Просмотр кода страницы Матрицы и операции с ними

{{Определение 
|definition=Матрицей называется таблица элементов, состоящая из <math>m</math> строк и <math>n</math> столбцов.
}}
Элементы матриц часто обозначают одной буквой с двумя индексами $\alpha_{ij}$, первый из которых обозначает номер строки, а второй &#8212;  номер столбца. Таким образом, матрица
\begin{equation}
A = \left(
\begin{array}{cccc} 
\alpha_{11} & \alpha_{12} & ... & \alpha_{1n} \\ 
\alpha_{21} & \alpha_{22} & ... & \alpha_{2n} \\ 
... & ... & ... & ... \\ 
\alpha_{m1} & \alpha_{m2} & ... & \alpha_{mn} 
\end{array}
\right) = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}.
\end{equation}

Если строки матриц обозначить латинской буквой с индексом внизу $a_{i}$, $i=\overline{1,m}$, а столбцы &#8212;  с индексом вверху $a^{j}$, $j=\overline{1,n}$, то матрицу $A$ можно записать как $A = [a_{1}, a_2, ..., a_{m} ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$. 

Если необходимо подчеркнуть размер матрицы, то пишут $A=[m\times n]$.
{{Определение 
|definition=Матрица называется ''квадратной'', если число ее строк $m$ равно числу столбцов $n$.
}}
{{Определение 
|definition=''Диагональ'' квадратной матрицы $\alpha_{11}, \alpha_{22}, ..., \alpha_{nn}$ называется ''главной''.
}}
{{Определение 
|definition=Квадратная матрица называется ''диагональной'', если все отличные от нуля элементы этой матрицы стоят на главной диагонали.
}}

\begin{equation}
A = \left(\begin{array}{cccc} 
\alpha_{11} & 0 & ... & 0 \\ 
0 & \alpha_{22} & ... & 0 \\ 
... & ... & ... & ... \\ 
0 & 0 & ... & \alpha_{nn} 
\end{array}\right) = diag\{ \alpha_{11}, \alpha_{22}, ..., \alpha_{nn} \} .
\end{equation}

{{Определение 
|definition=Матрица $E=diag\{ 1, 1, ..., 1\} $ называется ''единичной''.
}}
{{Определение 
|definition=Квадратная матрица, у которой все элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю, называется ''нижней (верхней) треугольной''.
}}
{{Определение 
|definition=Две матрицы $A = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $, $B = \{ \beta_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $ одного и того же размера называются ''равными'' и обозначаются ${\bf A} = {\bf B}$, если у них равны соответствующие элементы, то есть $\alpha_{ij} = \beta_{ij}$, $i=\overline{1,m}$, $j=\overline{1,n}$.
}}
{{Определение 
|definition=Произведением матрицы ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $ на число $\gamma$ называется матрица $\gamma {\bf A} = \{ \gamma \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$.
}}
{{Определение 
|definition=Суммой двух матриц одного и того же размера называется матрица, каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов слагаемых.
}}

Таким образом, если ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$, ${\bf B} = \{ \beta_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$, то сумма ${\bf A} + {\bf B} = \{ \alpha_{ij} + \beta_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$.

== Свойства суммы матриц и произведения матрицы на число ==

# ${\bf A} + {\bf B} = {\bf B} + {\bf A}$
# $({\bf A} + {\bf B}) + {\bf C} = {\bf A} + ({\bf B} + {\bf C})$
# Матрица ${\bf 0}$, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и играет роль нуля: ${\bf A} + {\bf 0} = {\bf A}$
# Для любой матрицы ${\bf А}$ существует противоположная $-{\bf A} = (-1){\bf A}$, то есть ${\bf A}+(-{\bf A})=0$
# $(\gamma_{1} +\gamma_2 ){\bf A} = \gamma_{1} {\bf A} + \gamma_2 {\bf A}$
# $\gamma ({\bf A} + {\bf B}) = \gamma {\bf A} + \gamma {\bf B}$
# $\gamma_{1} (\gamma_2 {\bf A}) = (\gamma_{1} \gamma_2) {\bf A}$
# $1\cdot {\bf A} = {\bf A}$.

{{Определение 
|definition=''Произведением двух матриц'' ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $, ${\bf B} = \{ \beta_{jk} \}_{j,k=1}^{n,p}$ называется матрица ${\bf C} = \{ \gamma_{ik} \}_{i,k=1}^{m,p} = {\bf AB}$, где $\gamma_{ik} = \sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \beta_{jk}$.
}}
Непосредственно из данного определения следует, что 
$\gamma_{ik} = a_{i} b^{k} = (\alpha_{i1}  \alpha_{i2}  ... \alpha_{in} ) \left(\begin{array}{c} \beta_{1k} \\ \beta_{2k}  \\ \vdots  \\ \beta_{nk} \end{array}\right) = \alpha_{i1} \beta_{1k} + \alpha_{i2} \beta_{2k} + \cdots + \alpha_{in} \beta_{nk}.$ 
{{Замечание
|content=Для существования произведения двух матриц их размеры должны быть согласованы: количество столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.
}}
{{Замечание
|content=Произведение матриц не обладает свойством коммутативности, поскольку даже для квадратных матриц в общем случае ${\bf AB} \ne {\bf BA}$.
}}

{{Определение 
|definition=Матрицы ${\bf A}$ и ${\bf B}$, для которых ${\bf AB} = {\bf BA}$ называются ''коммутирующими''.
}}

Заметим, что если ${\bf A} = [a_{1}, a_2, ..., a_{m} ] = [m \times n]$, ${\bf B} = [b^{1}, b^{2}, ..., b^{p} ] = [n \times p]$, то произведение
${\bf AB} = {\bf A}[b^{1}, b^{2}, ..., b^{p}] = [{\bf A}b^{1}, {\bf A}b^{2}, ..., {\bf A}b^{p}], {\bf AB} = [a_{1}, a_2, ..., a_{m}]{\bf B} = [a_{1} {\bf B}, a_2 {\bf B}, ..., a_{m} {\bf B}].$

Пусть неизвестные $\xi_{1}, \xi_2, ..., \xi_{m}$ связаны с системой неизвестных $\eta_{1}, \eta_2, ..., \eta_n$ с помощью линейных соотношений
\begin{equation} 
\left\{\begin{array}{c} 
\xi_{1} = \alpha_{11} \eta_{1} + \alpha_{12} \eta_2 + \cdots \alpha_{1n} \eta_n, \\ 
\xi_2 = \alpha_{21} \eta_{1} + \alpha_{22} \eta_2 + \cdots \alpha_{2n} \eta_n, \\ 
\cdots \cdots \cdots  \\ 
\xi_{m} = \alpha_{m1} \eta_{1} + \alpha_{m2} \eta_2 + \cdots \alpha_{mn} \eta_n, 
\end{array}\right.  
\end{equation} 
где $\alpha_{ij} $ некоторые числа, $i=\overline{1,m}$, $j=\overline{1,n}$.

Переход от $\xi_{1}, \xi_2, ..., \xi_{m}$ к $\eta_{1}, \eta_2, ..., \eta_n$ по приведенным формулам называется ''линейным преобразованием'' неизвестных.

Введем матрицу ${\bf A} = [a_{1}, a_2, ..., a_{m} ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ] = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $ и столбцы
$x = \left(\begin{array}{c} 
\xi_{1}  \\ \xi_2  \\ \vdots  \\ \xi_{m} 
\end{array}\right)$, 
$y = \left(\begin{array}{c} 
\eta_{1} \\ \eta_2 \\ \vdots \\ \eta_n 
\end{array}\right)$. 
Тогда в матричной записи линейные преобразования можно представить в виде
\begin{equation}
x = {\bf A}y \Leftrightarrow \xi_{i} = \sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \eta_{j},  i=\overline{1,m} \Leftrightarrow \xi_{i} = a_{i} y, i=\overline{1,m} \Leftrightarrow  x = \sum_{j=1}^{n}a^{j} \eta_{j}.
\end{equation}

{{Лемма
|statement=Пусть $x={\bf A}y$, $y={\bf B}z$ {{---}}  два последовательных линейных преобразования переменных. Тогда матрица линейного преобразования переменных $x$ к переменным $z$ равна произведению матриц преобразований.
|proof= С одной стороны, очевидно, что $x={\bf A}({\bf B}z)$. С другой стороны,
$\xi_{i} = \sum_{k=1}^{n} {\alpha_{ik} \eta_{k} }  = \sum_{k=1}^{n}\alpha_{ik} \left( \sum_{j=1}^{p}\beta_{kj} \zeta_{j}  \right) = \sum_{j=1}^{p}\left( \sum_{k=1}^{n}\alpha_{ik} \beta_{kj}  \right) \zeta_{j} = \sum_{j=1}^{p}\gamma_{ij} \zeta_{j}, i=\overline{1,m}$,
где $\beta_{kj}$ {{---}}  элемент матрицы ${\bf B} = [n \times p]$, $\zeta_{j}$ {{---}}  элемент столбца $z$, $j=\overline{1,p}$.

По определению произведения матриц $\gamma_{ij}$ является элементом матрицы ${\bf AB}$, то есть $x=({\bf AB})z$. Таким образом, для любого столбца $z$ справедливо равенство $x={\bf A}({\bf B}z)=({\bf AB})z$.
}}

== Свойства операции произведения матриц ==

# $({\bf A}+{\bf B}){\bf C} = {\bf AC} + {\bf BC}$, ${\bf A}=[m\times n]$, ${\bf B}=[m\times n]$, ${\bf C}=[n\times p]$
# ${\bf A} ({\bf B}+{\bf C} ) = {\bf AB} + {\bf AC}$, ${\bf A}=[m\times n]$, ${\bf B}=[n\times p]$, ${\bf C}=[n\times p]$
# $({\bf AB}){\bf C}={\bf A}({\bf BC})$, ${\bf A}=[m\times n]$, ${\bf B}=[n\times p]$, ${\bf C}=[p\times s]$
# Если ${\bf E}_n =[n\times n]$, ${\bf E}_{m} =[m\times m]$ две единичные матрицы, то для любой ${\bf A}=[m\times n]$ справедливы равенства ${\bf AE}_n = {\bf E}_{m} {\bf A} = {\bf A}$.

{{Определение 
|definition=Произведение матриц $\underbrace{{\bf A}\cdot {\bf A}\cdots {\bf A}}_{k} = {\bf A}^{k}$ называется $k$-й степенью матрицы ${\bf A}$, причем ${\bf A}^{0} = {\bf E}$.
}}

{{Определение 
|definition=''Транспонированием матрицы'' называется замена ее столбцов строками, а строк {{---}} столбцами.
}}

Таким образом, если матрица
\begin{equation}
{\bf A} = \left(\begin{array}{cccc} 
\alpha_{11}  & \alpha_{12} & ... & \alpha_{1n} \\
\alpha_{21}  & \alpha_{22} & ... & \alpha_{2n} \\
... & ... & ... & ... \\ 
\alpha_{m1}  & \alpha_{m2} & ... & \alpha_{mn} 
\end{array}\right) = [m\times n], 
\end{equation}
то транспонированная матрица
\begin{equation}
{\bf A}^{T} = \left(\begin{array}{cccc} 
\alpha_{11} & \alpha_{21} & ... & \alpha_{m1} \\ 
\alpha_{12} & \alpha_{22} & ... & \alpha_{m2} \\ 
... & ... & ... & ... \\ 
\alpha_{1n} & \alpha_{2n} & ... & \alpha_{nm} 
\end{array}\right) = [n\times m].
\end{equation}
Следовательно, если ${\bf A}^{T} = \{ \delta_{ks} \}_{k,s=1}^{n,m} $, то $\delta_{ks} =\alpha_{sk} $, $s=\overline{1,m}$, $k=\overline{1,n}$.

Непосредственно из определения следует, что $\left({\bf A}^{T} \right)^{T} = {\bf A}$, $({\bf A}+{\bf B})^{T} = {\bf A}^{T} + {\bf B}^{T}$, $(\gamma {\bf A})^{T} =\gamma {\bf A}^{T}$.

{{Определение 
|definition=Матрица, равная своей транспонированной матрице, называется ''симметрической матрицей''.
}}

Таким образом, если выполнено равенство ${\bf А} = {\bf А}^{Т}$, то ${\bf А}$ &#8212;  симметрическая матрица и ее элементы симметричны относительно главной диагонали.

{{Теорема
|statement=Транспонированное произведение двух матриц равно произведению транспонированных сомножителей, взятых в обратном порядке, то есть $({\bf AB})^{T} = {\bf B}^{T} {\bf A}^{T}$.
|proof=Пусть ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $, ${\bf B} = \{ \beta_{jl} \}_{j,l=1}^{n,p}$. Тогда ${\bf AB} = \left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \beta_{jl}  \right\}_{i,l=1}^{m,p} =\left\{\gamma_{il} \right\}_{i,l=1}^{m,p}$. Допустим, что ${\bf B}^{T} = \{ \delta_{lj} \}_{l,j=1}^{p,n} $, ${\bf A}^{T} = \{ \theta_{ji} \}_{j,i=1}^{n,m} $, получаем ${\bf B}^{T} {\bf A}^{T} = \left\{\sum_{j=1}^{n}\delta_{lj} \theta_{ji}  \right\}_{l,i=1}^{p,m} = \{ \mu_{li} \}_{l,i=1}^{p,m}$. Но
$\mu_{li} = \sum_{j=1}^{n}{\delta_{lj} \theta_{ji} }  = \sum_{j=1}^{n}{\beta_{jl} \alpha_{ij} } = \sum_{j=1}^{n} {\alpha_{ij} \beta_{jl} }  =\gamma_{il},$ 
то есть окончательно имеем равенство ${\bf B}^{T} {\bf A}^{T} =({\bf AB})^{T} $.
}}