Викиконспекты ПМ-ПУ - Свежие правки [ru]

Заглавная страница

СВ — Sun, 13 Sep 2026 20:58:52 GMT

Полезное

← Предыдущая		Версия 20:58, 13 сентября 2026
Строка 3:		Строка 3:
	[[Справка:Инструкции\| Инструкция для студентов]].		[[Справка:Инструкции\| Инструкция для студентов]].
	== Полезное ==		== Полезное ==
			* [https://apmath.info/pt/ Теория вероятностей :: Интерактивные примеры]
	* [https://apmath.info/gt/ Теория игр::Интерактивные примеры]		* [https://apmath.info/gt/ Теория игр::Интерактивные примеры]
	* [https://tt.apmath.info/ Сводное расписание]		* [https://tt.apmath.info/ Сводное расписание]

Определители порядка n

СВ — Sat, 12 Sep 2026 14:01:12 GMT

Новая страница: «Рассмотрим всевозможные произведения по $n$ элементов квадратной матрицы $A = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j...»

Новая страница

Рассмотрим всевозможные произведения по $n$ элементов квадратной матрицы $A = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{n,n}$, взятые в разных строках и разных столбцах, то есть $\alpha_{1j_{1}} \alpha_{2j_2} \cdots \alpha_{nj_n}$, где $j_{1}, j_2, ..., j_n$ составляют некоторую перестановку чисел $\{ 1, 2, ..., n-1, n\}$. Как известно, число таких перестановок равно $n!$.

{{Определение
|definition=''Определителем n-го порядка'' квадратной матрицы $A=[n\times n]$ называется сумма $n!$ всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца. Сомножители в этих произведениях записываются в порядке возрастания номеров строк. Тогда номера столбцов образуют перестановку. Слагаемые, у которых эта перестановка четная берутся со знаком $+$, а если нечетная, то со знаком $-$, то есть

<math>
\det A= \left|\begin{array}{cccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \cdots & \alpha_{1n} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \cdots & \alpha_{2n} \\
\ldots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \cdots & \alpha_{nn}
\end{array}\right| = \sum_{\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_{1} } \alpha_{2j_2 } \cdots \alpha_{nj_n }.
</math>
}}

== Свойства определителя ==

# Произведение $\alpha_{i_{1} j_{1} } \alpha_{i_2 j_2 } \cdots \alpha_{i_n j_n }$, где $\{ i_{1}, i_2, ..., i_n \} $ и $\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} $ перестановки последовательности $\{ 1, 2, ..., n-1, n\} $ входит в определитель со знаком $(-1)^{m}$, $m = inv\{ i_{1}, i_2, ..., i_n \} + inv\{ j_{1}, j_2, ..., j_n\}$.
# Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
# Если хотя бы одна из строк определителя является нулевой, то определитель равен нулю.
# Если элементы некоторой строки определителя представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель матрицы равен сумме двух определителей, в первом из которых в указанной строке стоят первые слагаемые, а во втором {{---}} вторые.
# Если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и то же число, то это эквивалентно умножению определителя на данное число.
# При перестановке местами двух строк определитель меняет знак.
# Определитель, в котором совпадают две строки, равен нулю.
# Определитель, в котором две строки пропорциональны, равен нулю.
# Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, предварительно умноженной на произвольное число.

== Доказательства свойств определителя ==

'''Свойство 1.''' Произведение $\alpha_{i_{1} j_{1} } \alpha_{i_2 j_2 } \cdots \alpha_{i_n j_n }$, где $\{ i_{1}, i_2, ..., i_n \} $ и $\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} $ перестановки последовательности $\{ 1, 2, ..., n-1, n\} $ входит в определитель со знаком $(-1)^{m}$, $m = inv\{ i_{1}, i_2, ..., i_n \} + inv\{ j_{1}, j_2, ..., j_n\}$.

'''Доказательство.''' Для того чтобы воспользоваться определением определителя необходимо расположить сомножители в порядке возрастания номеров строк, а затем подсчитать число инверсий в перестановке, определяемой номерами столбцов. Однако при перестановке сомножителей происходит транспозиция, как в первой, так и во второй перестановке. При этом в каждой перестановке число инверсий изменяется на нечетное число, поэтому суммарное изменение числа инверсий будет четным. Следовательно,

<math>(-1)^{inv\{ i_{1}, i_2, ..., i_n \} + inv\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} } = (-1)^{inv\{ 1, 2, ..., n\} + inv\{ l_{1}, l_2, ..., l_n \} },</math>

то есть знак произведения определяется в соответствии с указанной формулой.

'''Свойство 2.''' Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.

'''Доказательство.''' Брать произведения элементов по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца исходной матрицы эквивалентно тем же действиям с транспонированной матрицей. Каждое произведение в определителе исходной матрицы имеет знак, совпадающий со знаком соответствующего произведения в определителе транспонированной матрицы.

Таким образом, в определителе строки и столбцы равноправны. Следовательно, все свойства определителя справедливые для его строк, справедливы и для его столбцов.

'''Свойство 3.''' Если хотя бы одна из строк определителя является нулевой, то определитель равен нулю.

'''Доказательство.''' В каждом произведении определителя в качестве сомножителя обязательно присутствует элемент из указанной нулевой строки, поэтому $\det A = 0$.

'''Свойство 4.''' Если элементы некоторой строки определителя представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель матрицы равен сумме двух определителей, в первом из которых в указанной строке стоят первые слагаемые, а во втором {{---}} вторые.

'''Доказательство.''' Пусть строка $a_{i} = b_{i} +c_{i}$, где $a_{i} =(\alpha_{i1} \, \alpha_{i2} \, ...\, \alpha_{in} )$, $b_{i} = (\beta_{i1} \, \beta_{i2} \, ...\, \beta_{in})$, $c_{i} =(\gamma_{i1} \, \gamma_{i2} \, ...\, \gamma_{in} )$. Тогда

<math>\det A=\sum_{\{ j_1, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_1, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_1} \alpha_{2j_2} \cdots (\beta_{ij_i} + \gamma_{ij_i} )\cdots \alpha_{nj_n} = </math>
<math>=\sum_{\{ j_1, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_1, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_1 } \alpha_{2j_2 } \cdots \beta_{ij_i } \cdots \alpha_{nj_n } + \sum_{\{ j_1, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_1, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_1 } \alpha_{2j_2 } \cdots \gamma_{ij_i } \cdots \alpha_{nj_n }.</math>

Таким образом,

<math>\det A = \det [a_{1}, ..., a_{i-1}, a_{i}, a_{i+1}, ..., a_n ]=\det [a_{1}, ...,a_{i-1}, b_{i}, a_{i+1}, ...,a_n ]+\det [a_{1}, ..., a_{i-1}, c_{i}, a_{i+1}, ..., a_n].</math>

'''Свойство 5.''' Если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и то же число, то это эквивалентно умножению определителя на данное число.

'''Доказательство.''' Пусть элементы строки $a_{i} $ определителя матрицы $\bf A$ умножены на число $\gamma$. Тогда

<math>\det [a_{1}, ..., \gamma a_{i}, ..., a_n ] = \sum_{\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_{1} } \alpha_{2j_2 } \cdots (\gamma \alpha_{ij_{i} } )\cdots \alpha_{nj_n } = </math>
<math> = \gamma \sum_{\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_{1} } \alpha_{2j_2 } \cdots \alpha_{ij_{i} } \cdots \alpha_{nj_n } = \gamma \det A.</math>

'''Свойство 6.''' При перестановке местами двух строк определитель меняет знак.

'''Доказательство.''' Пусть
<math>\det A = \left|\begin{array}{ccccccc}
\alpha_{11} & ... & \alpha_{1j_k} & ... & \alpha_{1j_l} & ... & \alpha_{1n} \\
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\
\alpha_{k1} & ... & \alpha_{kj_k} & ... & \alpha_{kj_l} & ... & \alpha_{kn} \\
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\
\alpha_{l1} & ... & \alpha_{lj_k} & ... & \alpha_{lj_l} & ... & \alpha_{ln} \\
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\
\alpha_{n1} & ... & \alpha_{nj_k} & ... & \alpha_{nj_l} & ... & \alpha_{nn}
\end{array}\right|.</math>

Если в определителе поменять $k$-ю и $l$-ю строки местами, то получаем

<math>\det B = \left|\begin{array}{ccccccc}
\alpha_{11} & ... & \alpha_{1j_k} & ... & \alpha_{1j_l} & ... & \alpha_{1n} \\
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\
\alpha_{l1} & ... & \alpha_{lj_k} & ... & \alpha_{lj_l} & ... & \alpha_{ln} \\
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\
\alpha_{k1} & ... & \alpha_{kj_k} & ... & \alpha_{kj_l} & ... & \alpha_{kn} \\
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\
\alpha_{n1} & ... & \alpha_{nj_k} & ... & \alpha_{nj_l} & ... & \alpha_{nn}
\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccccccc}
\beta_{11} & ... & \beta_{1j_k} & ... & \beta_{1j_l} & ... & \beta_{1n} \\
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\
\beta_{k1} & ... & \beta_{kj_k} & ... & \beta_{kj_l} & ... & \beta_{kn} \\
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\
\beta_{l1} & ... & \beta_{lj_k} & ... & \beta_{lj_l} & ... & \beta_{ln} \\
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\
\beta_{n1} & ... & \beta_{nj_k} & ... & \beta_{nj_l} & ... & \beta_{nn}
\end{array}\right|.</math>

Воспользуемся определением определителя, получаем

<math>\det B = \sum_{\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} } \beta_{1j_{1} } \cdots \beta_{kj_k} \cdots \beta_{lj_l} \cdots \beta_{nj_n} =
\sum_{\{ j_1, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_1, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_1 } \cdots \alpha_{lj_k } \cdots \alpha_{kj_{l} } \cdots \alpha_{nj_n}.</math>

В определитель $\det A$ произведение $\alpha_{1j_1 } \cdots \alpha_{lj_k } \cdots \alpha_{kj_l } \cdots \alpha_{nj_n } $ входит со знаком $(-1)^{inv\{ j_1, ..., j_l, ..., j_k, ..., j_n \}}$, поскольку $l>k$, а в определитель $\det B$ {{---}} со знаком $(-1)^{inv\{ j_1, ..., j_k, ..., j_l, ..., j_n \}}$. Указанные знаки, очевидно, противоположны, так как в силу следствия~2.3.2 любая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную, то есть $\det A = -\det B$.

'''Свойство 7.''' Определитель, в котором совпадают две строки, равен нулю.

'''Доказательство.''' Если поменять местами совпадающие строки, то определитель должен поменять знак. Но тогда, очевидно, $\det A = -\det A$, то есть $\det A =0$.

'''Свойство 8.''' Определитель, в котором две строки пропорциональны, равен нулю.

'''Доказательство.''' Допустим, например, что первая строка определителя пропорциональна второй. Тогда

<math>\det [a_1, \lambda a_1, a_3, ..., a_n ] = \lambda \det [a_1, a_1, a_3, ..., a_n ]=0.</math>

'''Свойство 9.''' Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, предварительно умноженной на произвольное число.

'''Доказательство.''' Действительно,
<math>\det [a_1, ..., a_{i} + \lambda a_{j}, ..., a_{j}, ..., a_n ]=\det [a_1, ..., a_{i}, ..., a_{j}, ..., a_n ] + \lambda \det [a_1, ..., a_{j}, ..., a_{j}, ..., a_n ].</math>

Но $\det [a_1, ..., a_{j}, ..., a_{j}, ..., a_n ]=0$, поэтому $\det [a_1, ..., a_{i} + \lambda a_{j}, ..., a_{j}, ..., a_n ]=\det [a_1, ..., a_{i}, ..., a_{j}, ..., a_n ]$.

Рациональные дроби

СВ — Sat, 12 Sep 2026 13:41:09 GMT

Новая страница: «{{Определение |definition=''Рациональной дробью'' называется отношение двух полиномов с вещест...»

Новая страница

{{Определение
|definition=''Рациональной дробью'' называется отношение двух полиномов с вещественными коэффициентами $\frac{f(x)}{g(x)}$, где полином $g(x)$ тождественно не равен нулю.
}}

{{Определение
|definition=Рациональная дробь называется ''несократимой'', если полиномы $f(x)$ и $g(x)$ взаимно просты.
}}

Любая рациональная дробь $\frac{f(x)}{g(x)}$ приводится к несократимой, если ее числитель и знаменатель разделить на наибольший общий делитель полиномов $f(x)$ и $g(x)$.

{{Определение
|definition=Рациональная дробь $\frac{f(x)}{g(x)}$ называется ''правильной'', если $\deg f(x)<\deg g(x)$.
}}

Добавим к множеству всевозможных правильных рациональных дробей число $0$.

{{Теорема
|statement=Любая рациональная дробь однозначно представляется в виде суммы полинома и правильной дроби.
|proof= Действительно, если $\deg f(x)\ge \deg g(x)$, то существуют такие однозначно определяемые полиномы $q(x)$ и $r(x)$, что $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$, где $\deg r(x)<\deg g(x)$. Тогда
$\frac{f(x)}{g(x)} =q(x)+\frac{r(x)}{g(x)}$, причем $q(x)$ {{---}} полином, а $\frac{r(x)}{g(x)}$ {{---}} правильная дробь.
}}

{{Определение
|definition=Правильная дробь $\frac{f(x)}{g(x)}$ называется ''простейшей'', если ее знаменатель $g(x)$ является степенью неприводимого полинома $p(x)$, то есть $g(x)=p^{k} (x)$.
}}

{{Теорема
|statement=Любая правильная рациональная дробь однозначно с точностью до порядка слагаемых разлагается в сумму простейших дробей.
|proof=Для доказательства рассмотрим сначала правильную несократимую рациональную дробь $\frac{f(x)}{f_{0} (x)f_{1} (x)}$.

Будем считать, что $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$ два взаимно простых полинома, а поэтому существуют такие $\bar{u}_{0} (x)$ и $\bar{u}_{1} (x)$, что $\bar{u}_{0} (x)f_{0} (x)+\bar{u}_{1} (x)f_{1} (x)=1$. Умножим обе части этого равенства на полином $f(x)$, получаем

<math>
f_{0} (x)[\bar{u}_{0} (x)f(x)]+f_{1} (x)[\bar{u}_{1} (x)f(x)]=f(x).
</math>

Представим полином $\bar{u}_{0} (x)f(x)$ в виде $\bar{u}_{0} (x)f(x)=f_{1} (x)q(x)+u_{0} (x)$, где $\deg u_{0} (x)<\deg f_{1} (x)$, и подставим его в предыдущее соотношение. Тогда

<math>f_{0} (x)u_{0} (x)+f_{1} (x)[f_{0} (x)q(x)+\bar{u}_{1} (x)f(x)]=f(x),</math>

то есть $f_{0} (x)u_{0} (x)+f_{1} (x)u_{1} (x)=f(x)$, где $u_{1} (x)=f_{0} (x)q(x)+\bar{u}_{1} (x)f(x)$.

Поскольку исходная дробь является правильной, то $\deg f<\deg (f_{0} f_{1})$. Так как по построению $\deg u_{0} <\deg f_{1}$, то, очевидно, $\deg (f_{0} u_{0} )<\deg (f_{0} f_{1} )$.

Так как $f_{1} (x)u_{1} (x)=f(x)-f_{0} (x)u_{0} (x)$, то $\deg (f_{1} u_{1} )\le \max \{ \deg f,\deg (f_{0} u_{0} )\} <\deg (f_{0} f_{1} )$.

Если разделить обе части соотношения $f_{0} (x)u_{0} (x)+f_{1} (x)u_{1} (x)=f(x)$ на произведение $f_{0} (x)f_{1} (x)$, то получаем

<math>\frac{f(x)}{f_{0} (x)f_{1} (x)} =\frac{f_{0} (x)u_{0} (x)}{f_{0} (x)f_{1} (x)} +\frac{f_{1} (x)u_{1} (x)}{f_{0} (x)f_{1} (x)} =\frac{u_{0} (x)}{f_{1} (x)} +\frac{u_{1} (x)}{f_{0} (x)}.</math>

Таким образом, исходная несократимая правильная рациональная дробь $\frac{f(x)}{f_{0} (x)f_{1} (x)}$ представима в виде суммы правильных дробей.

Полиномы $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$ можно представить в виде произведения степеней неприводимых, а значит, взаимно простых полиномов. Поэтому дробь $\frac{f(x)}{f_{0} (x)f_{1} (x)}$ допускает однозначное разложение в сумму правильных дробей

<math>
\frac{f(x)}{f_{0} (x)f_{1} (x)} =\frac{h_{1} (x)}{p_{1}^{k_{1} } (x)} +\frac{h_{2} (x)}{p_{2}^{k_{2} } (x)} +\cdots +\frac{h_{m} (x)}{p_{m}^{k_{m} } (x)},
</math>

где $f_{0} (x)f_{1} (x)=p_{1}^{k_{1} } (x)p_{2}^{k_{2} } (x)\cdots p_{m}^{k_{m} } (x)$, причем $p_{i} (x)\ne p_{j} (x)$, когда $i\ne j$.

Рассмотрим отдельно, например, первую дробь из правой части соотношения. Разделим $h_{1} (x)$ на полином $p_{1}^{k_{1} -1} (x)$ с остатком, а затем полученный остаток делим на полином $p_{1}^{k_{1} -2} (x)$ и так далее. В итоге получаем цепочку равенств:

\begin{align}
h_{1} &= p_{1}^{k_{1} -1} q_{1} +r_{1} ,\\
r_{1} &= p_{1}^{k_{1} -2} q_{2} +r_{2} ,\\
&...,\\
r_{k_{1} -2} &=p_{1} q_{k_{1} -1} +r_{k_{1} -1}.
\end{align}

Так как рассматриваемая дробь является правильной, то $\deg h_{1} <\deg p_{1}^{k_{1} } $. Кроме того, по построению $\deg r_{1} <\deg p_{1}^{k_{1} -1} $, следовательно, $\deg q_{1} <\deg p_{1} $. Рассуждая подобным образом, получаем, что для любого $i=\overline{1,k_{1} -1}$ справедливы неравенства $\deg q_{i} <\deg p_{1}$, $\deg r_{i} <\deg p_{1} $. Так как
<math>h_{1} (x)=p_{1}^{k_{1} -1} (x)q_{1} (x)+p_{1}^{k_{1} -2} (x)q_{2} (x)+...+p_{1} (x)q_{k_{1} -1} (x)+r_{k_{1} -1} (x),</math>
то дробь

<math>
\frac{h_{1} (x)}{p_{1}^{k_{1} } (x)} =\frac{q_{1} (x)}{p_{1} (x)} +\frac{q_{2} (x)}{p_{1}^{2} (x)} +\cdots +\frac{q_{k_{1} -1} (x)}{p_{1}^{k_{1} -1} (x)} +\frac{r_{k_{1} -1} (x)}{p_{1}^{k_{1} } (x)}.
</math>

Таким образом, доказали, что произвольная правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.

Для доказательства однозначности разложения в сумму простейших дробей предположим, что существует другое разложение дроби

<math>\frac{h_{1} (x)}{p_{1}^{k_{1} } (x)} =\frac{\bar{q}_{1} (x)}{p_{1} (x)} +\frac{\bar{q}_{2} (x)}{p_{1}^{2} (x)} +\cdots +\frac{\bar{q}_{k_{1} -1} (x)}{p_{1}^{k_{1} -1} (x)} +\frac{\bar{r}_{k_{1} -1} (x)}{p_{1}^{k_{1} } (x)}.</math>

Вычтем это соотношение из первого разложения второе. Имеем

<math>\frac{q_{1} (x)-\bar{q}_{1} (x)}{p_{1} (x)} +\frac{q_{2} (x)-\bar{q}_{2} (x)}{p_{1}^{2} (x)} +\cdots +\frac{q_{k_{1} -1} (x)-\bar{q}_{k_{1} -1} (x)}{p_{1}^{k_{1} -1} (x)} +\frac{r_{k_{1} -1} (x)-\bar{r}_{k_{1} -1} (x)}{p_{1}^{k_{1} } (x)} =0.</math>

Умножая обе части на полином $p_{1}^{k_{1} -1} (x)$, получаем, что сумма полинома и правильной дроби равна нулю, что, однако, невозможно.

}}

Полиномы с вещественными коэффициентами

СВ — Fri, 28 Aug 2026 09:40:59 GMT

← Предыдущая		Версия 09:40, 28 августа 2026
Строка 1:		Строка 1:
	{{Лемма		{{Лемма
	\|statement=Для произвольного полинома $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n-1} x + a_{n}$ с вещественными коэффициентами и любого комплексного числа $\alpha$ справедливо равенство $\overline{f(\alpha)}=f(\bar{\alpha })$.		\|statement=Для произвольного полинома $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n-1} x + a_{n}$ с вещественными коэффициентами и любого комплексного числа $\alpha$ справедливо равенство $\overline{f(\alpha)}=f(\bar{\alpha})$.
	\|proof=Подставим в полином $f(x)$ вместо $x$ произвольное комплексное число $\alpha =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, получаем		\|proof=Подставим в полином $f(x)$ вместо $x$ произвольное комплексное число $\alpha =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, получаем
	$$		<math>
	f(\alpha )=a_{0} r^{n} (\cos n\varphi +i\sin n\varphi )+a_{1} r^{n-1} (\cos (n-1)\varphi +i\sin (n-1)\varphi )+...+a_{n-1} r(\cos \varphi +i\sin \varphi )+a_{n} = ( a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} ) + i ( a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ).		f( \alpha ) = a_{0} r^{n} ( \cos n \varphi + i \sin n \varphi ) + a_{1} r^{n-1} (\cos (n-1)\varphi + i \sin (n-1)\varphi ) +...+ a_{n-1} r (\cos \varphi +i\sin \varphi ) + a_{n} </math>
	$$		<math>
			= ( a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} ) + i ( a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ).
			</math>

	Очевидно, что		Очевидно, что
	$$		<math>
	\overline{f(\alpha )}=(a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} )- i ( a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ).		\overline{f(\alpha )}=(a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} )- i ( a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ).
	$$		</math>

	С другой стороны, $\bar{\alpha }=r(\cos \varphi -i\sin \varphi )=r(\cos (-\varphi )+i\sin (-\varphi ))$, поэтому с учетом нечетности синуса и четности косинуса получаем		С другой стороны, $\bar{\alpha }=r(\cos \varphi -i\sin \varphi )=r(\cos (-\varphi )+i\sin (-\varphi ))$, поэтому с учетом нечетности синуса и четности косинуса получаем
	$$		<math>
	f(\bar{\alpha })=(a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} ) - i (a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ),		f(\bar{\alpha })=(a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} ) - i (a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ),
	$$		</math>
	то есть $\overline{f(\alpha )}=f(\bar{\alpha })$.		то есть $\overline{f(\alpha )}=f(\bar{\alpha })$.
	}}		}}
Строка 28:		Строка 30:

	Из теоремы 1.3.2 следует, что полином $f(x)$ можно разложить на множители		Из теоремы 1.3.2 следует, что полином $f(x)$ можно разложить на множители
	$$f(x)=a_{0} (x-\alpha_{1} )(x-\alpha_{2} )\cdots (x-\alpha_{k} )(x-\beta_{1} )(x-\bar{\beta }_{1} )\cdots (x-\beta_{l} )(x-\bar{\beta }_{l} ).$$		<math>f(x)=a_{0} (x-\alpha_{1} )(x-\alpha_{2} )\cdots (x-\alpha_{k} )(x-\beta_{1} )(x-\bar{\beta }_{1} )\cdots (x-\beta_{l} )(x-\bar{\beta }_{l} ).</math>

	Ясно, что $\varphi_{s} (x)=x-\alpha_{s} $, $s=\overline{1,k}$ {{---}} это неприводимые полиномы. Рассмотрим полином $\psi_{m} (x)=(x-\beta_{m} )(x-\bar{\beta }_{m} )=x^{2} -(\beta_{m} +\bar{\beta }_{m} )x+\beta_{m} \bar{\beta }_{m} =x^{2} -\gamma_{m}^{(1)} x+\gamma_{m}^{(2)}$. В силу свойств комплексных чисел $\gamma_{m}^{(1)} $ и $\gamma_{m}^{(2)} $ {{---}} это вещественные числа, поэтому $\psi_{m} (x)$, $m=\overline{1,l}$ неприводимы.		Ясно, что $\varphi_{s} (x)=x-\alpha_{s} $, $s=\overline{1,k}$ {{---}} это неприводимые полиномы. Рассмотрим полином $\psi_{m} (x)=(x-\beta_{m} )(x-\bar{\beta }_{m} )=x^{2} -(\beta_{m} +\bar{\beta }_{m} )x+\beta_{m} \bar{\beta }_{m} =x^{2} -\gamma_{m}^{(1)} x+\gamma_{m}^{(2)}$. В силу свойств комплексных чисел $\gamma_{m}^{(1)} $ и $\gamma_{m}^{(2)} $ {{---}} это вещественные числа, поэтому $\psi_{m} (x)$, $m=\overline{1,l}$ неприводимы.
Строка 34:		Строка 36:

	Доказанная теорема позволяет утверждать, что в общем случае, когда у полинома $f(x)$ имеются кратные корни, то этот полином представляется в виде		Доказанная теорема позволяет утверждать, что в общем случае, когда у полинома $f(x)$ имеются кратные корни, то этот полином представляется в виде
	~~\begin{equation} \label{eq_1_5_1}~~		$f(x) = p_{1}^{k_{1} } (x)p_{2}^{k_{2} } (x)\cdots p_{l}^{k_{l} } (x)$,
	f(x) = p_{1}^{k_{1} } (x)p_{2}^{k_{2} } (x)\cdots p_{l}^{k_{l} } (x),
	~~\end{equation}~~
	где $p_{i}^{k_{i} } (x)$ степень неприводимого полинома $p_{i} (x)$, причем $p_{i} (x)\ne p_{j} (x)$, когда $i\ne j$.		где $p_{i}^{k_{i} } (x)$ степень неприводимого полинома $p_{i} (x)$, причем $p_{i} (x)\ne p_{j} (x)$, когда $i\ne j$.

Строка 42:		Строка 42:

	{{Теорема		{{Теорема
	\|~~statement~~=~~'''(~~Теорема Виета~~)'''~~		\|author=Теорема Виета
			\|statement=Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}$ {{---}} корни приведенного полинома $f(x)=x^{n} +a_{1} x^{n-1} +...+a_{n-1} x + a_{n}$. Тогда между коэффициентами этого полинома и его корнями существуют следующие зависимости:
	Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}$ {{---}} корни приведенного полинома $f(x)=x^{n} +a_{1} x^{n-1} +...+a_{n-1} x + a_{n}$. Тогда между коэффициентами этого полинома и его корнями существуют следующие зависимости:		<math>
	\begin{~~align~~}		\begin{array}{l}
	\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{n} =-a_{1},\\		\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{n} =-a_{1},\\
	\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{n-1} \alpha_{n} =a_{2},\\		\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{n-1} \alpha_{n} =a_{2},\\
	\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3} +\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{4} +...+\alpha_{n-2} \alpha_{n-1} \alpha_{n} =-a_{3},\\		\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3} +\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{4} +...+\alpha_{n-2} \alpha_{n-1} \alpha_{n} =-a_{3},\\
	~~{\dots}{\dots}{\dots}{\dots}~~ \\		... \\
	\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n} =(-1)^{n} a_{n} .		\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n} =(-1)^{n} a_{n} .
	\end{~~align~~}		\end{array}
			</math>
	\|proof=Доказательство проведем методом математической индукции. При $n=1$ формулы очевидны, а при $n=2$ превращаются в хорошо знакомые формулы Виета для квадратного трехчлена. Допустим, что формулы справедливы при $n=k$. Докажем их справедливость для случая $n=k+1$.		\|proof=Доказательство проведем методом математической индукции. При $n=1$ формулы очевидны, а при $n=2$ превращаются в хорошо знакомые формулы Виета для квадратного трехчлена. Допустим, что формулы справедливы при $n=k$. Докажем их справедливость для случая $n=k+1$.

	В силу индукционного предположения любой полином $k$-й степени, имеющий корни $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{k}$, представим в виде		В силу индукционного предположения любой полином $k$-й степени, имеющий корни $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{k}$, представим в виде
	$$f(x)=x^{k} -(\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{k} )x^{k-1} +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k-1} \alpha_{k} )x^{k-2} +...+(-1)^{k} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k} .$$		<math>f(x)=x^{k} -(\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{k} )x^{k-1} +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k-1} \alpha_{k} )x^{k-2} +...+(-1)^{k} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k} .</math>

	Если $\alpha_{k+1}$ корень полинома степени $k+1$, то для этого полинома справедливо:		Если $\alpha_{k+1}$ корень полинома степени $k+1$, то для этого полинома справедливо:
	$$f(x)=[x^{k} -(\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{k} )x^{k-1} +$$		<math>f(x)=[x^{k} -(\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{k} )x^{k-1} +</math>
	$$+(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k-1} \alpha_{k} )x^{k-2} +...+(-1)^{k} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k} ](x-\alpha_{k+1} )=$$		<math>+(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k-1} \alpha_{k} )x^{k-2} +...+(-1)^{k} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k} ](x-\alpha_{k+1} )=</math>
	$$f(x)=x^{k+1} -(\alpha_{1} +...+\alpha_{k} +\alpha_{k+1} )x^{k} +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k} \alpha_{k+1} )x^{k-1} +...+(-1)^{k+1} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k+1},$$		<math>f(x)=x^{k+1} -(\alpha_{1} +...+\alpha_{k} +\alpha_{k+1} )x^{k} +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k} \alpha_{k+1} )x^{k-1} +...+(-1)^{k+1} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k+1},</math>
	что и требовалось доказать.		что и требовалось доказать.
	}}		}}

Полиномы с вещественными коэффициентами

СВ — Fri, 28 Aug 2026 09:24:30 GMT

Новая страница: «{{Лемма |statement=Для произвольного полинома $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n-1} x + a_{n}$ с вещественны...»

Новая страница

{{Лемма
|statement=Для произвольного полинома $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n-1} x + a_{n}$ с вещественными коэффициентами и любого комплексного числа $\alpha$ справедливо равенство $\overline{f(\alpha)}=f(\bar{\alpha })$.
|proof=Подставим в полином $f(x)$ вместо $x$ произвольное комплексное число $\alpha =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, получаем
$$
f(\alpha )=a_{0} r^{n} (\cos n\varphi +i\sin n\varphi )+a_{1} r^{n-1} (\cos (n-1)\varphi +i\sin (n-1)\varphi )+...+a_{n-1} r(\cos \varphi +i\sin \varphi )+a_{n} = ( a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} ) + i ( a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ).
$$

Очевидно, что
$$
\overline{f(\alpha )}=(a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} )- i ( a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ).
$$

С другой стороны, $\bar{\alpha }=r(\cos \varphi -i\sin \varphi )=r(\cos (-\varphi )+i\sin (-\varphi ))$, поэтому с учетом нечетности синуса и четности косинуса получаем
$$
f(\bar{\alpha })=(a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} ) - i (a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ),
$$
то есть $\overline{f(\alpha )}=f(\bar{\alpha })$.
}}

{{Определение
|definition=
Полином с вещественными коэффициентами называется '''неприводимым''', если он не делится нацело на полином с вещественными коэффициентами меньшей степени.
}}

{{Теорема
|statement=Любой полином $f(x)$ с вещественными коэффициентами однозначно с точностью до порядка сомножителей представляется в виде произведения неприводимых полиномов.
|proof=Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{k}$ {{---}} все вещественные корни полинома $f(x)$, а $\beta $ {{---}} произвольный комплексный корень. Тогда, очевидно, $f(\beta )=0$, следовательно, $\overline{f(\beta )}=0$, поэтому в соответствии с леммой $f(\bar{\beta })=0$. Таким образом, если комплексное число является корнем полинома с вещественными коэффициентами, то корнем является и комплексно сопряженное число.

Из теоремы 1.3.2 следует, что полином $f(x)$ можно разложить на множители
$$f(x)=a_{0} (x-\alpha_{1} )(x-\alpha_{2} )\cdots (x-\alpha_{k} )(x-\beta_{1} )(x-\bar{\beta }_{1} )\cdots (x-\beta_{l} )(x-\bar{\beta }_{l} ).$$

Ясно, что $\varphi_{s} (x)=x-\alpha_{s} $, $s=\overline{1,k}$ {{---}} это неприводимые полиномы. Рассмотрим полином $\psi_{m} (x)=(x-\beta_{m} )(x-\bar{\beta }_{m} )=x^{2} -(\beta_{m} +\bar{\beta }_{m} )x+\beta_{m} \bar{\beta }_{m} =x^{2} -\gamma_{m}^{(1)} x+\gamma_{m}^{(2)}$. В силу свойств комплексных чисел $\gamma_{m}^{(1)} $ и $\gamma_{m}^{(2)} $ {{---}} это вещественные числа, поэтому $\psi_{m} (x)$, $m=\overline{1,l}$ неприводимы.
}}

Доказанная теорема позволяет утверждать, что в общем случае, когда у полинома $f(x)$ имеются кратные корни, то этот полином представляется в виде
\begin{equation} \label{eq_1_5_1}
f(x) = p_{1}^{k_{1} } (x)p_{2}^{k_{2} } (x)\cdots p_{l}^{k_{l} } (x),
\end{equation}
где $p_{i}^{k_{i} } (x)$ степень неприводимого полинома $p_{i} (x)$, причем $p_{i} (x)\ne p_{j} (x)$, когда $i\ne j$.

Заметим, что полином нечетной степени с вещественными коэффициентами всегда имеет хотя бы один вещественный корень, в то время как полином четной степени может и не иметь таких корней.

{{Теорема
|statement='''(Теорема Виета)'''

Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}$ {{---}} корни приведенного полинома $f(x)=x^{n} +a_{1} x^{n-1} +...+a_{n-1} x + a_{n}$. Тогда между коэффициентами этого полинома и его корнями существуют следующие зависимости:
\begin{align}
\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{n} =-a_{1},\\
\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{n-1} \alpha_{n} =a_{2},\\
\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3} +\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{4} +...+\alpha_{n-2} \alpha_{n-1} \alpha_{n} =-a_{3},\\
{\dots}{\dots}{\dots}{\dots} \\
\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n} =(-1)^{n} a_{n} .
\end{align}
|proof=Доказательство проведем методом математической индукции. При $n=1$ формулы очевидны, а при $n=2$ превращаются в хорошо знакомые формулы Виета для квадратного трехчлена. Допустим, что формулы справедливы при $n=k$. Докажем их справедливость для случая $n=k+1$.

В силу индукционного предположения любой полином $k$-й степени, имеющий корни $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{k}$, представим в виде
$$f(x)=x^{k} -(\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{k} )x^{k-1} +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k-1} \alpha_{k} )x^{k-2} +...+(-1)^{k} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k} .$$

Если $\alpha_{k+1}$ корень полинома степени $k+1$, то для этого полинома справедливо:
$$f(x)=[x^{k} -(\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{k} )x^{k-1} +$$
$$+(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k-1} \alpha_{k} )x^{k-2} +...+(-1)^{k} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k} ](x-\alpha_{k+1} )=$$
$$f(x)=x^{k+1} -(\alpha_{1} +...+\alpha_{k} +\alpha_{k+1} )x^{k} +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k} \alpha_{k+1} )x^{k-1} +...+(-1)^{k+1} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k+1},$$
что и требовалось доказать.
}}

Заглавная страница

СВ — Thu, 27 Aug 2026 17:05:22 GMT

Интерактивные примеры

← Предыдущая		Версия 17:05, 27 августа 2026
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника)
Строка 2:		Строка 2:

	[[Справка:Инструкции\| Инструкция для студентов]].		[[Справка:Инструкции\| Инструкция для студентов]].
			== Полезное ==
			* [https://apmath.info/gt/ Теория игр::Интерактивные примеры]
			* [https://tt.apmath.info/ Сводное расписание]

	== Математические дисциплины ==		== Математические дисциплины ==
	* [[Алгебра и геометрия]]		* [[Алгебра и геометрия]]