Просмотр кода страницы Последовательности в пространстве Rn

Пусть каждому натуральному <math>k</math> поставлен в соответствие вектор 
<math>{\bf x}^{(k)}=(x_1^{(k)},\ldots,x_n^{(k)})^T</math>.
Тогда говорят, что задана последовательность элементов в пространстве <math>R^n</math>: <math>\big\{ {\bf x}^{(k)}\big\}_{k=1}^{+\infty}</math>.

{{Определение
|definition=Точка <math>{\bf a}\in R^n</math> называется пределом последовательности <math>\big\{ {\bf x}^{(k)}\big\}</math> при <math>k\to+\infty</math> (пишут <math>{\bf a}=\lim\limits_{k\to+\infty}{\bf x}^{(k)}</math>), если
для любого <math>\varepsilon \gt 0</math> можно указать номер <math>K \gt 0</math>, такой что при всех <math>k\geq K</math> выполнено условие <math>\rho({\bf x}^{(k)},{\bf a}) \lt \varepsilon</math>.
}}

{{Теорема
|statement=Пусть <math>{\bf a}=(a_1,\ldots,a_n)^T</math>, <math>{\bf x}^{(k)}=(x_1^{(k)},\ldots,x_n^{(k)})^T</math>. Тогда 
<math>{\bf a}=\lim\limits_{k\to+\infty}{\bf x}^{(k)}</math>
тогда и только тогда, когда 
<math>a_i=\lim\limits_{k\to+\infty}x_i^{(k)},\quad i=1,\ldots,n.</math>
|proof=Доказательство теоремы вытекает из леммы (об эквивалентности в плане близости сферической и параллелепипедальной метрик). В самом деле, согласно этой лемме, имеем что требование
<math>\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i^{(k)}-a_i)^2}\to0\quad\hbox{при}\quad k\to+\infty</math>
эквивалентно требованию <math>\max_{i=1,\ldots,n}|x_i^{(k)}-a_i|\to0\quad\hbox{при}\quad k\to+\infty</math>.
}}

Таким образом, исследование сходимости последовательности в <math>R^n</math> сводится к исследованию сходимости одномерных числовых последовательностей.
Значит, вся теория, построенная ранее для одномерных числовых последовательностей, может быть распространена и на многомерный случай. 
Единственно, стоит заметить, что пространство <math>R^n</math> не упорядочено, т.е.
между его элементами не установлены операции отношения "<math>\lt</math>", "<math>\gt</math>", "<math>\leq</math>", "<math>\geq</math>". Поэтому теоремы из одномерного анализа, 
где используются эти операции, напрямую на многомерный случай не переносятся. 

{{Определение
|definition=Последовательность <math>\big\{ {\bf x}^{(k)}\big\}</math> называется ограниченной, если существует <math>M \geq 0</math>, такое что
<math>\rho({\bf x}^{(k)},{\bf0})\leq M</math> при всех <math>k=1,2,\ldots</math>. Здесь <math>{\bf 0}=(0,\ldots,0)^T</math> {{---}} нулевой элемент пространства <math>R^n</math>.
}}

Для пространства <math>R^n</math> верны следующие утверждения:
* Если предел последовательности существует, то он единственен.
* Если последовательность сходится, то она ограничена.
* Сходимость последовательности эквивалентна выполнению критерия Коши: для любого <math>\varepsilon \gt 0</math> можно найти такое <math>K \gt 0</math>, что для любых натуральных <math>k\geq K</math> и <math>p \geq 0</math> имеет место условие <math>\rho({\bf x}^{(k+p)},{\bf x}^{(k)}) \lt \varepsilon</math>. 
* Справедливы арифметические свойства предела.
* Если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу.
* Справедлива теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
* И т.д.