Викиконспекты ПМ-ПУ - Свежие правки [ru]

Евклидовы, нормированные и метрические пространства

СВ — Wed, 04 Nov 2026 20:51:41 GMT

Новая страница: «{{Определение |definition= Линейное n-мерное пространство называется евклидовым векторным n-ме...»

Новая страница

{{Определение
|definition=
Линейное n-мерное пространство называется евклидовым векторным n-мерным пространством, если в нем задана функция, сопоставляющая двум любым элементам $a$ и $b$ этого пространства вещественное число, называемое скалярным произведением и обозначаемое $a\cdot b$, причем выполняются аксиомы:

12. $a\cdot b=b\cdot a$;

13. $\lambda (a\cdot b)=(\lambda a)\cdot b$;

14. $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$;

15. $a\cdot a > 0$, если $a\ne 0$, $a\cdot a=0$, если $a=0$.
}}

Рассмотренные ранее линейные векторные пространства $V^{1}$, $V^{2}$, $V^{3}$ со скалярным произведением, определяемым по формуле <math>\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \varphi</math>, являются евклидовыми векторными пространствами соответственно размерностей 1, 2, 3.

Векторное пространство $R^{n}$ будет евклидовым n-мерным пространством, если ввести в нем скалярное произведение для его любых двух элементов $a(\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} )$ и $b(\beta_{1}, \beta_{2}, ..., \beta_{n} )$ по формуле $a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} \beta_{i} $.

Евклидово пространство еще называют конечным гильбертовым пространством.
{{Определение
|definition=
Два ненулевых элемента $a$ и $b$ евклидова пространства называются ортогональными, если равно нулю их скалярное произведение.
}}

Заметим, что для геометрических векторов $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ тогда и только тогда, когда $\vec{a}\bot \vec{b}$, поэтому понятие ортогональности в пространствах $V^{2} $ и $V^{3} $ эквивалентно понятию перпендикулярности.
{{Теорема
|statement=Для любых двух элементов $a$ и $b$ произвольного евклидова пространства верно неравенство <math>(a\cdot b)^{2} \le (a\cdot a)(b\cdot b), </math> называемое неравенством Коши-Буняковского.
|proof=На основании аксиомы 15 имеем неравенство $(\lambda a-b)(\lambda a-b)\ge 0$, которое можно представить в виде
<math>\lambda ^{2} (a\cdot a)-2\lambda (a\cdot b)+(b\cdot b)\ge 0</math>.

Так как $a\cdot a > 0$, то необходимым и достаточным условием неотрицательности квадратного трехчлена относительно $\lambda$ является неположительность его дискриминанта, то есть $(a\cdot b)^{2} \le (a\cdot a)(b\cdot b)$. Теорема доказана.
}}
Из неравенства Коши-Буняковского следует, что $-1\le \frac{(a\cdot b)}{\sqrt{a\cdot a} \cdot \sqrt{b\cdot b} } \le 1$. Следовательно, в любом евклидовом векторном пространстве можно определить
<math>\left|a\right|=\sqrt{a\cdot a}</math>, <math>\cos \varphi =\frac{a\cdot b}{\left|a\right|\cdot \left|b\right|}</math>, <math>\varphi =\arccos \frac{a\cdot b}{\left|a\right|\cdot \left|b\right|}</math>.

В евклидовом точечном пространстве (то есть в аффинном пространстве, в котором присоединенный линеал является евклидовым векторным пространством) можно находить расстояние между точками <math>d(A,B)=\left|\overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} }</math>.
{{Определение
|definition=
Линейное n-мерное пространство $L$ называется нормированным, если имеется правило, посредством которого всякому элементу $x\in L$ ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой указанного элемента и обозначаемое символом <math>\left\| x\right\|</math>, причем должны выполняться соотношения:

* <math>\left\| x\right\| \ge 0</math>, если $x\ne 0$, <math>\left\| x\right\| =0</math>, если $x=0$;
* <math>\left\| \lambda x\right\| =\left|\lambda \right|\cdot \left\| x\right\|</math> для любого $x\in L$ и произвольного вещественного числа $\lambda $;
* <math>\left\| x+y\right\| \le \left\| x\right\| +\left\| y\right\|</math> для любых $x,y\in L$.
}}

[[Файл:p03-17-02-triangle-inequality.svg|frame|none|800px|alt=Слева векторы x и y под углом друг к другу и их сумма: длина суммы меньше суммы длин. Справа сонаправленные векторы: длина суммы равна сумме длин.|Рис. 1. Неравенство <math>|x+y| \le |x|+|y|</math>: при несонаправленных векторах оно строгое, при сонаправленных превращается в равенство. Доказательство опирается на неравенство Коши — Буняковского: <math>x\cdot y\le|x| |y|</math>.]]

{{Теорема
|statement=Всякое евклидово пространство будет нормированным, если норму в нем определить равенством
<math>\left\| x\right\| =\sqrt{x\cdot x}</math>.
|proof=Справедливость для нормы первых двух условий вытекает из соответствующих аксиом для скалярного произведения. Опираясь на неравенство Коши-Буняковского, убедимся в справедливости последнего неравенства. Действительно, <math>\left|x\cdot y\right|\le \sqrt{x\cdot x} \cdot \sqrt{y\cdot y}</math>. Тогда
<math>\left\| x+y\right\| =\sqrt{(x+y)\cdot (x+y)} =\sqrt{(x\cdot x)+2(x\cdot y)+(y\cdot y)} \le \sqrt{(x\cdot x)+2\sqrt{x\cdot x} \sqrt{y\cdot y} +(y\cdot y)} =\sqrt{(\sqrt{x\cdot x} +\sqrt{y\cdot y} )^{2} } =\left\| x\right\| +\left\| y\right\|</math>.
}}
Сосредоточив внимание на линейных операциях в множестве, мы пришли к понятию линейного (векторного) пространства, а потом аффинного (точечного) пространства. Введя скалярное произведение в ассоциированном векторном пространстве, мы пришли к евклидову точечному пространству. Обратим теперь внимание на одно лишь свойство точечного множества {{---}} на наличие расстояния в нем. Это приводит нас к понятию метрического пространства.
{{Определение
|definition=
Множество называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов сопоставляется по некоторому правилу неотрицательное вещественное число, называемое расстоянием, причем справедливы соотношения:

* $\rho (x,y) > 0$, если $x\ne y$; $\rho (x,y)=0$, если $x=y$;
* $\rho (x,y)=\rho (y,x)$;
* $\rho (x,y)\le \rho (x,z)+\rho (z,y)$.
}}

Отметим, что нормированное пространство можно превратить в метрическое, если положить <math>\rho (x,y)=\left\| x - y \right\|</math>.

Линейное метрическое пространство легко превратить в нормированное, если положить <math>\left\| x \right\| =\rho (x,0)</math>.

[[Файл:p03-17-01-space-hierarchy.svg|frame|none|800px|alt=Пять блоков сверху вниз: линейное, аффинное, евклидово, нормированное и метрическое пространства, с указанием того, что добавляется или остаётся на каждом уровне.|Рис. 2. Пять уровней структуры: линейное пространство, аффинное, евклидово со скалярным произведением, нормированное с нормой <math>|x|=\sqrt{x\cdot x}</math> и метрическое с расстоянием <math>\rho(x,y)=|x-y|</math>. Сверху вниз структура только теряется, поэтому обратные переходы возможны не всегда.]]

----

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Файл:P03-17-01-space-hierarchy.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 20:49:09 GMT

СВ загрузил Файл:P03-17-01-space-hierarchy.svg

Новая страница

Файл:P03-17-02-triangle-inequality.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 20:48:55 GMT

СВ загрузил Файл:P03-17-02-triangle-inequality.svg

Новая страница

Скалярное произведение векторов

СВ — Wed, 04 Nov 2026 19:02:13 GMT

← Предыдущая		Версия 19:02, 4 ноября 2026
Строка 1:		Строка 1:
	{{Определение		{{Определение
	~~\|id=def1~~
	\|definition=		\|definition=
	~~''Скалярным произведением'' <math>\vec{a}\cdot \vec{b}</math> двух векторов <math>~~\vec{a}~~</math>~~ и ~~<math>~~\vec{b}~~</math>~~ называется ~~произведение их модулей и косинуса угла~~ между ~~ними, то есть <math>~~\vec{a}~~\cdot~~ \vec{b}~~= \mid~~ \vec{a} ~~\mid \cdot \mid~~ \vec{b} ~~\mid \cos \varphi</math>~~.		Углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол между векторами $\vec{a'}$ и $\vec{b'}$, равными соответственно $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и имеющими общее начало.
	}}		}}
			Если ненулевые векторы сонаправлены, то угол между ними полагают равным $0$, если ненулевые векторы противоположно направлены, то угол между ними считают равным $\pi$.
			{{Определение
			\|definition=
			Скалярным произведением $\vec{a}\cdot \vec{b}$ двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется произведение их модулей и косинуса угла между ними, то есть
			<math>
			\vec{a}\cdot \vec{b}= \|\vec{a}\|\cdot \|\vec{b}\|\cos \varphi .
			</math>
			}}

			Непосредственно из определения следует, что <math>\vec{a}\cdot \vec{a}= \|\vec{a}\|^{2}</math>, поэтому <math>\left\|\vec{a}\right\|=\sqrt{\vec{a}\cdot \vec{a} }</math>, причем <math>\vec{a}\cdot \vec{a}>0</math>, если <math>\vec{a} \ne \vec{0}</math>.

			Число $\vec{a}\cdot \vec{a}=\vec{a}^{2} $ называется скалярным квадратом вектора $\vec{a}$.

			Пусть орт вектора $\vec{a}$ равен <math>\vec{g}=\frac{\vec{a} }{\|\vec{a}\|}</math>, а <math>\vec{q}=\frac{\vec{b} }{\|\vec{b}\|}</math> {{---}} орт вектора $\vec{b}$. Тогда в соответствии с теоремой имеем <math>Apr_{\vec{g} } \vec{b}= \|\vec{b}\|\cos \varphi</math>, <math>Apr_{\vec{q} } \vec{a}= \|\vec{a}\|\cos \varphi</math>, а в силу определения скалярного произведения получаем
			<math> \vec{a}\cdot \vec{b}= \|\vec{a}\|Apr_{\vec{g} } \vec{b} = \|\vec{b}\| Apr_{\vec{q} } \vec{a} </math>.

			[[Файл:p03-16-01-dot-product-sign.svg\|thumb\|800px\|alt=Три панели с векторами a и b из общего начала: острый угол — проекция положительна, прямой — равна нулю, тупой — отрицательна.\|Рис. 1. Знак <math>\vec a\cdot\vec b</math> определяется углом: при остром угле проекция <math>b</math> на <math>a</math> положительна, при прямом равна нулю, при тупом направлена против <math>a</math> и произведение отрицательно. Везде <math>\vec a\cdot\vec b=\|\vec a\| \|\vec b\|\cos\varphi</math>.]]

			Понятие скалярного произведения векторов впервые появились в механике. Если вектор $\vec{a}$ изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора $\vec{b}$, то работа A указанной силы определяется равенством $A= \|\vec{a}\|\cdot \|\vec{b}\|\cos \varphi$.

			{{Теорема
			\|about=свойства скалярного произведения
			\|statement=Для любых трех векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ и произвольного числа $\lambda$ справедливы следующие свойства:

			* $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$ (коммутативность);
			* $\lambda (\vec{a}\cdot \vec{b})=(\lambda \vec{a})\cdot \vec{b}$ (ассоциативность относительно числового множителя);
			* $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$ (дистрибутивность относительно суммы векторов);
			* $\vec{a}\cdot \vec{a}>0$, если $\vec{a}$ {{---}} ненулевой вектор; $\vec{a}\cdot \vec{a}=0$, если $\vec{a}$ {{---}} нулевой вектор.

			\|proof= Первое свойство непосредственно вытекает из определения скалярного произведения. Для второго и третьего свойств имеем
			<math>(\lambda \vec{a})\cdot \vec{b}= \|\vec{b}\|Apr_{\vec{q} } (\lambda \vec{a})=\lambda \|\vec{b}\|Apr_{\vec{q} } (\vec{a})=\lambda (\vec{a}\cdot \vec{b}),</math>
			<math>(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}= \|\vec{c}\|Apr_{\vec{e} } (\vec{a}+\vec{b})= \|\vec{c}\|Apr_{\vec{e} } \vec{a}+ \|\vec{c}\|Apr_{\vec{e} } \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c},</math>
			где орт <math>\vec{e}=\frac{\vec{c} }{\|\vec{c}\|}</math>. Наконец, четвертое свойство вытекает непосредственно из определения.
			}}
			{{Теорема
			\|statement=Скалярное произведение двух векторов, заданных в произвольной аффинной системе координат $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} \vec{e}_{3} $ своими координатами $\vec{a}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} )$ и $\vec{b}(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} )$, находится по формуле
			<math>\vec{a}\cdot \vec{b}=\alpha_{1} \beta_{1} (\vec{e}_{1} \cdot \vec{e}_{1} )+(\alpha_{1} \beta_{2} +\alpha_{2} \beta_{1} )(\vec{e}_{1} \cdot \vec{e}_{2} )+\alpha_{2} \beta_{2} (\vec{e}_{2} \cdot \vec{e}_{2} )+(\alpha_{1} \beta_{3} +\alpha_{3} \beta_{1} )(\vec{e}_{1} \cdot \vec{e}_{3} )+(\alpha_{2} \beta_{3} +\alpha_{3} \beta_{2} )(\vec{e}_{2} \cdot \vec{e}_{3} )+\alpha_{3} \beta_{3} (\vec{e}_{3} \cdot \vec{e}_{3} ).</math>

			\|proof= Формула получается с помощью простых вычислений, если воспользоваться представлениями заданных векторов через базис $\vec{a}=\alpha_{1} \vec{e}_{1} +\alpha_{2} \vec{e}_{2} +\alpha_{3} \vec{e}_{3}$, $\vec{b}=\beta_{1} \vec{e}_{1} +\beta_{2} \vec{e}_{2} +\beta_{3} \vec{e}_{3} $ и свойствами скалярного произведения.
			}}
			Величины $g_{ij} $=$\vec{e}_{i} \cdot \vec{e}_{j} $ называются метрическими коэффициентами системы координат $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} \vec{e}_{3} $. Таким образом, для вычисления скалярного произведения двух векторов в аффинной системе координат необходимо знать координаты этих векторов и метрические коэффициенты системы координат.

			Модуль произвольного вектора $\vec{a}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} )$ в произвольной аффинной системе координат $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} \vec{e}_{3} $ вычисляется по формуле
			<math>\|\vec{a}\|=\sqrt{\vec{a}\cdot \vec{a} } =\sqrt{\alpha_{1}^{2} g_{11} +\alpha_{2}^{2} g_{22} +\alpha_{3}^{2} g_{33} +2\alpha_{1} \alpha_{2} g_{12} +2\alpha_{1} \alpha_{3} g_{13} +2\alpha_{2} \alpha_{3} g_{23} }</math>.

			Угол $\varphi$ между двумя векторами $\vec{a}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} )$ и $\vec{b}(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} )$ в аффинной системе координат $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} \vec{e}_{3} $ находится по формуле
			<math>\varphi = \arccos \frac{\vec{a}\cdot \vec{b} }{\|\vec{a}\|\cdot \|\vec{b}\|}</math>.

			Для векторов, заданных своими координатами в ДПСК, справедливы формулы

			* $n=3$: $\vec{a}=\alpha_{x} \vec{i}+\alpha_{y} \vec{j}+\alpha_{z} \vec{k}$, $\vec{b}=\beta_{x} \vec{i}+\beta_{y} \vec{j}+\beta_{z} \vec{k}$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=\alpha_{x} \beta_{x} +\alpha_{y} \beta_{y} +\alpha_{z} \beta_{z}$, <math>\|\vec{a}\|$=$\sqrt{\alpha_{x}^{2} +\alpha_{y}^{2} +\alpha_{z}^{2} }</math>, <math>\varphi=\angle (\vec{a},\vec{b})=\arccos \frac{\alpha_{x} \beta_{x} +\alpha_{y} \beta_{y} +\alpha_{z} \beta_{z} }{\sqrt{\alpha_{x}^{2} +\alpha_{y}^{2} +\alpha_{z}^{2} } \cdot \sqrt{\beta_{x}^{2} +\beta_{y}^{2} +\beta_{z}^{2} } } </math>;
			* $n=2$: $\vec{a}=\alpha_{x} \vec{i}+\alpha_{y} \vec{j}$, $\vec{b}=\beta_{x} \vec{i}+\beta_{y} \vec{j}$,
			$\vec{a}\cdot \vec{b}=\alpha_{x} \beta_{x} +\alpha_{y} \beta_{y}, \|\vec{a}\|=\sqrt{\alpha_{x}^{2} +\alpha_{y}^{2} }$,
			$\varphi =\angle (\vec{a},\vec{b})=\arccos \frac{\alpha_{x} \beta_{x} +\alpha_{y} \beta_{y} }{\sqrt{\alpha_{x}^{2} +\alpha_{y}^{2} } \cdot \sqrt{\beta_{x}^{2} +\beta_{y}^{2} } } $;
			* $n=1$: $\vec{a}=\alpha_{x} \vec{i}, \vec{b}=\beta_{x} \vec{i},$ <math>\vec{a}\cdot \vec{b}=\alpha_{x} \beta_{x}</math>, <math>\|\vec{a}\| = \|\alpha_{x} \|, \varphi =\angle (\vec{a},\vec{b})=\arccos \frac{\alpha_{x} \beta_{x} }{\|\alpha_{x} \|\|\beta_{x} \|}</math>.

			Поскольку расстояние между двумя точками $A(x_{A}, y_{A}, z_{A} )$ и $B(x_{B}, y_{B}, z_{B} )$ в трехмерном пространстве равно модулю вектора $\overrightarrow{AB} (x_{B} -x_{A}, y_{B} -y_{A}, z_{B} -z_{A} )$, то получаем следующую формулу для нахождения расстояния между названными точками в заданной ДПСК:
			<math>d(A,B)=\sqrt{(x_{B} -x_{A} )^{2} +(y_{B} -y_{A} )^{2} +(z_{B} -z_{A} )^{2} }</math>.

			Аналогично расстояние между двумя точками $A(x_{A}, y_{A} )$ и $B(x_{B}, y_{B})$ на плоскости находятся по формуле
			<math>d(A,B)=\sqrt{(x_{B} -x_{A} )^{2} +(y_{B} -y_{A} )^{2} }</math>,
			а расстояние между двумя точками $A(x_{A} )$ и $B(x_{B} )$ на прямой соответственно по формуле
			<math>d(A,B)=\|x_{B} -x_{A} \|</math>.
			{{Теорема
			\|statement=Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух ненулевых векторов в трехмерном пространстве $\vec{a}(\alpha_{x}, \alpha_{y}, \alpha_{z} )$ и $\vec{b}(\beta_{x}, \beta_{y}, \beta_{z} )$, заданных в ДПСК своими координатами, является равенство
			<math>\label{GrindEQ__3_16_14_}
			\alpha_{x} \beta_{x} +\alpha_{y} \beta_{y} +\alpha_{z} \beta_{z} = 0.
			</math>
			}}
			Доказательство непосредственно следует из определения скалярного произведения.

			{{Теорема
			\|statement=Декартовы прямоугольные координаты вектора $\vec{a}(\alpha_{x}, \alpha_{y}, \alpha_{z} )$ равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие базисные векторы, то есть
			<math>
			\alpha_{x} =\vec{a}\cdot \vec{i}, \alpha_{y} =\vec{a}\cdot \vec{j}, \alpha_{z} =\vec{a}\cdot \vec{k}.
			</math>
			\|proof=Пусть $\vec{i}$,$\vec{j}$,$\vec{k}$ {{---}} ортонормированный базис. Тогда $\vec{a}=\alpha_{x} \vec{i}+\alpha_{y} \vec{j}+\alpha_{z} \vec{k}$, причем
			<math>\vec{a}\cdot \vec{i}=\alpha_{x} \vec{i}\cdot \vec{i}+\alpha_{y} \vec{j}\cdot \vec{i}+\alpha_{z} \vec{k}\cdot \vec{i}=\alpha_{x}</math>;
			<math>\vec{a}\cdot \vec{j}=\alpha_{x} \vec{i}\cdot \vec{j}+\alpha_{y} \vec{j}\cdot \vec{j}+\alpha_{z} \vec{k}\cdot \vec{j}=\alpha_{y}</math>;
			<math>\vec{a}\cdot \vec{k}=\alpha_{x} \vec{i}\cdot \vec{k}+\alpha_{y} \vec{j}\cdot \vec{k}+\alpha_{z} \vec{k}\cdot \vec{k}=\alpha_{z}</math>.
			}}

			[[Файл:p03-16-02-dot-product-coordinates.svg\|thumb\|800px\|alt=Вектор a в декартовой системе с координатным параллелепипедом: рёбра вдоль осей равны αx, αy, αz. Справа формулы для скалярного произведения, модуля и условия перпендикулярности.\|Рис. 2. В ДПСК координаты вектора — это его проекции на орты, поэтому <math>\alpha_x=\vec a\cdot\vec i</math> и т. д. Отсюда <math>\vec a\cdot\vec b=\alpha_x\beta_x+\alpha_y\beta_y+\alpha_z\beta_z</math>, <math>\|\vec a\|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}</math>, а перпендикулярность означает <math>\vec a\cdot\vec b=0</math>.]]

			Рассмотрим в ДПСК $O\vec{i} \vec{j}\vec{k}$ вектор $\overrightarrow{OM}$, приведенный в начало $O$, и его орт $\vec{e}$. Пусть $\alpha =\angle (\vec{e},\vec{i}), \beta =\angle (\vec{e},\vec{j}), \gamma =\angle (\vec{e},\vec{k})$.
			{{Определение
			\|definition=
			Косинусы $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ называются направляющими косинусами вектора $\overrightarrow{OM} $.
			}}
			{{Теорема
			\|statement=Направляющие косинусы вектора являются декартовыми координатами орта данного вектора.
			\|proof= Пусть $\vec{e}$ {{---}} орт вектора $\overrightarrow{OM}$, причем $\vec{e}=e_{x} \vec{i}+e_{y} \vec{j}+e_{z} \vec{k}$. Тогда в силу теоремы 3.16.4 и определения скалярного произведения имеем
			<math> e_{x} = \vec{e}\cdot \vec{i} = \|\vec{e}\|\|\vec{i}\|\cos \alpha = \cos \alpha,</math>
			<math> e_{y} = \vec{e}\cdot \vec{j} = \|\vec{e}\|\|\vec{j}\|\cos \beta = \cos \beta,</math>
			<math> e_{z} = \vec{e}\cdot \vec{k} = \|\vec{e}\|\|\vec{k}\|\cos \gamma = \cos \gamma,</math>
			что и требовалось доказать.
			}}
			Для направляющих косинусов справедливо соотношение
			<math>\cos ^{2} \alpha +\cos ^{2} \beta +\cos ^{2} \gamma =1</math>.

			----

			Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Файл:P03-16-01-dot-product-sign.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:52:08 GMT

СВ загрузил Файл:P03-16-01-dot-product-sign.svg

Новая страница

Файл:P03-16-02-dot-product-coordinates.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:51:59 GMT

СВ загрузил Файл:P03-16-02-dot-product-coordinates.svg

Новая страница

Геометрический смысл аффинных координат

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:45:03 GMT

Новая страница: «Рассмотрим прямую $O\vec{e}_{1} $ и вектор $\overrightarrow{OM} =\vec{a}$, коллинеарный вектору $\vec{e}_{1} $. Тогд...»

Новая страница

Рассмотрим прямую $O\vec{e}_{1} $ и вектор $\overrightarrow{OM} =\vec{a}$, коллинеарный вектору $\vec{e}_{1} $. Тогда, $\vec{a}=\lambda \vec{e}_{1}$, причем $\lambda =\frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}_{1} |}$, если $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{e}_{1}$, и $\lambda =-\frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}_{1} |}$, если $\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{e}_{1} $.

{{Определение
|definition=
Указанное число $\lambda$ называется алгебраической мерой вектора $\vec{a}$ на оси, определяемой вектором $\vec{e}_{1}$, и обозначается $\lambda =mes_{\vec{e}_{1} } \vec{a}$.
}}

[[Файл:p03-10-01-algebraic-measure.svg|thumb|800px|alt=Ось с единичным вектором e; над ней a = 2e, b = −1,5e и a + b = 0,5e, под ней шкала от −2 до 3|Рис. 1. Мера вектора на оси — коэффициент <math>\lambda</math> в равенстве <math>a = \lambda e</math>. Поэтому у <math>a = 2e</math> мера равна 2, у <math>b = -1{,}5e</math> равна −1,5, а у суммы <math>a + b = 0{,}5e</math> — 0,5: мера линейна.]]

С учетом введенного обозначения, очевидно, что $\vec{a}=\left(mes_{\vec{e}_{1} } \vec{a}\right)\vec{e}_{1} $.

{{Лемма
|statement=Для любых трех коллинеарных векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{e}$ и произвольного числа $\lambda$ справедливы соотношения $mes_{\vec{e} } \left(\vec{a}+\vec{b}\right)=mes_{\vec{e} } \vec{a}+mes_{\vec{e} } \vec{b}, mes_{\vec{e} } \left(\lambda \vec{a}\right)=\lambda mes_{\vec{e} } \vec{a}$.
|proof= Пусть $\lambda \vec{a}\uparrow \uparrow \vec{e}$, тогда по определению алгебраической меры вектора
$ mes_{\vec{e} } \left(\lambda \vec{a}\right) = \frac{|\lambda \vec{a}|}{|\vec{e}|} = |\lambda |\frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} =
\left[ \begin{array}{l}
{\lambda \frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} =\lambda mes_{\vec{e} } \vec{a}, \lambda > 0;} \\
{-\lambda \frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} =\lambda \left(-\frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} \right) = \lambda mes_{\vec{e} } \vec{a}, \lambda < 0.}
\end{array} \right.
$

Если $\lambda \vec{a}\uparrow \downarrow \vec{e}$, то
$mes_{\vec{e} } \left(\lambda \vec{a}\right)=-\frac{|\lambda \vec{a}|}{|\vec{e}|} = - |\lambda |\frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} =\left[\begin{array}{l} {-\lambda \frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} =\lambda \left(-\frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} \right)=\lambda mes_{\vec{e} } \vec{a}, \lambda > 0;} \\ {\lambda \frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} =\lambda mes_{\vec{e} } \vec{a}, \lambda < 0.} \end{array}\right. $

Рассмотрим теперь алгебраическую меру суммы векторов. Так как по условию векторы $\vec{a}, \vec{b}$ являются коллинеарными, то будем считать, что $\vec{b}=\mu \vec{a}$. Тогда
$mes_{\vec{e} } \left(\vec{a}+\vec{b}\right)=mes_{\vec{e} } \left(\vec{a}+\mu \vec{a}\right)=mes_{\vec{e} } \left(1+\mu \right)\vec{a}=\left(1+\mu \right)mes_{\vec{e} } \vec{a}=mes_{\vec{e} } \vec{a}+\mu mes_{\vec{e} } \vec{a} = mes_{\vec{e} } \vec{a}+mes_{\vec{e} } \vec{b}$.
}}

Таким образом, можно утверждать, что аффинная координата произвольной точки $M$ на координатной оси равна алгебраической мере ее радиус-вектора $\overrightarrow{OM} $.

Пусть задана аффинная система координат $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} $ и произвольный вектор $\vec{a}= \overrightarrow{NM} $. Спроектируем начало и конец данного вектора на координатные оси, получаем соответственно $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } $ и $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } $.
{{Определение
|definition=
Вектор $\overrightarrow{N_{1} M_{1} }$ ($\overrightarrow{N_{2} M_{2} }$) называется геометрической проекцией вектора $\vec{a}$ на координатную ось $O\vec{e}_{1} $ ($O\vec{e}_{2} $).
}}
Для геометрической проекции вектора на координатные оси будем использовать обозначение $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a}$, $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a}$.

В соответствии с правилом параллелограмма $\overrightarrow{NM} =\overrightarrow{N_{1} M_{1} } +\overrightarrow{N_{2} M_{2} }$, то есть
$\vec{a}=\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a}+\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a}$.

С другой стороны, векторы $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } || \vec{e}_{1}$, $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } || \vec{e}_{2}$, поэтому $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } =\left(mes_{\vec{e}_{1} } \overrightarrow{N_{1} M_{1} } \right) \vec{e}_{1}$, $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } =\left(mes_{\vec{e}_{2} } \overrightarrow{N_{2} M_{2} } \right) \vec{e}_{2}$, следовательно,
$\vec{a}=\left(mes_{\vec{e}_{1} } (\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a})\right) \vec{e}_{1} +\left(mes_{\vec{e}_{2} } (\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a})\right) \vec{e}_{2}$.

{{Определение
|definition=
Алгебраическая мера геометрической проекции вектора на координатную ось называется алгебраической проекцией вектора.
}}

[[Файл:p03-10-02-projections.svg|thumb|800px|alt=Вектор a = NM и его проекции N1M1 на ось Oe1 и N2M2 на ось Oe2, полученные параллельным проектированием|Рис. 2. Точки <math>N</math> и <math>M</math> спроецированы на оси: получаются <math>N_1M_1 = \operatorname{Proj}_{e_1} a</math> и <math>N_2M_2 = \operatorname{Proj}_{e_2} a</math>. Алгебраические проекции — меры этих векторов, они и служат координатами: <math>a = (\operatorname{Apr}_{e_1} a)e_1 + (\operatorname{Apr}_{e_2} a)e_2</math>.]]

Алгебраическая проекция вектора на ось $O\vec{e}_{i} $ обозначается $Apr_{\vec{e}_{i} } \vec{a}=mes_{\vec{e}_{i} } (\mbox{Proj}_{\vec{e}_{i} } \vec{a})$. Тогда с учетом введенного обозначения вектор $\vec{a}=(Apr_{\vec{e}_{i} } \vec{a})\vec{e}_{1} +(Apr_{\vec{e}_{2} } \vec{a})\vec{e}_{2}$, то есть аффинными координатами произвольного вектора являются его алгебраические проекции на координатные оси, а аффинными координатами произвольной точки {{---}} алгебраические проекции ее радиус-вектора на соответствующие координатные оси.

Допустим теперь, что в системе координат $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} \vec{e}_{3} $ задан произвольный вектор $\vec{a}=$$\overrightarrow{NM} $. Спроектируем точки $N$ и $M$ на координатные оси. Тогда точки $N_1$ и $M_1$ определяют вектор $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a}$, точки $N_2$ и $M_2$ {{---}} вектор $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a}$, а точки $N_3$ и $M_3$ {{---}} соответственно вектор $\overrightarrow{N_{3} M_{3} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{3} } \vec{a}$. В соответствии с правилом сложения векторов $\overrightarrow{NM} =\overrightarrow{N_{1} M_{1} } +\overrightarrow{N_{2} M_{2} } +\overrightarrow{N_{3} M_{3} }$, поэтому
$\vec{a}=\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a}+\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a}+\mbox{Proj}_{\vec{e}_{3} } \vec{a}=(Apr_{\vec{e}_{1} } \vec{a})\vec{e}_{1} +(Apr_{\vec{e}_{2} } \vec{a})\vec{e}_{2} +(Apr_{\vec{e}_{3} } \vec{a})\vec{e}_{3}$.

Следовательно, аффинные координаты произвольного вектора есть его алгебраические проекции на координатные оси, а аффинные координаты произвольной точки {{---}} алгебраические проекции ее радиус-вектора на соответствующие координатные оси.

----

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Файл:P03-10-02-projections.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:44:12 GMT

СВ загрузил Файл:P03-10-02-projections.svg

Новая страница

Файл:P03-10-01-algebraic-measure.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:44:01 GMT

СВ загрузил Файл:P03-10-01-algebraic-measure.svg

Новая страница

Аффинные системы координатa

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:39:20 GMT

Новая страница: «Аффинная система координат <math>O e_{1} e_{2} ... e_{n}</math> в аффинном пространстве $A^n$ есть совокуп...»

Новая страница

Аффинная система координат <math>O e_{1} e_{2} ... e_{n}</math> в аффинном пространстве $A^n$ есть совокупность, состоящая из произвольной точки $O$, называемой началом координат, и базиса $e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}$ из присоединенного линеала $L^{n}$.

[[Файл:p03-09-01-affine-frame.svg|thumb|600px|alt=Слева система O, e1, e2 и точка A(2; 1) с радиус-вектором; справа точки A(1; 2), B(2; 1) и вектор AB = (1; −1)|Рис. 1. Слева система <math>O, e_1, e_2</math>: точка <math>A</math> имеет координаты <math>(2; 1)</math>, потому что <math>OA = 2e_1 + e_2</math>. Справа <math>A(1; 2)</math>, <math>B(2; 1)</math> и вектор <math>AB = (1; -1)</math>: координаты вектора — разности координат точек.]]

Подчеркнем, что аффинная система координат задается двумя разнородными объектами {{---}} точкой $O$ из аффинного пространства и базисом $e_{1}, e_{2}, ..., e_{n} $ из присоединенного линеала.

Пусть $A$ {{---}} произвольная точка аффинного пространства $A^n$. Вместе с началом координат $O$ точка $A$ определяет элемент (радиус-вектор) $r_{A} =OA\in L^{n}$, координаты которого определяются из разложения по базису $e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}$: $OA=x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} +...+ x_{n} e_{n} $.

Аффинными координатами произвольной точки $A\in A^n$ называют координаты соответствующего радиус-вектора $r_{A} =OA\in L^{n} $ и обозначают символом $A(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} )$.

Ясно, что координаты точки $А$ определяются однозначно в силу единственности разложения вектора по заданному базису.

Произвольный вектор $AB\in L^{n} $ можно представить как разность соответствующих радиус-векторов $AB=r_{B} -r_{A} $.

Если вектор $AB$ задан координатами своего начала $A(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} )$ и конца $B(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n} )$ относительно базиса $e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}$, то его координаты относительно того же базиса определяются из соотношения как коэффициенты разложения по указанному базису в виде
<math>AB=(y_{1} - x_{1} )e_{1} +(y_{2} - x_{2} )e_{2} +...+(y_{n} - x_{n} )e_{n}</math>
и обычно используют обозначение $AB(y_{1} -x_{1}, y_{n} -x_{2}, ..., y_{n} -x_{n} )$.

Прямой в аффинном пространстве $A^n$, проходящей через точку $C\in A^n$ в направлении ненулевого вектора $u\in L^{n}$, называется множество всех точек $P\in A^n$, для которых $CP=\lambda u$, где $\lambda \in (-\infty, +\infty )$ {{---}} вещественное число. Указанный вектор $u$ называется направляющим вектором прямой.

При рассмотрении аффинных систем координат на прямой, плоскости и трехмерном пространстве, базисные векторы соответствующих линеалов $V^{1}$, $V^{2}$, $V^{3} $ приводятся в общее начало.

Прямые в рассматриваемых пространствах, определяемые началом координат $O$ и соответствующими базисными векторами, называются осями координат ($O\vec{e}_{1}$, $O\vec{e}_{2}$, $O\vec{e}_{3}$); ($O\vec{e}_{1}$, $O\vec{e}_{2} $); $O\vec{e}_{1} $.

В трехмерном аффинном пространстве рассматривают также координатные плоскости, определяемые соответствующими парами координатных осей ($O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2}$, $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{3}$, $O\vec{e}_{2} \vec{e}_{3} $).

{{Определение
|definition=
Тройка базисных векторов $\vec{e}_{1}$, $\vec{e}_{2}$, $\vec{e}_{3} $ называется правой (левой), если после приведения их к общему началу по этим векторам можно направить соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.
}}

[[Файл:p03-09-02-orientation.svg|thumb|600px|alt=Слева правая пара e1, e2 с поворотом против часовой стрелки; справа правая тройка e1, e2, e3 и круговые перестановки|Рис. 2. Слева пара <math>e_1, e_2</math> правая: кратчайший поворот от первого вектора ко второму идёт против часовой стрелки. Справа правая тройка: большой, указательный и средний пальцы правой руки направлены вдоль <math>e_1, e_2, e_3</math>; круговая замена порядка ориентацию не меняет.]]

Заметим, что тройка будет правой, если, находясь внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайший поворот от первого из них ко второму, а затем от второго к третьему осуществляется против хода часовой стрелки.

Очевидно, что при круговой замене ориентация тройки не изменяется, то есть если $\vec{e}_{1}$, $\vec{e}_{2}$, $\vec{e}_{3} $ правая тройка векторов, то $\vec{e}_{3}$, $\vec{e}_{1}$, $\vec{e}_{2} $ и $\vec{e}_{2}$, $\vec{e}_{3}$, $\vec{e}_{1} $ также будут правыми.

Упорядоченная пара базисных векторов $\vec{e}_{1}$, $\vec{e}_{2} $ называется правой (левой), если кратчайший поворот от $\vec{e}_{1} $ к $\vec{e}_{2} $ происходит против (по) часовой стрелки.

Аффинная система координат называется правой (левой), если ее базис правый (левый). В дальнейшем ради определенности будем рассматривать только правые системы координат.

----

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Файл:P03-09-02-orientation.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:38:35 GMT

СВ загрузил Файл:P03-09-02-orientation.svg

Новая страница

Файл:P03-09-01-affine-frame.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:38:27 GMT

СВ загрузил Файл:P03-09-01-affine-frame.svg

Новая страница

Аффинные пространства

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:35:54 GMT

Новая страница: «{{Определение |definition= Аффинное пространство {{---}} это множество $A$ элементов произвольной...»

Новая страница

{{Определение
|definition=
Аффинное пространство {{---}} это множество $A$ элементов произвольной природы, называемых точками, которому сопоставлены:

1) линеал $L$, называемый присоединенным к $A$;

2) соответствие, по которому любым двум точкам $A, B \in A$ отвечает некоторый элемент $AB \in L$ с началом в $A$ и с концом в $B$;

При этом выполняются следующие две аксиомы:

10. Для произвольной точки $A \in A$ и любого вектора ${\rm {\bf u} } \in L$ существует единственная точка $B \in A$ такая, что $AB = {\rm {\bf u} }$.

11. Для произвольных трех точек $А, В, С$ имеет место равенство $AB + BC = AC$.
}}

[[Файл:p03-08-01-affine-axioms.svg|frame|none|800px|alt=Слева по точке A и вектору u строится единственная точка B; справа для точек A, B, C выполнено AB + BC = AC|Рис. 1. Аксиома 10: по точке <math>A</math> и вектору <math>u</math> точка <math>B</math> с <math>AB = u</math> находится однозначно. Аксиома 11: для любых точек <math>A, B, C</math> выполняется <math>AB + BC = AC</math>.]]

Размерность аффинного пространства $A$ совпадает с размерностью присоединенного с $A$ линеала $L$ и обозначается символом $dim(A)$. Если $dim(A) = n$, то аффинное пространство называют $n$-мерным и используют обозначение $A^{ n}$.

Приведем примеры аффинных пространств.

Рассмотрим трехмерное линейное пространство $V^3$. Фиксируем некоторую точку $О$ и будем рассматривать всевозможные радиус-векторы с началом в точке $О$. Под точками аффинного пространства $A^{ 3}$ с присоединенным линеалом $V^3$, будем понимать концы соответствующих радиус-векторов, причем двум точкам $А$ и $В$ сопоставляется вектор $\mathop {AB}\limits^ \to = \vec{r}_B - \vec{r}_A \in V^3$. Заметим, что при такой формализации мы отождествляем точку $А$ с радиусом-вектором.

[[Файл:p03-08-02-radius-vectors.svg|frame|none|800px|alt=Точка O, радиус-векторы rA и rB и вектор AB = rB − rA|Рис. 2. С фиксированным началом <math>O</math> каждая точка получает радиус-вектор: <math>A \mapsto r_A = OA</math>, <math>B \mapsto r_B = OB</math>. Тогда <math>AB = r_B - r_A</math>: разность двух точек — вектор.]]

----

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Файл:P03-08-01-affine-axioms.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:35:20 GMT

СВ загрузил Файл:P03-08-01-affine-axioms.svg

Новая страница

Файл:P03-08-02-radius-vectors.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:35:05 GMT

СВ загрузил Файл:P03-08-02-radius-vectors.svg

Новая страница

Изоморфизм линеалов

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:33:18 GMT

← Предыдущая		Версия 18:33, 4 ноября 2026
Строка 52:		Строка 52:
	Таким образом, размерность $M$ не менее $n$. Если предположить, что размерность $\dim (M) > n$, то при обратном взаимно однозначном соответствии $\varphi ^{-1}: M \to L$ окажется, что $\dim (L) > n$. Полученное противоречие показывает, что $\dim (M) = n$.		Таким образом, размерность $M$ не менее $n$. Если предположить, что размерность $\dim (M) > n$, то при обратном взаимно однозначном соответствии $\varphi ^{-1}: M \to L$ окажется, что $\dim (L) > n$. Полученное противоречие показывает, что $\dim (M) = n$.
	}}		}}
	[[Файл:p03-07-02-dimension-invariant.svg\|~~thumb~~\|800px\|alt=Четыре класса линеалов по размерности 1, 2, 3 и ∞; внутри класса V ≈ R, между классами изоморфизма нет\|Рис. 2. Внутри каждого класса одинаковой размерности все линеалы изоморфны: <math>V^1 \approx R^1</math>, <math>V^2 \approx R^2</math>, <math>V^3 \approx R^3</math>. Бесконечномерные пространства образуют отдельный класс. Поэтому <math>L \approx M \iff \dim L = \dim M</math>.]]		[[Файл:p03-07-02-dimension-invariant.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Четыре класса линеалов по размерности 1, 2, 3 и ∞; внутри класса V ≈ R, между классами изоморфизма нет\|Рис. 2. Внутри каждого класса одинаковой размерности все линеалы изоморфны: <math>V^1 \approx R^1</math>, <math>V^2 \approx R^2</math>, <math>V^3 \approx R^3</math>. Бесконечномерные пространства образуют отдельный класс. Поэтому <math>L \approx M \iff \dim L = \dim M</math>.]]
	{{Следствие		{{Следствие
	\|statement=Конечномерные линеалы разных размерностей неизоморфны.		\|statement=Конечномерные линеалы разных размерностей неизоморфны.

Изоморфизм линеалов

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:32:47 GMT

Новая страница: «{{Определение |definition= Соответствие между элементами двух линеалов $L$ и $M$ называется взаи...»

Новая страница

{{Определение
|definition=
Соответствие между элементами двух линеалов $L$ и $M$ называется взаимно однозначным, если каждому элементу из $L$ отвечает единственный элемент из $M$, причем каждый элемент из $M$ отвечает одному лишь элементу из $L$.
}}
{{Определение
|definition=
Два линеала $L$ и $M$ называются изоморфными (обозначение $L \approx M$), если между элементами этих линеалов можно установить такое взаимно однозначное соответствие
<math>\varphi :x \in L\buildrel \varphi \over \longrightarrow \varphi (x) \in M,</math>
что $\varphi (\lambda x) = \lambda \varphi (x)$, $\varphi (x + y) = \varphi (x) + \varphi (y)$, где $x,y \in L$; $\lambda $ {{---}} любое вещественное число.

Указанное отображение $\varphi :L \to M$ называют линейным изоморфизмом.
}}

[[Файл:p03-07-01-coordinate-isomorphism.svg|thumb|800px|alt=Слева вектор x = 2e1 + 3e2 в линеале L, справа точка (2; 3) в R²; между ними отображение φ|Рис. 1. Вектор <math>x = 2e_1 + 3e_2</math> линеала <math>L</math> переходит в набор своих координат <math>(2; 3) \in R^2</math>. Отображение <math>\varphi</math> сохраняет сложение и умножение на число, поэтому является изоморфизмом.]]

{{Теорема
|statement=Все линеалы одной и той же размерности изоморфны.
|proof=Пусть линеалы $L$ и $M$ являются $n$-мерными. Выберем в $L$ некоторый базис ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $, а в $M$ {{---}} базис ${\rm {\bf {e}'} }_1, {\rm {\bf {e}'} }_2, ..., {\rm {\bf {e}'} }_n .$ Сопоставим элементу $x = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } e_i \in L$ элемент
<math>\varphi (x) = \varphi \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {x_i } {\rm {\bf e} }_i } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } {\rm {\bf {e}'} }_i \in M,</math>
т. е. вектор, имеющий те же координаты, что и вектор $x$, но относительно базиса ${\rm {\bf {e}'} }_1, {\rm {\bf {e}'} }_2, ..., {\rm {\bf {e}'} }_n .$

В силу единственности разложения элемента по базису установленное соответствие $\varphi $ является взаимно однозначным. Кроме того,
<math>
\varphi (x + y) = \varphi \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {(x_i + y_i ){\bf e}_i } } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {(x_i + y_i ){\rm {\bf {e}'} }_i } = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i {\rm {\bf {e}'} }_i } + \sum\limits_{i = 1}^n {y_i {\rm {\bf {e}'} }_i } = \varphi ({\rm {\bf x} }) + \varphi (y),
</math>

<math>
\varphi (\alpha x) = \varphi \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {(\alpha x_i ){\bf e}_i } } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {(\alpha x_i ){\rm {\bf {e}'} }_i } = \alpha \sum\limits_{i = 1}^n {x_i {\rm {\bf {e}'} }_i } = \alpha \varphi (x).
</math>

Таким образом, линеалы $L$ и $M$ являются изоморфными, а построенное отображение называется координатным изоморфизмом.
}}
Заметим, что координатный изоморфизм зависит от выбора базисов в $L$ и $M$.
{{Следствие
|statement=Любое $n$-мерное линейное пространство $L$ изоморфно координатному пространству $R^n$.
}}
Отметим, что при координатном изоморфизме любому элементу $x \in L$, представимому через базис ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\rm {\bf e} }_n $ в виде $x = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } {\rm {\bf e} }_i $, сопоставляется упорядоченный набор чисел $(x_1, x_2, ..., x_n ) \in R^n$, компоненты которого суть координаты элемента $x \in L$ относительно фиксированного базиса.

{{Теорема
|statement=Изоморфные линеалы имеют одну и ту же размерность.
|proof=Пусть $n$-мерный линеал $L$ изоморфен линейному пространству $M $при линейном изоморфизме $\varphi $. Убедимся, что нулевому элементу ${\rm {\bf 0} } \in L$ соответствует нулевой элемент $\varphi ({\bf 0}) \in M.$

Действительно, для любого элемента $x \in L$ имеем равенство $x + {\bf 0} = x$ и потому $\varphi ({\rm {\bf x} } + {\bf 0}) = \varphi (x)$. В силу свойств линейного изоморфизма $\varphi (x + {\bf 0}) = \varphi ({\rm {\bf x} }) + \varphi ({\bf 0})$. Сравнивая последние равенства, получаем $\varphi (x) + \varphi ({\bf 0}) = \varphi (x)$, откуда следует, что $\varphi $(\textbf{0}) есть нулевой элемент в $M$.

Пусть ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $ произвольный базис в$ L$, а $\varphi ({\bf e}_1 ), \varphi ({\rm {\bf e} }_2 ),..., \varphi ({\bf e}_n )$ {{---}} образы базисных векторов в $M$ при линейном изоморфизме $\varphi $. Составим в $M$ линейную комбинацию
<math>
\sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \varphi (e_i )} = \varphi ({\bf 0}).
</math>

В силу свойств линейного изоморфизма $\varphi $ и взаимно однозначного соответствия нулевых элементов линеалов $L$ и $M $имеем соотношение $\sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i } e_i = {\bf 0}$. Откуда, вследствие линейной независимости элементов ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\rm {\bf e} }_n $ получаем $\alpha _i = 0, i = \overline {1,n} $. Но тогда следует, что элементы $\varphi ({\bf e}_i )$, $i = \overline {1,n} $ из $M $линейно независимы.

Таким образом, размерность $M$ не менее $n$. Если предположить, что размерность $\dim (M) > n$, то при обратном взаимно однозначном соответствии $\varphi ^{-1}: M \to L$ окажется, что $\dim (L) > n$. Полученное противоречие показывает, что $\dim (M) = n$.
}}
[[Файл:p03-07-02-dimension-invariant.svg|thumb|800px|alt=Четыре класса линеалов по размерности 1, 2, 3 и ∞; внутри класса V ≈ R, между классами изоморфизма нет|Рис. 2. Внутри каждого класса одинаковой размерности все линеалы изоморфны: <math>V^1 \approx R^1</math>, <math>V^2 \approx R^2</math>, <math>V^3 \approx R^3</math>. Бесконечномерные пространства образуют отдельный класс. Поэтому <math>L \approx M \iff \dim L = \dim M</math>.]]
{{Следствие
|statement=Конечномерные линеалы разных размерностей неизоморфны.
}}
{{Следствие
|statement=Бесконечномерный линеал неизоморфен никакому конечномерному линеалу.
}}
Итак, существенной характеристикой конечномерного линеала является его размерность. Линеалы, имеющие одинаковую размерность, изоморфны. Свойства линеалов, выраженные в терминах алгебраических операций сложения и умножения на вещественное число, у изоморфных линеалов одинаковые. Поэтому с алгебраической точки зрения изоморфные линеалы тождественны. На этом факте основывается, в сущности, и метод координат, на котором базируется аналитическая геометрия.

Вследствие теоремы все $n$-мерные линейные пространства изоморфны координатному линеалу $R^n$. Таким образом, в теории $n$-мерных линейных пространств, не теряя общности, можно ограничиться изучением линеала $R^n$, поскольку, очевидно, что с помощью обратного изоморфизма $\varphi ^{-1}:R^n\buildrel {\varphi ^{ - 1} } \over \longrightarrow L$ полученные в $R^n$ утверждения переносятся в исходный линеал $L$.

----

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Файл:P03-07-02-dimension-invariant.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:32:09 GMT

СВ загрузил Файл:P03-07-02-dimension-invariant.svg

Новая страница

Файл:P03-07-01-coordinate-isomorphism.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:31:59 GMT

СВ загрузил Файл:P03-07-01-coordinate-isomorphism.svg

Новая страница

Ранг матрицы

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:28:31 GMT

Новая страница: «Пусть ${\bf a}_i \in R^n$ {{---}} произвольная $i-$я строка матрицы ${\rm {\bf S} } = [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_p ] = [p\...»

Новая страница

Пусть ${\bf a}_i \in R^n$ {{---}} произвольная $i-$я строка матрицы ${\rm {\bf S} } = [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_p ] = [p\times n]$. Каждая строка является элементом линеала $R^n$, поэтому если число строк в матрице $p > n$, то строки ${\bf a}_1, {\bf a}_2,..., {\bf a}_p $ линейно зависимы. С другой стороны, очевидно, что среди ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_p $ существует ровно $k \le n$ строк, являющихся линейно независимыми, по которым можно разложить остальные $(n - k)$ строк.

{{Определение
|definition=
Указанная совокупность $k$ строк называется '''строчечным базисом''', а число $k$ {{---}} строчечным рангом матрицы.
}}
Аналогично, если матрица ${\rm {\bf S} } = [{\bf a}^1, {\rm {\bf a} }^2, ..., {\bf a}^n]$, где ${\bf a}^j \in R^p$, то в ней существует не более $p$ линейно независимых столбцов. Среди столбцов ${\bf a}^1, {\bf a}^2, ..., {\bf a}^n$ имеется ровно $m \le p$ линейно независимых, по которым можно разложить любой из остальных $p - m$ столбцов.
{{Определение
|definition=
Указанная совокупность $m$ столбцов называется '''столбцовым базисом''', а число $m$ {{---}} '''столбцовым рангом''' матрицы $S$.
}}
[[Файл:p03-06-01-row-column-rank.svg|thumb|800px|alt=Матрица 3 × 4: третья строка равна сумме первых двух; первые два столбца образуют базис, c3 и c4 выражены через них|Рис. 1. Одна матрица <math>3 \times 4</math>: третья строка равна сумме первых двух, поэтому строчечный ранг <math>k = 2</math>. По столбцам <math>c_3 = -2c_1 + c_2</math> и <math>c_4 = -3c_1 + 2c_2</math>, поэтому и столбцовый ранг равен 2.]]

{{Теорема
|statement=Строчечный (столбцовый) ранг любой матрицы не зависит от выбора строчечного (столбцового) базиса.
|proof=Проведем доказательство для строчечного базиса. Пусть ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_k $ и ${\rm {\bf c} }_1, {\rm {\bf c} }_2, ..., {\rm {\bf c} }_r $ два разных строчечных базиса одной и той же матрицы. Предположим, что $r > k$. Поскольку ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_k $ базис, то строки ${\rm {\bf c} }_j $, $j = \overline {1,r} $ можно разложить по этому базису, т. е. ${\rm {\bf c} }_j = \sum\limits_{i = 1}^k {\alpha _{ij} } {\bf a}_i $, $j = \overline {1,r} $. Так как ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\rm {\bf a} }_k $ линейно независимы, то в соответствии с теоремой 3.5.3 строки ${\rm {\bf c} }_1, {\rm {\bf c} }_2, ..., {\rm {\bf c} }_r $ линейно зависимы. Полученное противоречие доказывает, что $k \ge r$. Аналогично показывается, что $k $не может быть больше$ r$, поэтому $k = r$.
}}
Пусть дана прямоугольная матрица ${\bf a} = [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ...., {\bf a}_m ] = [{\bf a}^1, {\bf a}^2,..., {\bf a}^n]$, ${\bf a}_i \in R^n, {\bf a}^j \in R^m$. Допустим, что строчечный ранг этой матрицы равен $k$. Без ограничения общности можно считать, что первые $k$ строк образуют базис, а любая другая строка матрицы ${\bf a}$ представима в виде их линейной комбинации, т. е.
<math>
{\bf a}_s = \sum\limits_{i = 1}^k {\gamma _{si} {\bf a}_i },
\quad
s = \overline {k + 1,m}.
</math>

Из первых $k$ строк матрицы ${\bf a}$ построим вспомогательную матрицу ${\rm {\bf \tilde {A} } } = [{\rm {\bf \tilde {a} } }_1, {\rm {\bf \tilde {a} } }_2, ..., {\rm {\bf \tilde {a} } }_k ]$, где ${\rm {\bf \tilde {a} } }_i = {\bf a}_i $, $i = \overline {1,k} $. Пусть ${\rm {\bf \tilde {a} } }^j$ есть $j-$й столбец матрицы ${\rm {\bf \tilde {A} } } = [{\rm {\bf \tilde {a} } }^1,{\rm {\bf \tilde {a} } }^2,..., {\rm {\bf \tilde {a} } }^n]$.

{{Лемма
|statement=Если для некоторых чисел $\beta _1, \beta _2, ..., \beta _n $ справедливо равенство $\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i {\rm {\bf \tilde {a} } }^i = 0}$, то $\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i {\bf a}^{\rm {\bf i} } = 0}$.
|proof=Если ввести обозначение
<math>{\rm {\bf b} } = \left( {{\begin{array}{c}
{\beta _1 } \\
{\beta _2 } \\
\vdots \\
{\beta _n } \\
\end{array} } } \right)</math>, то произведение ${\bf a}_j {\rm {\bf b} }$ определяет $j-$ю компоненту столбца $\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i {\rm {\bf a} }^i} $.
Из равенства $\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i {\rm {\bf \tilde {a} } }^i = 0} $ следует, что первые $k$ компонент указанного столбца $\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i {\bf a}^i} $ по построению матрицы
${\rm {\bf \tilde {A} } }$ равны нулю, т. е. ${\bf a}_i {\rm {\bf b} } = 0$, $i = \overline {1,k} $. Тогда для любого $s = \overline {k + 1,m} $ и имеем

<math>
{\bf a}_s {\rm {\bf b} } = \left( {\sum\limits_{i = 1}^k {\gamma _{si} {\bf a}_i } } \right){\rm {\bf b} } = \sum\limits_{i = 1}^k {\gamma _{si} ({\bf a}_i {\rm {\bf b} }) = 0} .
</math>
}}
{{Теорема
|statement=Строчечный ранг любой матрицы равен ее столбцовому рангу.
|proof=Допустим, что столбцовый базис матрицы ${\rm {\bf \tilde {A} } } = [{\rm {\bf \tilde {a} } }_1, {\rm {\bf \tilde {a} } }_2, ..., {\rm {\bf \tilde {a} } }_k ]$ состоит из $r$ первых столбцов ${\rm {\bf \tilde {a} } }^1,{\rm {\bf \tilde {a } } }^2,..., {\rm {\bf \tilde {a} } }^r$. Так как ${\rm {\bf \tilde {a} } }^i \in R^k$, то $r \le k$. Столбцы ${\rm {\bf \tilde {a} } }^1,{\rm {\bf \tilde {a} } }^2,..., {\rm {\bf \tilde {a} } }^r$ образуют базис, поэтому для любого $s = \overline {r + 1,n} $ имеем ${\rm {\bf \tilde {a} } }^s = \sum\limits_{i = 1}^r {\beta _{si} {\rm {\bf \tilde {a} } }^i} $. Следовательно, справедливо равенство $\sum\limits_{i = 1}^r {\beta _{si} {\rm {\bf \tilde {a} } }^i} - {\rm {\bf \tilde {a} } }^s = 0$. Тогда в силу леммы 3.6.1 имеем $\sum\limits_{i = 1}^r {\beta _{si} {\rm {\bf a} }^i} - {\bf a}^s = 0$, отсюда следует, что ${\bf a}^1, {\rm {\bf a} }^2, ..., {\bf a}^r$ есть столбцовый базис матрицы ${\rm {\bf A} }$. Поскольку имеем неравенство $r \le k$, то столбцовый ранг не превосходит строчечный. Аналогичные рассуждения относительно строчечного базиса приводят к выводу, что $r \ge k$. Следовательно, строчечный ранг матрицы совпадает со столбцовым рангом.
}}
{{Определение
|definition=
Общее значение столбцового и строчечного ранга называется рангом матрицы ${\bf a}$ и обозначается $rank{\rm {\bf A} }$.
}}
{{Теорема
|statement=Определитель матрицы ${\bf a} = [n\times n]$ равен нулю тогда и только тогда, когда $rank{\bf a} < n$.
|proof='''Достаточность.''' Пусть $rank{\bf a} < n$, следовательно, строки матрицы ${\bf a}$ линейно зависимы. Поэтому в соответствии с теоремой из параграфа 3 главы 3, по крайней мере, одну из них можно разложить по оставшимся строкам. Без ограничения общности будем считать, что ${\bf a}_n = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\gamma _{ni} {\bf a}_i } $. Определитель $\det {\bf a}$ не изменяется, если к любой из его строк прибавить другую строку, умноженную на заданное число. Следовательно,
<math>
\det {\bf a} = \det [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\rm {\bf a} }_n ] = \det [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n - \gamma _1 {\bf a}_1 - \cdots - \gamma _{n - 1} {\bf a}_{n - 1} ] = \det [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_{n - 1}, 0] = 0.
</math>

'''Необходимость.''' Доказательство проведем методом математической индукции по числу $n$. При $n = 1$ имеем $\det {\bf a} = \alpha _{11} = 0$, т. е. ${\bf a}_1 = 0$ {{---}} линейно зависимая строка. Допустим, что теорема доказана для $n = k - 1$, докажем ее для случая $n = k$.

Пусть ${\bf a} = [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ...., {\rm {\bf a} }_k ] = \left\{ {\alpha _{ij} } \right\}_{i,j = 1}^{k,k} $. Построим вспомогательные строки, считая $\alpha _{11} \ne 0$:
<math>
{\rm {\bf b} }_2 = {\bf a}_2 - \frac{\alpha _{21} }{\alpha _{11} }{\rm {\bf a} }_1 = (0,{\alpha }'_{22}, {\alpha }'_{23}, ..., {\alpha }'_{2k} ), ..., {\rm {\bf b} }_k = {\bf a}_k - \frac{\alpha _{k1} }{\alpha _{11} }{\rm {\bf a} }_1 = (0,{\alpha }'_{k2}, {\alpha }'_{k3}, ..., {\alpha }'_{kk} ).
</math>

Тогда
<math>
\det {\bf a} = \det [{\bf a}_1, {\rm {\bf b} }_2, ..., {\rm {\bf b} }_k ] = \alpha _{11} \left| {{\begin{array}{*{20}c}
{{\alpha }'_{22} } & {{\alpha }'_{23} ...} & {{\alpha }'_{2k} } \\
\vdots & { \vdots ...} & \vdots \\
{{\alpha }'_{k2} } & {{\alpha }'_{k3} ...} & {{\alpha }'_{kk} } \\
\end{array} } } \right| = 0,
</math>
следовательно,
<math>
\det {\rm {\bf \bar {A} } } = \left| {{\begin{array}{*{20}c}
{{\alpha }'_{22} } & {{\alpha }'_{23} ...} & {{\alpha }'_{2k} } \\
\vdots & { \vdots ...} & \vdots \\
{{\alpha }'_{k2} } & {{\alpha }'_{k3} ...} & {{\alpha }'_{kk} } \\
\end{array} } } \right| = 0.
</math>

По индукционному предположению $rank{\rm {\bf \bar {A} } } < k - 1$, т. е. строки $({\alpha }'_{22}, {\alpha }'_{23}, ..., {\alpha }'_{2k} )$, ..., $({\alpha }'_{k2}, {\alpha }'_{k3}, ..., {\alpha }'_{kk} )$ линейно зависимы.
Но тогда линейно зависимыми являются ${\rm {\bf b} }_2, {\rm {\bf b} }_3, ..., {\rm {\bf b} }_k $, следовательно, существуют числа $\gamma _2, \gamma _3, ..., \gamma _k $ не равные нулю одновременно, что $\gamma _2 {\rm {\bf b} }_2 + \gamma _3 {\rm {\bf b} }_3 + ... + \gamma _k {\rm {\bf b} }_k = 0$.
Поэтому справедливо соотношение
<math>
\left( { - \gamma _2 \frac{\alpha _{21} }{\alpha _{11} } - \cdots - \gamma _k \frac{\alpha _{k1} }{\alpha _{11} } } \right){\bf a}_1 + \gamma _2 {\bf a}_2 + \gamma _3 {\bf a}_3 + ... + \gamma _k {\rm {\bf a} }_k = 0,
</math>
отсюда следует линейная зависимость ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_k $, т. е. $rank[{\bf a}_1, {\bf a}_2,..., {\bf a}_k ] < k$.
}}
{{Теорема
|statement=Ранг матрицы равен наибольшему порядку миноров, отличных от нуля.
|proof=Допустим, что $rank{\bf a} = k$. Тогда в матрице ${\bf a}$ существует ровно $k$ линейно независимых строк, образующих строчечный базис, и $k$ линейно независимых столбцов, составляющих столбцовый базис. Поэтому минор $k-$го порядка, построенный на указанных строках и столбцах, очевидно, не равен нулю. При этом все миноры порядка $k + 1$ и выше (если таковые имеются) будут равны нулю, как содержащие линейно зависимые строки и линейно зависимые столбцы.
}}
[[Файл:p03-06-02-rank-minor.svg|thumb|800px|alt=Матрица с выделенным минором 2 × 2, равным 1, и карточки: det A ≠ 0 при rank A = n, det A = 0 при rank A < n|Рис. 2. Минор второго порядка <math>M_2 = 1 \neq 0</math> даёт <math>\operatorname{rank} A \ge 2</math>, а все миноры третьего порядка равны нулю, так как содержат зависимые строки. Справа: для квадратной матрицы <math>\det A \neq 0 \iff \operatorname{rank} A = n</math>, а <math>\det A = 0 \iff \operatorname{rank} A < n</math>.]]

{{Лемма
|statement=Ранг произведения двух матриц не превосходит ранг каждого из сомножителей.
|proof=Пусть даны произвольные матрицы ${\bf a} = [{\bf a}_1, ..., {\bf a}_m ] = [{\bf a}^1, ..., {\rm {\bf a} }^n] = \{\alpha _{ij} \}_{i,j = 1}^{m,n} $, ${\rm {\bf B} } = [{\rm {\bf b} }_1, ..., {\rm {\bf b} }_n ] = [{\rm {\bf b} }^1,..., {\rm {\bf b} }^r] = \{\beta _{jk} \}_{j,k = 1}^{n,r} $. Тогда произведение
<math>
{\rm {\bf AB} } = [{\rm {\bf Ab} }^1,..., {\rm {\bf Ab} }^r] = \left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _{i1} {\bf a}^i,..., } \sum\limits_{i = 1}^n {\beta _{ir} {\bf a}^i} } \right],
</math>
следовательно, каждый столбец произведения есть линейная комбинация столбцов матрицы ${\bf a}$, поэтому $rank({\rm {\bf AB} }) \le rank{\rm {\bf A} }$. Аналогично, имеем
<math>
{\rm {\bf AB} } = [{\bf a}_1 {\rm {\bf B} },..., {\bf a}_m {\rm {\bf B} }] = \left[ {\sum\limits_{j = 1}^n {\alpha _{1j} {\rm {\bf b} }_j, ..., \sum\limits_{j = 1}^n {\alpha _{mj} {\rm {\bf b} }_j } } } \right],
</math>
отсюда каждая строка произведения равна линейной комбинации строк матрицы ${\rm {\bf B} }$, т. е. $rank({\rm {\bf AB} }) \le rank{\rm {\bf B} }$.
}}
{{Лемма
|statement=Для произвольной невырожденной матрицы ${\rm {\bf B} }$ и любой матрицы ${\bf a}$ справедливо равенство $rank({\rm {\bf AB} }) = rank{\bf a}$.
|proof=Если матрица ${\rm {\bf C} } = {\rm {\bf AB} }$, то в силу леммы 3.6.2 $rank{\rm {\bf C} } \le rank{\bf a}$. Так как матрица ${\rm {\bf B} }$ по условию является невырожденной, то существует обратная матрица ${\rm {\bf B} }^{ - 1}$. Умножим матрицу ${\rm {\bf C} }$ справа на ${\rm {\bf B} }^{ - 1}$, получаем ${\rm {\bf CB} }^{ - 1} = {\rm {\bf ABB} }^{ - 1} = {\rm {\bf AE} } = {\bf a}$, следовательно, $rank{\rm {\bf C} } \ge rank{\bf a}$. Таким образом, справедливо равенство $rank{\rm {\bf C} } = rank{\bf a}$.
}}

----

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Файл:P03-06-02-rank-minor.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:27:43 GMT

СВ загрузил Файл:P03-06-02-rank-minor.svg

Новая страница

Файл:P03-06-01-row-column-rank.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:27:36 GMT

СВ загрузил Файл:P03-06-01-row-column-rank.svg

Новая страница

Персистентный стек

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:07:13 GMT

Источники

← Предыдущая		Версия 18:07, 4 ноября 2026
Строка 389:		Строка 389:
	# Cormen T. H., Leiserson C. E., Rivest R. L., Stein C. ''Introduction to Algorithms'' (CLRS). 3rd ed. — MIT Press, 2009. — Гл. 10 (элементарные структуры: стек, список).		# Cormen T. H., Leiserson C. E., Rivest R. L., Stein C. ''Introduction to Algorithms'' (CLRS). 3rd ed. — MIT Press, 2009. — Гл. 10 (элементарные структуры: стек, список).
	# Хабрахабр. Персистентные структуры, часть 1: персистентный стек (пост 113585). URL: https://habr.com/ru/post/113585/.		# Хабрахабр. Персистентные структуры, часть 1: персистентный стек (пост 113585). URL: https://habr.com/ru/post/113585/.


			[[Category:Алгоритмы и структуры данных]]

Очередь на шести стеках

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:07:04 GMT

Источники

← Предыдущая		Версия 18:07, 4 ноября 2026
Строка 430:		Строка 430:
	# Cormen T. H., Leiserson C. E., Rivest R. L., Stein C. ''Introduction to Algorithms'' (CLRS). 3rd ed. — MIT Press, 2009. — Гл. 10 (элементарные структуры: стек, очередь).		# Cormen T. H., Leiserson C. E., Rivest R. L., Stein C. ''Introduction to Algorithms'' (CLRS). 3rd ed. — MIT Press, 2009. — Гл. 10 (элементарные структуры: стек, очередь).
	# Хабрахабр. Персистентная очередь (пост 241231). URL: https://habr.com/ru/post/241231/ ''(проверено 2026-11-03: статья о персистентной очереди, другой алгоритм — на деревьях)''.		# Хабрахабр. Персистентная очередь (пост 241231). URL: https://habr.com/ru/post/241231/ ''(проверено 2026-11-03: статья о персистентной очереди, другой алгоритм — на деревьях)''.


			[[Category:Алгоритмы и структуры данных]]

Персистентная очередь

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:06:18 GMT

Новая страница: «== TL;DR == '''Персистентная очередь''' (persistent queue) — очередь, сохраняющая '''все свои версии''': к...»

Внесённые изменения

Файл:Pq-06-comparison.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:05:25 GMT

СВ загрузил Файл:Pq-06-comparison.svg

Новая страница

Файл:Pq-05-memory.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:05:18 GMT

СВ загрузил Файл:Pq-05-memory.svg

Новая страница

Файл:Pq-04-okasaki.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:05:11 GMT

СВ загрузил Файл:Pq-04-okasaki.svg

Новая страница

Файл:Pq-03-amortize-breaks.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:05:04 GMT

СВ загрузил Файл:Pq-03-amortize-breaks.svg

Новая страница

Файл:Pq-02-two-stacks.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:04:55 GMT

СВ загрузил Файл:Pq-02-two-stacks.svg

Новая страница

Файл:Pq-01-persistence.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 18:04:46 GMT

СВ загрузил Файл:Pq-01-persistence.svg

Новая страница

Базис и размерность линеала

СВ — Wed, 04 Nov 2026 11:35:20 GMT

Новая страница: «{{Определение |definition= Упорядоченная совокупность линейно независимых векторов ${\bf e}_1, {\bf...»

Новая страница

{{Определение
|definition=
Упорядоченная совокупность линейно независимых векторов ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n$ линеала $L$ называется '''базисом линеала''',
если для каждого вектора $x \in L$ найдутся вещественные числа $\gamma_i$, $i = \overline {1,n}$, что
<math>
x = \sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i {\bf e}_i}.
</math>
}}
Последнее равенство называют разложением вектора $x$ по базису ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n$.

На основании данного определения можно утверждать, что в векторном пространстве $V^1$ произвольный ненулевой вектор может быть взят в качестве базисного, в пространстве $V^2$ упорядоченная пара неколлинеарных векторов образует базис, а в $V^3$ упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис.

В пространстве $R^n$ векторы ${\bf u}_1 = (1,0,..., 0)$, ${\bf u}_2 = (0,1,..., 0)$, ..., ${\bf u}_n = (0,0,..., 1)$ образуют базис, поскольку они линейно независимы и любой вектор $x = (\gamma_1, \gamma_2, ..., \gamma_n ) \in R^n$ представим в виде ${\bf x} = \gamma_1 {\bf u}_1 + \gamma_2 {\bf u}_2 + ... + \gamma_n {\bf u}_n$.

Отметим, что в определении базиса порядок элементов существенен, так как, переставляя элементы базиса, мы получаем снова базис, но уже другой.
{{Определение
|definition=
Числа $\gamma_i$, $i = \overline {1,n} $, фигурирующие в разложении элемента $x$ линеала $L$ по заданному базису ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n$ называются '''координатами''' данного вектора относительно рассматриваемого базиса.
}}
{{Теорема
|statement=Координаты всякого элемента линеала $L$ относительно заданного базиса определяются однозначно.
|proof=Допустим, что ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $ {{---}} базис линеала $L$. Пусть для некоторого вектора $x$ наряду с разложением $x = \sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i {\bf e}_i}$ существует еще и другое разложение $x = \sum\limits_{i = 1}^n {\mu _i {\bf e}_i}$. Но тогда справедливо равенство ${\bf 0} = \sum\limits_{i = 1}^n {(\gamma _i - \mu _i ) {\bf e}_i}$. Базисные элементы ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n$ линейно независимы, поэтому для всех $i = \overline {1,n} $ имеем $\gamma_i = \mu_i$.
}}

[[Файл:p03-05-01-basis-coordinates.svg|thumb|800px|alt=Слева разложение x = 2e1 + e2 по базису e1, e2; справа другой базис f1, f2 и координаты (1; 1)|Рис. 1. Слева <math>x = 2e_1 + e_2</math>, координаты <math>(2; 1)</math>. Справа тот же приём с другим базисом <math>f_1 = e_1</math>, <math>f_2 = e_1 + e_2</math>: разложение <math>x = f_1 + f_2</math> даёт другие координаты <math>(1; 1)</math>.]]

{{Теорема
|statement=При сложении элементов линеала $L$ их координаты складываются, а при умножении вектора на вещественное число все его координаты умножаются на данное число.
|proof=Пусть элементы ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $ образуют базис в $L$, $x$ и ${\bf y}$ {{---}} произвольные элементы из $L$, $\lambda $ {{---}} произвольное вещественное число, ${\bf s} = x + y$, ${\bf p} = \lambda x$.
Ясно, что $x = \sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i {\bf e}_i}$, $y = \sum\limits_{i = 1}^n {\mu _i e_i}$, ${\bf s} = \sum\limits_{i = 1}^n {\sigma _i e_i}$, ${\bf p} = \sum\limits_{i = 1}^n {\delta _i e_i}$. Используя аксиомы 1-8 линеала $L$, получаем
<math>
{\rm {\bf s} } = x + y = \sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i } e_i + \sum\limits_{i = 1}^n {\mu _i } e_i = \sum\limits_{i = 1}^n {(\gamma _i + \mu _i )} e_i,
</math>

<math>
{\rm {\bf p} } = \lambda x = \lambda \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i } e_i } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\lambda \gamma _i } e_i .
</math>

В силу единственности разложения по базису имеем $\sigma _i = \gamma _i + \mu _i $, $\delta _i = \lambda \gamma _i $, $i = \overline {1,n} $.
}}

{{Теорема
|statement=Если каждый из $(n + 1)$ элементов $y_0, y_1,..., y_n$ линеала $L$ представим в виде линейной комбинации n линейно независимых элементов $x_1, x_2, ..., x_n$ того же линеала, т. е.
$y_i = \sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _{ij} x_i }$, $j = \overline {0,n}$, то элементы $y_0, y_1, ..., y_n $ линейно зависимы.
}}
{{Следствие
|statement=Любые $(n + 1)$ векторов линейного пространства $R^n$ являются линейно зависимыми.
|proof=Возьмем произвольно векторы $y_k = (\alpha _{k1}, \alpha _{k2}, ..., \alpha _{kn} )$, $k = \overline {0,n} $.
Поскольку ${\rm {\bf u} }_1 = (1,0,..., 0)$, ${\rm {\bf u} }_2 = (0,1,..., 0)$, ..., ${\rm {\bf u} }_n = (0,0,..., 1)$ образуют базис в пространстве $R^n$, то для любого $k = \overline {0,n} $ имеем $y_k = \alpha _{k1} {\rm {\bf u} }_1 + \alpha _{k2} {\rm {\bf u} }_2 + \cdots + \alpha _{kn} {\rm {\bf u} }_n $. Следовательно, в силу теоремы 3.5.3 произвольные $(n + 1)$ векторов из линеала $R^n$ линейно зависимы.
}}
{{Следствие
|statement=Любые два базиса линеала $L$ содержат одно и то же число векторов.
|proof=Пусть ${\bf e}_1, {\bf e}_2 ,..., {\bf e}_n $ базис линеала $L$, а <math>{\rm {\bf {e}'} }_1, {\rm {\bf {e}'} }_2, ..., {\rm {\bf {e}'} }_{n + 1}</math> другой базис этого же линеала. Так как <math>{\rm {\bf {e}'} }_i = \sum\limits_{j = 1}^n {\alpha _j {\bf e}_j }, i = \overline {1,n + 1} </math>, причем ${\bf e}_1, {\bf e}_2,..., {\bf e}_n $ линейно независимы. В силу теоремы <math>{\rm {\bf {e}'} }_1, {\rm {\bf {e}'} }_2, ..., {\rm {\bf {e}'} }_{n + 1}</math> {{---}} линейно зависимы. Полученное противоречие и доказывает следствие.'''
}}
{{Определение
|definition=
Линеал $L$ называют $n$-мерным, если в нем существует базис, состоящий из $n$ векторов.
}}
Число $n$ называют '''размерностью''' линеала $L$ и обозначают символом $\dim (L) = n$.
Таким образом, размерность пространства {{---}} это наибольшее число его линейно независимых элементов.
Если линеал $L$ является $n-$мерным и необходимо подчеркнуть его размерность, то обычно используют обозначение $L^n$. Ясно, что $\dim (V^1) = 1$, $\dim (V^2) = 2$, $\dim (V^3) = 3.$
Линеал $\Theta $, содержащий единственный нулевой элемент, является нуль-мерным.
{{Определение
|definition=
Линеал $L$ называется бесконечномерным, если для любого натурального числа $N$ в нем найдется линейно независимая система, состоящая из $N$ элементов.
}}
Примером бесконечномерного линеала является линейное пространство непрерывных на заданном отрезке функций.
{{Теорема
|statement=Для того чтобы линеал $L был n$-мерным, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовала линейно независимая система, состоящая из $n$ элементов, а всякая система, содержащая более $n$ векторов, была бы линейно зависимой.
|proof='''Необходимость.''' Если линеал является $n$-мерным, то в нем существует базис ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $, состоящий из $n$ элементов. Произвольный вектор $x_j \in L$, $j = \overline {0,n} $ представим в виде линейной комбинации векторов ${\rm {\bf e} }_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $, поэтому любая совокупность более чем $n$ элементов является линейно зависимой.

'''Достаточность.''' Пусть ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $ линейно независимые элементы. Возьмем произвольный вектор $x \in L$. По условию векторы ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $,$x$ линейно зависимы, т. е. существует нетривиальная линейная комбинация $\alpha _1 {\bf e}_1 + \alpha _2 {\bf e}_2 + ... + \alpha _n {\bf e}_n + \alpha x = {\bf 0}$, причем $\alpha \ne 0$. Но тогда x может быть разложен по ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $, т. е. эти элементы {{---}} базис линеала $L$.
В $n$-мерном линеале $L$ всякий базис состоит из n упорядоченных линейно независимых элементов, при этом любой вектор линеала $L^n$ единственным образом представим в виде линейной комбинации базисных элементов.
}}
Это утверждение не вытекает из аксиом 1 {{---}} 8 линейного пространства. Поэтому следует сформулировать новую аксиому.

'''9. (аксиома размерности).''' Линейное пространство $L$ конечномерно и его размерность равна $n$.
При выполнении этой аксиомы из аксиом 1-8 очевидно вытекает сформулированное утверждение.

[[Файл:p03-05-02-dimension-ladder.svg|frame|none|800px|alt=Шесть линеалов с размерностями 0, 1, 2, 3, n и ∞ и пиктограммами числа независимых направлений|Рис. 2. Размерность — наибольшее число независимых направлений: <math>\dim \Theta = 0</math>, <math>\dim V^1 = 1</math>, <math>\dim V^2 = 2</math>, <math>\dim V^3 = 3</math>, <math>\dim R^n = n</math>; пространство непрерывных функций бесконечномерно.]]

----

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Файл:P03-05-02-dimension-ladder.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 11:34:54 GMT

СВ загрузил Файл:P03-05-02-dimension-ladder.svg

Новая страница

Файл:P03-05-01-basis-coordinates.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 11:33:30 GMT

СВ загрузил Файл:P03-05-01-basis-coordinates.svg

Новая страница

Персистентный стек

СВ — Wed, 04 Nov 2026 11:22:04 GMT

Новая страница: «== TL;DR == '''Персистентный стек''' (persistent stack) — стек, хранящий '''все свои предыдущие версии''':...»

Внесённые изменения

Файл:Pstack-06-apply.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 11:21:36 GMT

СВ загрузил Файл:Pstack-06-apply.svg

Новая страница

Файл:Pstack-05-sharing.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 11:21:29 GMT

СВ загрузил Файл:Pstack-05-sharing.svg

Новая страница

Файл:Pstack-04-pop.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 11:21:21 GMT

СВ загрузил Файл:Pstack-04-pop.svg

Новая страница

Файл:Pstack-03-array.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 11:21:13 GMT

СВ загрузил Файл:Pstack-03-array.svg

Новая страница

Файл:Pstack-02-versions.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 11:21:06 GMT

СВ загрузил Файл:Pstack-02-versions.svg

Новая страница

Файл:Pstack-01-idea.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 11:20:57 GMT

СВ загрузил Файл:Pstack-01-idea.svg

Новая страница

Очередь на шести стеках

СВ — Wed, 04 Nov 2026 10:14:09 GMT

Новая страница: «== TL;DR == Обычная очередь на '''двух стеках''' работает амортизированно за <math>O(1)</math>, но отде...»

Внесённые изменения

Файл:Q6-07-comparison.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 10:12:35 GMT

СВ загрузил Файл:Q6-07-comparison.svg

Новая страница

Файл:Q6-06-timeline.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 10:12:25 GMT

СВ загрузил Файл:Q6-06-timeline.svg

Новая страница

Файл:Q6-05-recopy-steps.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 10:12:15 GMT

СВ загрузил Файл:Q6-05-recopy-steps.svg

Новая страница

Файл:Q6-04-invariants.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 10:12:07 GMT

СВ загрузил Файл:Q6-04-invariants.svg

Новая страница

Файл:Q6-03-modes.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 10:11:58 GMT

СВ загрузил Файл:Q6-03-modes.svg

Новая страница

Файл:Q6-02-roles.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 10:11:48 GMT

СВ загрузил Файл:Q6-02-roles.svg

Новая страница

Файл:Q6-01-two-stacks.svg

СВ — Wed, 04 Nov 2026 10:11:28 GMT

СВ загрузил Файл:Q6-01-two-stacks.svg

Новая страница

Персистентные структуры данных

СВ — Wed, 04 Nov 2026 10:09:59 GMT

TL;DR

← Предыдущая		Версия 10:09, 4 ноября 2026
Строка 1:		Строка 1:
	== TL;DR ==		== TL;DR ==

	'''Персистентная структура данных''' (persistent data structure) сохраняет доступ ко '''всем своим предыдущим версиям''': каждая операция создаёт новую версию, не разрушая старые. Наивный способ — копировать структуру целиком — стоит <math>\Theta(n)</math> на операцию и <math>\Theta(n^2)</math> на историю. Поэтому применяют '''разделение данных (sharing)''': три классических метода — '''path copying''' (копируем только путь до изменённого места, остальные поддеревья общие), '''fat nodes''' (каждое поле хранит историю значений по версиям) и '''node copying''' (узел копируется при заполнении, с ограничением входящей степени). Различают уровни персистентности: '''частичная''', '''полная''', '''функциональная''' и '''слитная''' (confluent, с объединением версий). Персистентность — основа функциональных языков, систем контроля версий, многоверсионных СУБД (MVCC), undo/redo и безопасного разделения данных между потоками. Конкретные реализации разобраны в [[персистентный-стек]], [[персистентная-очередь]] и [[очередь-на-шести-стеках]].		'''Персистентная структура данных''' (persistent data structure) сохраняет доступ ко '''всем своим предыдущим версиям''': каждая операция создаёт новую версию, не разрушая старые. Наивный способ — копировать структуру целиком — стоит <math>\Theta(n)</math> на операцию и <math>\Theta(n^2)</math> на историю. Поэтому применяют '''разделение данных (sharing)''': три классических метода — '''path copying''' (копируем только путь до изменённого места, остальные поддеревья общие), '''fat nodes''' (каждое поле хранит историю значений по версиям) и '''node copying''' (узел копируется при заполнении, с ограничением входящей степени). Различают уровни персистентности: '''частичная''', '''полная''', '''функциональная''' и '''слитная''' (confluent, с объединением версий). Персистентность — основа функциональных языков, систем контроля версий, многоверсионных СУБД (MVCC), undo/redo и безопасного разделения данных между потоками. Конкретные реализации разобраны в [[Персистентный стек\|персистентный стек]], [[Персистентная очередь\|персистентная очередь]] и [[Очередь на шести стеках\|очередь на шести стеках]].

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
Строка 38:		Строка 38:
	\| функциональные языки, Git, СУБД, геометрия, undo, параллельность		\| функциональные языки, Git, СУБД, геометрия, undo, параллельность
	\|}		\|}


	== Определения ==		== Определения ==