещественными числами.

{{Определение
|definition=Матрицы, совпадающие со своими сопряженными матрицами, называются эрмитовыми.
}}

Будем предполагать, что если <math>{\rm {\bf z}} = {\rm {\bf Bu}}, \det {\rm {\bf B}} \ne 0</math>, то сопряженные переменные преобразуются
по формулам <math>{\rm {\bf \bar {z}}} = {\rm {\bf \bar {B}\bar {u}}}, \det {\rm {\bf \bar {B}}} \ne 0</math>, следовательно,
<math>{\rm {\bf z}}^\ast = {\rm {\bf u}}^\ast {\rm {\bf B}}^\ast </math>. Поэтому эрмитова форма в результате невырожденного преобразования приводится к виду
<math>
h({\rm {\bf u}}) = {\rm {\bf u}}^\ast {\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf ABu}} = {\rm {\bf u}}^\ast {\rm {\bf Cu}}.
</math>

Покажем, что матрица <math>\bf C</math> является эрмитовой. С этой целью воспользуемся определением, получаем
<math>
{\rm {\bf C}}^\ast = ({\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf AB}})^\ast = {\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf A}}^\ast {\rm {\bf B}}^{\ast \ast } = {\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf AB}} = {\rm {\bf C}}.
</math>

Обратим внимание на то, что для любого <math>{\rm {\bf z}}</math> эрмитова форма принимает вещественные значения. Действительно, допустим, что <math>{\rm {\bf z}}</math> произвольный столбец с комплексными элементами. Тогда, если <math>g({\rm {\bf z}}) = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf Az}}</math>, <math>{\rm {\bf A}} = {\rm {\bf A}}^\ast </math>, то <math>\overline {g({\rm {\bf z}})} = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf A}}^\ast {\rm {\bf z}}^{\ast \ast } = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf Az}} = g({\rm {\bf z}})</math>, что и требовалось доказать.

Определитель эрмитовой матрицы также является вещественным числом, поскольку
<math>
\overline {\det {\rm {\bf A}}} = \det {\rm {\bf \bar {A}}} = \det {\rm {\bf A}}^\ast = \det {\rm {\bf A}}.
</math>

{{Определение
|definition=
Говорят, что эрмитова форма имеет канонический вид, если ее матрица является диагональной, т. е.
<math>
g({\rm {\bf z}}) = {\rm {\bf z}}^\ast diag(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n ){\rm {\bf z}} = \lambda_1 \xi_1 \bar \xi_1 + \lambda_2 \xi_2 \bar \xi_2 + \cdots + \lambda_n \xi_n \bar \xi_n = \lambda_1 \vert \xi_1 \vert ^2 + \lambda_2 \vert \xi_2 \vert ^2 + \cdots + \lambda_n \vert \xi_n \vert ^2,
</math>
где <math>\lambda_i </math>, <math>i = \overline {1,n}</math> вещественные числа.
</div>
}}

Приведем без доказательства основные свойства эрмитовых форм, каждое из которых имеет соответствующий аналог среди свойств вещественных квадратичных форм.

{{Теорема
|statement=Эрмитова форма приводится к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования с комплексной матрицей.
}}
{{Теорема
|statement=Ранг эрмитовой формы совпадает с рангом ее матрицы и, в свою очередь, равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.
}}
{{Теорема
|statement=Для того чтобы эрмитова форма была положительно определена необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты в ее каноническом виде были строго положительны.
}}
{{Теорема
|statement=Для того чтобы эрмитова форма с невырожденной матрицей приводилась к каноническому виду с помощью унитреугольного преобразования необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры <math>\det {\rm {\bf A}}_i </math>, <math>i = \overline {1,n}</math>, были отличны от нуля. При этом коэффициенты канонического вида этой эрмитовой формы равны
<math>
\lambda_1 = \det {\rm {\bf A}}_1, \,\lambda_2 = \frac{\det {\rm {\bf A}}_2 }{\det {\rm {\bf A}}_1 }, ..., \lambda_n = \frac{\det {\rm {\bf A}}_n }{\det {\rm {\bf A}}_{n - 1} }.
</math>
}}
{{Теорема
|statement=Эрмитова форма положительно определена тогда и только тогда, когда <math>\det {\rm {\bf A}}_i > 0</math>, <math>i = \overline {1,n}</math>.
}}
{{Теорема
|statement=
Число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде эрмитовой формы не зависит от выбора преобразования.
}}
{{Теорема
|statement=Все собственные значения эрмитовой матрицы являются вещественными.
}}
{{Теорема
|statement=Любая эрмитова форма с помощью унитарного преобразования приводится к каноническому виду, в котором коэффициенты совпадают с собственными значениями эрмитовой матрицы, а столбцы матрицы преобразования равны собственным векторам этой матрицы.
}}
{{Теорема
|statement=Две эрмитовы формы, одна из которых является положительно определенной, приводятся к каноническому виду одним и тем же преобразованием.
}}

Критерий полноты системы функций

2021-12-10T12:35:10Z

St001214: Новая страница: «Классы функций * <math>T_0</math> {{---}} функции, сохраняющие ноль, * <ma...»

Классы функций
* <math>T_0</math> {{---}} [[Функции сохраняющие ноль|функции, сохраняющие ноль]],
* <math>T_1</math> {{---}} [[Функции сохраняющие единицу|функции, сохраняющие единицу]],
* <math>S</math> {{---}} [[Самодвойственные функции|самодвойственные функции]],
* <math>M</math> {{---}} [[Монотонные функции|монотонные функции]],
* <math>L</math> {{---}} [[Линейные функции|линейные функции]].

{{Теорема
|author= Теорема Поста
|statement= Для полноты системы функций <math>\mathcal P\subseteq P_2</math> необходимо и достаточно, чтобы <math>\mathcal P</math> не лежал полностью
ни в одном из классов <math>T_0</math>, <math>T_1</math>, <math>S</math>, <math>M</math>, <math>L</math>:
<math>\mathcal P\not \subseteq T_0</math>, <math>\mathcal P\not \subseteq T_1</math>, <math>\mathcal P\not \subseteq S</math>, <math>\mathcal P\not \subseteq M</math>, <math>\mathcal P\not \subseteq L</math>.

|proof= '''Необходимость.''' Если система функций <math>\mathcal P</math> лежит полностью
в одном из классов <math>R\in\{T_0, T_1, S, M, L\}</math>, то, поскольку все эти классы
замкнуты и не совпадают с <math>P_2</math>, <math>[\mathcal P]\subseteq [R]\neq P_2</math>. Тогда
система <math>\mathcal P</math> — не является полной.

'''Достаточность.'''
Пусть <math>f_0, f_1, f_S, f_M, f_L\in\mathcal P</math> такие функции, что
<math>f_0\notin T_0</math>,
<math>f_1\notin T_1</math>,
<math>f_S\notin S</math>,
<math>f_M\notin M</math>,
<math>f_L\notin L</math> (некоторые из функций могут совпадать).
Проведем доказательство в несколько этапов.

1. Покажем, что с помощью <math>f_0</math>, <math>f_1</math>, <math>f_S</math> можно получить 0 и 1.

1.1. Пусть <math>f_0(1,...,1)=1</math>.
Пусть <math>\varphi(x) = f_0(x,...,x)</math>. Тогда <math>\varphi(0) = \varphi(1) = 1</math>.
Значит <math>\varphi(x) = 1</math> и, имея единицу, можно получить вторую константу <math>0=f_1(1,...,1)</math>.

1.2. Пусть теперь <math>f_0(1,...,1)=0</math>.
Тогда <math>\varphi(x) = f_0(x,...,x) = \overline x</math>.
Подставляя в <math>f_S</math> <math>x</math> и <math>\overline x</math> по лемме о несамодвойственной функции
получаем константу <math>0</math> или <math>1</math> и с помощью <math>\overline x</math> получаем вторую константу.

2. По лемме о немонотонной функции, подставляя константы в <math>f_M</math> можно получить <math>\neg x</math>.

3. Используя <math>f_L</math>, константы и <math>\neg x</math>, по лемме о нелинейной функции можно
получить <math>x\wedge y</math>.

Так как <math>\{\neg, \wedge\}</math> — полная система функций, то и система <math>\mathcal P</math> — полная.
}}

{{Пример
|content=Требуется проверить на полноту систему функций <math>\mathcal P = \{0, 1, x y, x\oplus y\oplus z\}</math>.

Рассмотрим принадлежность функций <math>\mathcal P</math> классам <math>T_0</math>, <math>T_1</math>, <math>S</math>, <math>M</math>, <math>L</math> и заполним таблицу.

<math>
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& T_0 & T_1 & S & M & L\\
\hline
0 & + & - & - & + & + \\
\hline
1 & - & + & - & + & + \\
\hline
x y & + & + & - & + & - \\
\hline
x\oplus y \oplus z & + & + & + & - & + \\
\hline
\end{array}
</math>

Рассмотрим, например, проверку функции <math>x\oplus y \oplus z</math>:

a) <math>0\oplus 0 \oplus 0 = 0</math> <math>\Rightarrow</math> <math>x\oplus y \oplus z\in T_0</math>;

b) <math>1\oplus 1 \oplus 1 = 1</math> <math>\Rightarrow</math> <math>x\oplus y \oplus z\in T_1</math>;

c) <math>\overline{\overline x \oplus \overline y \oplus \overline z} =
1 \oplus (1\oplus x) \oplus (1\oplus y) \oplus (1 \oplus z) =
x\oplus y \oplus z</math> <math>\Rightarrow</math> <math>x\oplus y \oplus z\in S</math>;

d) <math>(1,0,0)\prec (1,1,0)</math>, но
<math>1 = 1\oplus 0 \oplus 0 \gt 1\oplus 1 \oplus 0 = 0</math>
<math>\Rightarrow</math> <math>x\oplus y \oplus z\notin M</math>;

e) Очевидно, функция является линейной: <math>x\oplus y \oplus z\in L</math>.

Теперь, заполнив и проанализировав таблицу, можно убедиться, что система функций
<math>\mathcal P</math> является полной, так как в каждом столбце, соответствующем одному
из классов присутствует хотя бы один минус.

В то же время ни одно подмножество <math>\mathcal P</math> полной системой не является, поскольку,
если вычеркнуть в таблице хотя бы одну строку, появится столбец не имеющий минуса.
}}

{{Определение
|definition= Пусть <math>\mathfrak M</math> — замкнутый класс функций.
Пусть <math>\mathcal B\subseteq \mathfrak M</math>.
<math>\mathcal B</math> называется базисом класса <math>\mathfrak M</math>, если
# <math>[\mathcal B] = \mathfrak M</math>;</li>
# <math>\forall f\in \mathcal B \Rightarrow [\mathcal B\setminus \{f\}]\neq \mathfrak M</math>.</li>
}}

{{Пример
|content= Система <math>\{0, 1, xy, x\oplus y\}</math> полная, но базисом <math>P_2</math> не является.
Базисом <math>P_2</math> будет ее подсистема <math>\{1, xy, x\oplus y\}</math>.

<math>
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& T_0 & T_1 & S & M & L\\
\hline
0 & + & - & - & + & + \\
\hline
1 & - & + & - & + & + \\
\hline
x y & + & + & - & + & - \\
\hline
x\oplus y & + & - & - & - & + \\
\hline
\end{array}
</math>
}}

Пространство Rn

2021-11-25T13:19:31Z

St001214: Новая страница: «{{Определение |definition= Пространством <math>R^n</math> будем называть совокупность упорядоченных...»

{{Определение
|definition=
Пространством <math>R^n</math> будем называть совокупность упорядоченных наборов из <math>n</math> вещественных чисел или, что тоже самое, совокупность <math>n</math>-мерных векторов, т.е.
<math>R^n=\{{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T, \hbox{ где } x_i\in R, i=1,\ldots,n\}</math>.

Число <math>n</math> в этом случае будет размерностью пространства.
}}
Так <math>R^1=R</math> {{---}} одномерное множество вещественных чисел, пространство <math>R^2</math> задает множество точек на плоскости, <math>R^3</math> представляет собой наше трехмерное пространство, и т.д.

== Метрика в пространстве <math>R^n</math> ==

Для произвольных <math>{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T</math>, <math>{\bf y}=(y_1,\ldots,y_n)^T</math> можно положить
<math>\rho_1({\bf x},{\bf y})=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}</math>.
Такая метрика называется сферической (или евклидовой). Она равна геометрическому расстоянию между точками <math>{\bf x}</math> и <math>{\bf y}</math>.

Проверим аксиомы для этой метрики. Неотрицательность и симметричность, очевидно, имеют место. Докажем справедливость неравенства треугольника.

Для любых чисел <math>t,a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n</math> верно неравенство <math>\sum_{i=1}^n(a_it+b_i)^2 \geq 0</math>.
Отсюда имеем
<math>
At^2+2Bt+C\geq0,
</math>
где <math>A=\sum\limits_{i=1}^na_i^2</math>, <math>B=\sum\limits_{i=1}^na_ib_i</math>, <math>C=\sum\limits_{i=1}^nb_i^2</math>. Поскольку неравенство выполняется при всех <math>t</math>, то соответствующий
дискриминант квадратичного выражения должен удовлетворять условию: <math>B^2-AC\leq0</math>. Значит,
<math>
\left(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\right)^2-\left(\sum\limits_{i=1}^na_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2\right)\leq0.
</math>

Тогда <math>\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\leq\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2}.</math>

Получаем
<math>
\sum\limits_{i=1}^na_i^2+\sum\limits_{i=1}^nb_i^2+2\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\leq\sum\limits_{i=1}^na_i^2+\sum\limits_{i=1}^nb_i^2+2\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2},
</math>
или
<math>\sum\limits_{i=1}^n(a_i+b_i)^2\leq\left(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}+\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2}\right)^2.</math>

В результате находим, что
<math>
\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(a_i+b_i)^2}\leq\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}+\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2}.
</math>

Выберем произвольные <math>{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T</math>, <math>{\bf y}=(y_1,\ldots,y_n)^T</math>, <math>{\bf z}=(z_1,\ldots,z_n)^T</math>. Положим:
<math>a_i=x_i-z_i,\quad b_i=z_i-y_i,\quad i=1,\dots,n.</math>
Приходим к неравенству треугольника. Следовательно все аксиомы для сферической метрики выполнены.

Заметим, что окрестность
<math>U_{\varepsilon}^{(1)}({\bf x}_0)=\{{\bf x}\in R^n: \rho_1({\bf x},{\bf x}_0) \lt \varepsilon\}</math>
представляет собой геометрический шар (поэтому данная метрика и называется сферической).

Метрику можно вводить по-разному, вопрос лишь в удобстве использования той или иной формулы при решении различных задач.
Так, например, для пространства <math>R^n</math> можно положить
<math>\rho_2({\bf x},{\bf y})=\max_{i=1,\ldots,n}|x_i-y_i|,</math>
все аксиомы метрики также будут выполнены.

Окрестность
<math>U_{\varepsilon}^{(2)}({\bf x}_0)=\{{\bf x}\in R^n: \rho_2({\bf x},{\bf x}_0) \lt \varepsilon\}</math>
в этом случае представляет собой геометрический параллелепипед. Поэтому метрику <math>\rho_2</math> принято называть параллелепипедальной.

Отметим, что при <math>n=1</math> эти две метрики совпадают (<math>\rho_1(x,y)=\rho_2(x,y)=|x-y|</math>).

{{Лемма
|statement=Для любого <math>{\bf x}\in R^n</math> верно:
* для любого <math>\varepsilon \gt 0</math> можно указать такое <math>\varepsilon_1 \gt 0</math>, что <math>U_{\varepsilon_1}^{(2)}({\bf x})\subset U_{\varepsilon}^{(1)}({\bf x})</math>;</li>
* для любого <math>\varepsilon \gt 0</math> можно указать такое <math>\varepsilon_2 \gt 0</math>, что <math>U_{\varepsilon_2}^{(1)}({\bf x})\subset U_{\varepsilon}^{(2)}({\bf x})</math>.</li>
}}

Лемма утверждает, что в любую сферическую окрестность элемента из <math>R^n</math> можно всегда поместить некоторую параллелепипедальную окрестность, и наоборот.
Из этого следует, что метрики <math>\rho_1</math> и <math>\rho_2</math> эквивалентны в плане близости элементов (т.е. все результаты, доказанные с использованием одной метрики, будут справедивы и для другой).

Есть и другие способы выбора метрики в пространстве <math>R^n</math>. Далее, если не оговорено противное, под метрикой <math>\rho({\bf x},{\bf y})</math> будем понимать евклидову (сферическую) метрику.

Самодвойственные функции

2021-11-25T12:05:37Z

St001214:

{{Определение
|definition=
Функция <math>f(x_1, ..., x_n)\in P_2</math> {{---}} самодвойственная, если <math>f^*(x_1, ..., x_n) = f(x_1, ..., x_n)</math>.
}}
Множество всех самодвойственных функций обозначим за <math>S</math>:
<math>S = \{ f | f(x_1, ..., x_n) \in P_2, f^*(x_1, ..., x_n) = f(x_1, ..., x_n) \}</math>.
{{Пример
|num=1
|content=
Пусть <math>f = x\vee y</math>, <math>f^* = \overline{\overline x \vee \overline y} = xy</math>.

<math>f\neq f^*</math> и, следовательно, <math>f^*</math> не является самодвойственной.
}}
{{Пример
|num=2
|content=
Пусть <math>f</math> {{---}} функция голосования: <math>f(x,y,z) = xy\vee xz\vee yz</math>.

<math>f^*(x,y,z) = \overline{\overline x\cdot \overline y \vee \overline x\cdot \overline z \vee \overline y\cdot \overline z} </math>
<math>= \overline{\overline x\cdot \overline y} \cdot \overline{\overline x\cdot \overline z} \cdot \overline{\overline y\cdot \overline z} </math>
<math>= (x\vee y)(x\vee z)(y\vee z) </math>
<math>= (x\vee xz\vee xy\vee yz)(y\vee z)</math>
<math>= xy\vee xz \vee xyz \vee xz \vee xy\vee xyz \vee yz \vee yz </math>
<math>= xy \vee xz \vee yz \vee xyz </math>
<math>= xy \vee xz \vee yz = f(x,y,z).</math>

Функция голосования {{---}} самодвойственная.
}}
Табличный вид функции голосования:
{|class="wikitable"
! x !! y !! z !! f(x,y,z)
|-
| 0 || 0 || 0 || 0
|-
| 0 || 0 || 1 || 0
|-
| 0 || 1 || 0 || 0
|-
| 0 || 1 || 1 || 1
|-
| 1 || 0 || 0 || 0
|-
| 1 || 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 1 || 0 || 1
|-
| 1 || 1 || 1 || 1
|}

Нижняя половина столбца значений повторяет перевернутую и инвертированную верхнюю. Это верно для любой самодвойственной функции.

== Принцип двойственности ==
{{Утверждение
|about=Принцип двойственности
|statement=
Пусть формула <math>\mathcal U = f(\mathcal U_1,...,\mathcal U_n)</math> реализует функцию <math>F (x_1,...,x_m)</math>,
где <math>\mathcal U_i</math> {{---}} формулы, реализующие <math>f_{i}(x_{j_1},...,x_{j_{k_i}})</math>, <math>i=\overline{1,n}</math>.

Пусть <math>\mathcal U_i^*</math> {{---}} формулы реализующие <math>f_{i}^*</math>, <math>i=\overline{1,n}</math>.

Тогда формула <math>\mathcal U^* = f^*(\mathcal U^*_1,...,\mathcal U^*_n)</math> реализует функцию <math>F^*(x_1,...,x_m)</math>.
|proof=
<math>F(x_1,...,x_m) = f(f_{1}(x_{i_1}, ..., x_{i_{k_1}}), ..., f_{n}(x_{j_1}, ..., x_{j_{k_n}})).</math>

Тогда, по определению двойственной функции 
<math>
F^*(x_1,...,x_m) = \overline f(f_{1}(\overline x_{i_1},...,\overline x_{i_{k_1}}), ..., f_{n}(\overline x_{j_1}, ..., \overline x_{j_{k_n}}))
</math>
<math>
= \overline f(\overline {\overline f}_{1}(\overline x_{i_1},...,\overline x_{i_{k_1}}), ..., \overline {\overline f}_{n}(\overline x_{j_1},...,\overline x_{j_{k_n}}))
</math>
<math>
= \overline f(\overline {f^*}_{1}(x_{i_1},..., x_{i_{k_1}}),...,\overline {f^*}_{n}(x_{j_1},...,x_{j_{k_n}}))
</math>
<math>
= f^*({f^*}_{1}(x_{i_1},..., x_{i_{k_1}}), ..., {f^*}_{n}(x_{j_1},...,x_{j_{k_n}})).
</math>

С другой стороны, формула $f^*(\mathcal U_1^*,...,\mathcal U_n^*)$ реализует функцию
<math>
f^*(f_{\mathcal U_1^*}(x_{i_1},..., x_{i_{k_1}}), ..., f_{\mathcal U_n^*} (x_{j_1},...,x_{j_{k_n}}))
</math>
<math>
= f^*({f^*}_{1}(x_{i_1},..., x_{i_{k_1}}), ..., {f^*}_{n}(x_{j_1},...,x_{j_{k_n}})).
</math>

Таким образом, один из способов задать функцию <math>F^*(x_1, ...,x_m)</math> формулой имеет вид <math>\mathcal U^* = f^*(\mathcal U_1^*, ..., \mathcal U_n^*)</math>.
}}
{{Пример
|num=3
|content=
Пусть <math>F(x,y,z) = (x\equiv y)\supset(y~|~z)= f(f_1(x,y),f_2(y,z))</math>, 
<math>f^*(x,y) = (x\supset y)^* = \overline{\overline x\supset\overline y}= \overline{x\vee \overline y} = \overline x y</math>, 
<math>f_1^*(x,y) = (x\equiv y)^* = \overline{\overline x\equiv \overline y} = \overline{x\equiv y} = x\oplus y</math>, 
<math>f_2^*(x,y) = (x~|~ y)^* = \overline{\overline x~|~\overline y} = \overline{x\vee y} = \overline x\wedge \overline y = x\downarrow y</math>.

Тогда по принципу двойственности <math>F^*(x,y,z)</math> будет иметь вид
<math>F^*(x,y,z) = f^*(f_1^*(x,y),f_2^*(y,z)) = \overline{(x\oplus y)}\wedge (y\downarrow z)</math>.

Действительно,
<math>F^*(x,y,z) = \neg {((\overline x\equiv \overline y)\supset(\overline y~|~\overline z))} </math>
<math>= \neg (\overline{(x\equiv y)}\vee(y\vee z)) </math>
<math>= \overline{\overline{(x\equiv y)}}\wedge\overline{(y\vee z)} </math>
<math>= \overline{(x\oplus y)}\wedge (y\downarrow z)</math>.
}}
{{Следствие
|statement=
Пусть <math>f(x_1,...,x_n)</math> задана формулой <math>\mathcal U</math> над множеством функций <math>\{0,1, \neg, \vee,\wedge\}</math>.
Тогда <math>f^*(x_1,...,x_n)</math> задается формулой, полученной из <math>\mathcal U</math> заменой: нулей на единицы, единиц на нули, конъюнкций на дизъюнкции, дизъюнкций на конъюнкции.
|proof=
Пусть <math>f=\neg f_1</math>.
Это значит, что <math>f = f_0(f_1)</math>, где <math>f_0(x) = \overline x</math>.

Тогда <math>f_0^* = \overline{\overline{\overline x}} = \overline x = f_0</math>.

Следовательно, <math>f^* = f_0^*(f_1^*) = f_0(f_1^*) = \neg f_1^*</math>.

Пусть <math>f = f_1\vee f_2</math>. Другими словами, <math>f = f_0(f_1,f_2)</math>, <math>f_0(x,y) = x\vee y</math>.

Тогда <math>f_0^* = \overline{\overline x \vee \overline y} = x\wedge y</math> и
<math>f^* = f_0^*(f_1^*, f_2^*) = f_1^*\wedge f_2^*</math>.

Пусть <math>f = f_1\wedge f_2</math>. Другими словами, <math>f = f_0(f_1,f_2)</math>, <math>f_0(x,y) = x\wedge y</math>.

Тогда <math>f_0^* = \overline{\overline x \wedge \overline y} = x\vee y</math> и <math>f^* = f_0^*(f_1^*, f_2^*) = f_1^*\vee f_2^*</math>.

Пусть <math>f = 0</math>. Тогда <math>f^* = 1</math>.

Пусть <math>f=1</math>. Тогда <math>f^* = 0</math>.

Пусть <math>f = x</math>. Тогда <math>f^* = \overline{\overline x}=x = f</math>.
}}
{{Пример
|num=4
|content=
Пусть, <math>f(x,y,z) = 0\wedge x\wedge \overline y\vee 1\wedge y\wedge \overline z</math>.

Тогда,
<math>
f^*(x,y,z) = \overline f(\overline x, \overline y, \overline z)
</math>
<math>=\neg(0\wedge \overline x\wedge\overline{\overline y} \vee 1 \wedge \overline y\wedge \overline{ \overline z})
</math>
<math>= \overline{(0\wedge \overline x\wedge y)} \wedge\overline{(1 \wedge \overline y\wedge z)} </math>
<math>= (1 \vee x \vee \overline y)\wedge (0\vee y \vee \overline z)</math>.
}}
{{Пример
|num=5
|content=
Пусть <math>f(x,y,z) = (\overline{0\vee x})(y\vee \overline x z)</math>.

Тогда
<math>f^*(x,y,z) = \neg((\overline{0\vee \overline x})(\overline y\vee \overline{\overline x}\wedge \overline z))</math>
<math>=\neg(1\wedge x)(\overline y\vee x\wedge \overline z))</math>
<math>=(\overline{1\wedge x})\vee(\overline{\overline y\vee x\wedge \overline z}))</math>
<math>=(\overline{1\wedge x})\vee(y\wedge ( \overline x\vee z)))</math>.
}}

== Замкнутость класса ==

{{Утверждение
|statement=
Класс функций <math>S</math> замкнут.
|proof=
Рассмотрим суперпозицию ранга 1 от функций из <math>S</math>.

a) Пусть <math>f(x_1,...,x_n)\in S</math> и <math>g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y) = f(x_1,...,x_{j-1},y,x_{j+1},...,x_{n})</math>.

Тогда
<math>\overline g(\overline x_1,...,\overline x_{j-1},\overline x_{j+1},...,\overline x_n, \overline y) </math>
<math>= \overline f(\overline x_1,...,\overline x_{j-1},\overline y,\overline x_{j+1},...,\overline x_{n})</math>
<math>= f^*(x_1,...,x_{j-1},y,x_{j+1},...,x_{n})</math>
<math>= f(x_1,...,x_{j-1},y,x_{j+1},...,x_{n})</math>
<math>= g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y)</math>.

Следовательно <math>g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y)\in S</math>.

b) Пусть <math>f(x_1,...,x_n)\in S</math> и <math>h(y_1, ...,y_m)\in S</math> и
<math>g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y_1,...,y_m)</math>
<math>=f(x_1,...,x_{j-1},h(y_1,...,y_{m}),x_{j+1},...,x_{n})</math>.

Тогда
<math>\overline g(\overline x_1,...,\overline x_{j-1}, \overline x_{j+1},...,\overline x_n, \overline y_1,...,\overline y_m)</math>
<math>= \overline f(\overline x_1,...,\overline x_{j-1}, h(\overline y_1,...,\overline y_{m}),\overline x_{j+1},...,\overline x_{n})</math>
<math>= \overline f(\overline x_1,...,\overline x_{j-1}, \overline{\overline h}(\overline y_1,...,\overline y_{m}),\overline x_{j+1},...,\overline x_{n})</math>
<math>= \overline f(\overline x_1,...,\overline x_{j-1}, \overline{ h^*}( y_1,...,y_{m}),\overline x_{j+1},...,\overline x_{n})</math>
<math>= f^*(x_1,..., x_{j-1}, { h^*}( y_1,...,y_{m}), x_{j+1},..., x_{n})</math>
<math>= f(x_1,..., x_{j-1}, { h}( y_1,...,y_{m}), x_{j+1},..., x_{n})</math>
<math>= g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y_1,...,y_m)</math>.

Получаем, что <math>g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y_1,...,y_m)\in S</math>.

Таким образом, <math>[S] = S</math>.
}}
{{Замечание
|content=
Тождественная функция $f(x)=x$ лежит в классе $S$.

Конъюнкция $f(x) = x \wedge y$ не лежит в $S$.

Таким образом, $S\neq \varnothing$ и $S\neq P_2$.
}}
{{Лемма
|about=о несамодвойственной функции
|statement=
Пусть <math>f(x_1, ..., x_n) \notin S</math>. Тогда, подставляя в <math>f</math> вместо аргументов переменные <math>x</math> и их отрицание <math>\overline x</math>, можно получить константу.
|proof=
Пусть <math>(\alpha_1,...,\alpha_n)</math>, <math>\alpha_i\in\{0,1\}</math>, такой набор, что <math>f(\alpha_1,...,\alpha_n) = f(\overline \alpha_1,...,\overline\alpha_n)</math>.
Такой набор обязан существовать в силу несамодвойственности функции <math>f</math>.

Рассмотрим функцию <math>\varphi(x) = f(x^{\alpha_1}, ..., x^{\alpha_n})</math>.

Тогда
<math>\varphi(0) = f(0^{\alpha_1}, ..., 0^{\alpha_n}) = f({\alpha_1}^0,...,{\alpha_n}^0) = f(\overline\alpha_1,...,\overline \alpha_n) </math>
<math> = f(\alpha_1,...,\alpha_n) = f(1^{\alpha_1},...,1^{\alpha_n}) = \varphi(1)</math>.

Следовательно $\varphi(x)$ {{---}} константа.
}}
{{Пример
|content=
Получение константы из несамодвойственной функции

Пусть <math>f(x,y,z) = x\supset (y\oplus z)</math>.

Это несамодвойственная функция, поскольку <math>f(0,1,0) = 0\supset (1\oplus 0) =1= 1\supset (0\oplus 1) =f(1,0,1)</math>.

Тогда <math>\varphi(x) = f(\overline x, x, \overline x)</math> {{---}} константа.

Действительно, <math>\varphi(x) = \overline x\supset(x\oplus \overline x) = \overline x\supset 1 = 1</math>.
}}

[[Категория:Дискретная математика]]

Категория:Дискретная математика

2021-11-25T12:05:03Z

St001214: Создана пустая страница

Функции сохраняющие ноль

2021-11-25T12:04:51Z

St001214: Новая страница: «{{Определение |definition= Пусть <math>f(x_1,...,x_n)\in P_2</math>. <math>f</math> называют функцией, сохраняющей но...»

{{Определение
|definition=
Пусть <math>f(x_1,...,x_n)\in P_2</math>. <math>f</math> называют функцией, сохраняющей ноль, если <math>f(0,...,0) = 0</math>.
}}
Множество всех функций сохраняющих 0 обозначим <math>T_0</math>: <math>T_0 = \{f(x_1,...,x_n) | f\in P_2, f(0,...,0) = 0\}.</math>
{{Утверждение
|statement=Класс функций <math>T_0</math> замкнут.
|proof=Рассмотрим суперпозицию ранга 1 от функций из <math>T_0</math>.

a) Пусть <math>f(x_1,...,x_n)\in T_0</math> и <math>g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y) =f(x_1,...,x_{j-1},y,x_{j+1},...,x_{n})</math>.
Тогда <math>g(0,...,0) = f(0,...,0) = 0</math>. Следовательно, <math>g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y)\in T_0</math>.

b) Пусть <math>f(x_1,...,x_n)\in T_0</math> и <math>h(y_1, ..., y_m)\in T_0</math> и <math>g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y_1,...,y_m) = f(x_1,...,x_{j-1},h(y_1,...,y_{m}),x_{j+1},...,x_{n})</math>.
Тогда <math>g(0,...,0) = f(0,...,0,h(0,...,0),0,...,0) = f(0,...,0,0,0,...,0) = 0</math>.

Получаем, что <math>g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y_1,...,y_m)\in T_0</math>.

Таким образом, <math>[T_0] = T_0</math>.
}}
Тождественная функция <math>f(x)=x</math> лежит в классе <math>T_0</math>.

Функция отрицания <math>f(x) = \overline x</math> не лежит в <math>T_0</math>.

Таким образом, <math>T_0\neq \varnothing</math> и <math>T_0\neq P_2</math>.

[[Категория:Дискретная математика]]

Эйлеровы интегралы

2021-11-05T09:46:06Z

St001214: Новая страница: «== Бетта-функция == {{Определение |definition= Функция вида <math>B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx</math> называет...»

== Бетта-функция ==
{{Определение
|definition=
Функция вида <math>B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx</math> называется '''Бетта-функцией''' или '''Эйлеровым интегралом первого рода'''.
}}
Этот интеграл сходится при <math>a \gt 0</math>, <math>b \gt 0</math> (если <math>a \geq 1</math> и <math>b \geq 1</math>, то интеграл будет собственным, в противном случае, возникнет несобственность второго рода в точках
<math>x=0</math> и/или <math>x=1</math>). Заметим, что подынтегральное выражение представляет собой дифференциальный бином. Следовательно, согласно [[Теорема Чебышева|теореме Чебышева]], если хотя бы одно из чисел
<math>a</math>, <math>b</math>, <math>a+b</math> является целым, то "Бетта-функция" задается "берущимся" интегралом, и ее можно записать в явном виде с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Если ни одно из указанных чисел не целое, то рассматриваемый интеграл {{---}} "неберущийся".

=== Свойства Бетта-функции ===
* <math>B(a,b)=B(b,a)</math>
* если <math>b \gt 1</math>, то <math>B(a,b)=\frac{b-1}{a+b-1}B(a,b-1)</math>.

Применяя свойства, получаем, что если <math>b \gt n</math>, <math>a \gt m</math> (<math>m,n\in\mathbb{N}</math>), то
: <math>B(a,b)=\frac{b-1}{a+b-1}\ldots \frac{b-n}{a+b-n}B(a,b-n)</math>,
: <math>B(a,b)=\frac{a-1}{a+b-1}\ldots \frac{a-m}{a+b-m}B(a-m,b)</math>.

Таким образом, без потери общности, Бетта-функцию достаточно рассматривать при значениях параметров <math>a\in(0,1]</math>, <math>b\in(0,1]</math>.

== Гамма-функция ==
{{Определение
|definition=
Функция вида <math>\Gamma(a)=\int_0^{+\infty}x^{a-1}e^{-x}\,dx </math>
называется '''Гамма-функцией''' или '''Эйлеровым интегралом второго рода'''.
}}
Этот интеграл сходится при <math>a \gt 0</math> (если <math>a \geq 1</math>, то имеется только несобственность первого рода, при <math>a \lt 1</math> возникает еще несобственность второго рода в точке <math>x=0</math>).

=== Свойства Гамма-функции ===
* <math>\Gamma^{(n)}(a)=\int_0^{+\infty}x^{a-1}\,\ln^{n}x\,e^{-x}\,dx</math>
* <math>\Gamma(a+1)=a\Gamma(a)</math> (как следствие, достаточно рассматривать "Гамма-функцию" при <math>a\in(0,1]</math>, более того, используя данную рекуррентную формулу, можно доопределить
"Гамма-функцию" при <math>a \lt 0</math>)
* <math>\Gamma(n+1)=n!</math>, <math>n=0,1,\ldots</math>
* существует <math>c\in(1,2)</math>, такое что Гамма-функция убывает на интервале <math>(0,c]</math> и возрастает на интервале <math>[c,+\infty)</math>, при этом
<math>\lim\limits_{a\to+0}\Gamma(a)=+\infty</math> и <math>\lim\limits_{a\to+\infty}\Gamma(a)=+\infty</math>
* <math>B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}</math>
* <math>\Gamma(a)\Gamma(1-a)=\frac{\pi}{\sin a\pi}</math> при <math>a\in(0,1]</math> (формула дополнения)
* <math>\Gamma(a)\Gamma(a+\frac12)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2a-1}}\Gamma(2a)</math> при <math>a \gt 0</math> (формула Лежандра)

Математический анализ

2021-11-05T09:32:24Z

St001214: /* Функции нескольких переменных */

== Очерк теории чисел ==
* [[Элементы теории множеств]]
* [[Символика математической логики]]
* [[Натуральные и рациональные числа]]
* [[Аксиомы Пеано]]
* [[Операции с натуральными и рациональными числами]]
* [[Аксиомы поля рациональных чисел]]
* [[Сечение множества рациональных чисел]]
* [[Вещественные числа]]
* [[Операции с вещественными числами]]
* [[Ограниченные числовые множества]]
* [[Точные верхняя и нижняя грани множества]]
* [[Принцип Коши-Кантора (о вложенных промежутках)]]
* [[Лемма Бореля–Лебега о покрытиях множества]]
* [[Счетные множества и множества мощности континуума]]
* [[Комплексные числа, операции с комплексными числами]]

== Числовые последовательности ==
* [[Понятие последовательности чисел]]
* [[Монотонные последовательности]]
* [[Ограниченные последовательности]]
* [[Предел последовательности]]
* [[Теорема о единственности предела]]
* [[Теорема об ограниченности сходящейся последовательности]]
* [[Арифметические свойства пределов последовательностей]]
* [[Связь предела последовательности чисел и предела последовательности модулей этих чисел]]
* [[Предел последовательности неотрицательных чисел]]
* [[Связь предела последовательности с пределами мажорантной и минорантной последовательностями]]
* [[Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности]]
* [[Число е]]
* [[Подпоследовательности]]
* [[Теорема Больцано–Вейерштрасса]]
* [[Теорема об ограниченной расходящейся последовательности]]
* [[Принцип сходимости Коши–Больцано]]
* [[Частичные пределы]]
* [[Верхний и нижний пределы последовательности]]
* [[Сходимость к бесконечности]]
* [[Теорема о монотонной неограниченной последовательности]]
* [[Свойства последовательностей с бесконечным пределом]]
* [[Типы неопределенностей при вычислении пределов последовательностей]]
* [[Теорема Штольца]]
* [[Предел последовательностей комплексных чисел]]
* [[Связь с вещественными последовательностями]]

== Функции вещественного аргумента ==
* [[Понятие функции]]
* [[Предельная точка числового множества]]
* [[Предел функции по Гейне]]
* [[Односторонние пределы]]
* [[Верхний и нижний пределы]]
* [[Арифметические свойства предела]]
* [[Теорема о пределе сложной функции]]
* [[Теорема о пределе монотонной функции]]
* [[Теорема о функции, не имеющей предела]]
* [[Предел функции по Коши]]
* [[Теорема об эквивалентности двух определений предела функции]]
* [[Критерий сходимости Коши]]
* [[Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин]]
* [[Эквивалентные функции]]
* [[Замечательные пределы]]
* [[Непрерывность функций]]
* [[Равномерная непрерывность]]
* [[Теорема Кантора]]
* [[Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях]]
* [[Теоремы Больцано–Коши о нуле функции и о промежуточных значениях]]
* [[Теорема о непрерывности обратной функции]]
* [[Теорема о строгой монотонности взаимнооднозначной непрерывной функции]]
* [[Классификация разрывов функции]]

== Дифференциальное исчисление функций одного вещественного аргумента ==
* [[Производная функции]]
* [[Теорема о непрерывности дифференцируемой функции]]
* [[Геометрический и физический смысл производной]]
* [[Уравнение касательной и нормали]]
* [[Таблица элементарных производных]]
* [[Арифметические свойства дифференцируемых функций]]
* [[Производная сложной функции]]
* [[Производная обратной функции]]
* [[Локальные и глобальные экстремумы функций]]
* [[Теорема Ферма]]
* [[Теорема Ролля]]
* [[Теорема Лагранжа]]
* [[Теорема Коши]]
* [[Исследование поведения функции]]
* [[Теорема о монотонной функции]]
* [[Необходимые и достаточные условия экстремумов]]
* [[Производные старшего порядка]]
* [[Формула Лейбница]]
* [[Формула Тейлора]]
* [[Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей]]
* [[Выпуклость и вогнутость функций]]
* [[Теоремы о касательных]]
* [[Точки перегиба функций]]
* [[Исследование функций и построение графиков]]
* [[Дифференциалы функции]]
* [[Инвариантность формы первого дифференциала]]
* [[Производная функции, заданной неявно или параметрически]]
* [[Методы приближенного поиска корней алгебраических уравнений]]
* [[Интерполяция и регрессия]]

== Функциональные ряды ==
*[[Степенные ряды]]
*[[Комплексные ряды]]
*[[Аппроксимация непрерывных функций степенными полиномами]]
*[[Ряды Фурье]]
*[[Сходимость классического ряда Фурье]]
*[[Сходимость в среднем рядов Фурье]]
*[[Почленное интегрирование и дифференцирование рядов Фурье]]
*[[Аппроксимация непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами]]
*[[Обобщенное суммирование рядов]]
*[[Бесконечные произведения]]

== Функции ограниченной вариации и интеграл Стилтьеса ==
*[[Функции ограниченной вариации]]
*[[Интеграл Стилтьеса]]

== Функции нескольких переменных ==
*[[Метрические пространства]]
*[[Пространство Rn]]
*[[Последовательности в пространстве Rn]]
*[[Функции нескольких переменных. Предел функции]]
*[[Непрерывные функции]]
*[[Дифференцируемость функций]]
*[[Производные сложной функций]]
*[[Производные по направлению]]
*[[Производные и дифференциалы старшего порядка]]
*[[Экстремумы функции нескольких переменных]]
*[[Численные методы поиска экстремума]]
*[[Теорема о неявной функции]]
*[[Системы функций]]
*[[Теорема о системе неявных функций]]
*[[Условный экстремум]]
*[[Касательные и нормали в трехмерном пространстве]]

== Интегральное исчисление функций нескольких переменных ==
*[[Двойной интеграл]]
*[[Правила вычисления двойного интеграла]]
*[[Криволинейные интегралы 1-ого рода]]
*[[Криволинейные интегралы второго рода]]
*[[Криволинейные интегралы второго рода по замкнутому контуру]]
*[[Замена переменных в двойном интеграле]]
*[[Площадь криволинейной поверхности]]
*[[Поверхностные интегралы первого рода]]
*[[Поверхностные интегралы второго рода]]
*[[Формула Стокса]]
*[[Тройной интеграл]]
*[[Формула Остроградского-Гаусса]]
*[[Элементы теории поля]]

== Интегралы, зависящие от параметра ==
*[[Равномерная сходимость функций]]
*[[Собственные интегралы, зависящие от параметра]]
*[[Несобственные интегралы, зависящие от параметра]]
*[[Интегралы Лапласа]]
*[[Эйлеровы интегралы]]
*[[Интеграл Фурье]]