Просмотр кода страницы Пример задачи логики высказываний

Простые высказывания:

* $A = $ капиталовложения останутся постоянными;
* $B = $ возрастут правительственные расходы;
* $C = $ возрастет безработица;
* $D = $ налоги будут снижены.

На основе простых высказываний построим сложные высказывания:

* $\mathcal A = A\supset (B\vee C)$,
* $\mathcal B = \neg B\supset D$,
* $\mathcal C = (D\wedge A)\supset\neg C$.

Здесь высказывание $\mathcal A$ можно прочитать как "если капиталовложения останутся постоянными, то
возрастут правительственные расходы, или возрастет безработица" .
Аналогично можно читать и другие сложные высказывания.

{{Замечание
|content=
Для определенности здесь и далее простые высказывания будем обозначать большими латинскими буквами $A$, $B$, $C$,...,
а сложные высказывания округлыми большими латинскими буквами $\mathcal A$, $\mathcal B$, $\mathcal C$,...
}}

Здесь $A$, $B$, $C$ {{---}} пропозициональные буквы, $\mathcal A$, $\mathcal B$, $\mathcal C$ {{---}} пропозициональные формы,
построенные из пропозициональных букв с помощью связок $\{\neg, \vee, \wedge, \supset, \equiv\}$ по правилам построения формул алгебры логики.

Рассмотрим следующее рассуждение: 
<math>
\begin{array}{cl}
\begin{array}{c}
\mathcal A, \mathcal B, \mathcal C, A
\\
\hline
B
\end{array}
 & 
\begin{array}{l}
- \textrm{ посылки}
\\
- \textrm{ заключение}
\end{array}
\end{array}
</math>

{{Определение
|definition= 
Высказывание $\mathcal A$ логически влечет высказывание $\mathcal B$ ($\mathcal B$ {{---}} следствие $\mathcal A$), если пропозициональная форма $\mathcal A \supset \mathcal B$ {{---}} тавтология.
}}

{{Определение
|definition=
$\mathcal A$ логически эквивалентно $\mathcal B$, если  $\mathcal A\equiv \mathcal B$ {{---}} тавтология.
}}

Итак, нам необходимо проверить, будет ли тавтологией  следующая пропозициональная форма:
<math>
\underbrace{
\mathcal A\wedge \mathcal B\wedge \mathcal C\wedge A
}_{\textrm{конъюнкция посылок}} 
\supset \underbrace{B}_{\textrm{заключение}}
=1  ?
</math>

Прежде чем перейти непосредственно к  вычислению этой формы, необходимо выполнить предварительную проверку непротиворечивости посылок.
Если окажется, что посылки в нашем рассуждении не могут быть истинными в одно и то же время, то, исходя из предположения, что все они выполняются, мы не сможем получить достоверных результатов.

Кроме того, по определению импликации, если $\mathcal A=0$, 
то $\mathcal A\supset \mathcal B=1$ для любых значений $\mathcal B$,
что совсем не будет свидетельствовать о правильном рассуждении.
Это согласуется с одним из интуитивных логических законов:
исходя из ложных посылок можно вывести как истинное, так и ложное заключение.

Проверим, выполнима ли формула  $\mathcal A\wedge \mathcal B\wedge \mathcal C\wedge A$. Такую проверку для посылок нужно выполнять каждый раз.

<math>
\begin{align}
&(A\supset(B\vee C))(\overline B\supset D)(DA\supset\overline C)A =
\\
&=
(\overline A\vee B\vee C)(B\vee D)
(\overline D\vee \overline A \vee \overline C)A = 
\\
&=
(\overline A B\vee \overline A D \vee B \vee B D \vee C B\vee C D)
(\overline D A\vee \overline C A)=
\\
&=
\overline A B \overline D A 
\vee \overline A B \overline C A
\vee \overline A D \overline D A
\vee \overline A D \overline C A
\vee B \overline D A 
\vee B \overline C A 
\vee B D \overline D A
\vee B D \overline C A
\vee C B \overline D A
\vee C B \overline C A
\vee C D \overline D A
\vee C D \overline C A
=
\\
&=
B \overline D A
\vee B \overline C A \vee B D \overline C A
\vee C B \overline D A
 = 
A B \overline D \vee A B \overline C 
\end{align}
</math>

Легко убедиться, что, например, на наборе значений $A=1$, 
$B=1$, $C=1$, $D=0$ полученное выражение обращается в единицу.
Таким образом, $\mathcal A\wedge \mathcal B\wedge \mathcal C\wedge A$
{{---}} выполнимая функция, т.е. посылки непротиворечивы.

[[Файл:p46-01-premises-consistency.svg|frame|none|900px|alt=Посылки задачи, три набора с истинными посылками и вывод о тавтологии|Рис. 1. Посылки истинны ровно на трёх наборах, и на всех трёх <math>B=1</math> — поэтому формула «конъюнкция посылок <math>\supset B</math>» является тавтологией. Проверять остальные пять наборов не нужно: там посылки ложны.]]

Вычислим теперь значение выражения
$\mathcal A\wedge \mathcal B\wedge \mathcal C\wedge A \supset B$,
воспользовавшись результатами предыдущих выкладок:

<math>
\begin{align}
&(A B \overline D \vee A B \overline C) \supset B =
\overline{A B \overline D \vee A B \overline C} \vee B =\\
&=
\overline{A B \overline D} \cdot \overline{A B \overline C}\vee B =
(\overline A \vee \overline B \vee D)
(\overline A\vee \overline B\vee C)\vee B =
\\
&=
\overline A \vee \overline A \overline B \vee \overline A C\vee \overline B
\vee \overline B C\vee D\overline A \vee D\overline B \vee
D C \vee B=\\
&=(\overline A\vee \overline B\vee DC)\vee B= 1
\end{align}
</math>

Исследуемая формула оказалась тавтологией.
Значит, высказывание $B$ действительно оказалось логическим следствием 
посылок $\mathcal A$, $\mathcal B$, $\mathcal C$ и $A$.

При этом мы нигде не обсуждаем истинность самих высказываний 
$\mathcal A$, $\mathcal B$, $\mathcal C$, $A$; возможно они неверны.
Тем не менее, если они истинны, то верным окажется и заключение.

Заметим, что мы рассматривали истинность только логики рассуждений независимо от 
смысла, который мы приписываем элементарным высказываниям $A$, $B$, $C$, $D$.
Если мы определим отличные значения для элементарных высказываний, истинность 
или ложность логики рассуждений останется неизменной.
Если при новых определениях будут верны посылки, верным будет и заключение.

Конспект: [[Дискретная математика]]