Аксиомы ZFC - История изменений

СВ: /* Аксиомы об упорядоченности множеств */

2026-10-24T09:34:28Z

Аксиомы об упорядоченности множеств

← Предыдущая		Версия 09:34, 24 октября 2026
Строка 83:		Строка 83:
	<math>\forall a(a\neq \varnothing \wedge \forall b(b\in a\Rightarrow b\neq \varnothing) \wedge \forall b_1\forall b_2(b_1\neq b_2 \wedge \{b_1,b_2\}\subseteq a \Rightarrow		<math>\forall a(a\neq \varnothing \wedge \forall b(b\in a\Rightarrow b\neq \varnothing) \wedge \forall b_1\forall b_2(b_1\neq b_2 \wedge \{b_1,b_2\}\subseteq a \Rightarrow
	b_1\cap b_2=\varnothing) \Rightarrow \exists d\forall b (b\in a \Rightarrow \exists c(b\cap d=\{c\})))</math>		b_1\cap b_2=\varnothing) \Rightarrow \exists d\forall b (b\in a \Rightarrow \exists c(b\cap d=\{c\})))</math>

			[[Файл:p08-01-choice-axiom.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Три непересекающихся множества, из каждого выбран один элемент; выбранные элементы образуют делегацию d\|Рис. 1. Из каждого множества <math>b_i</math> попарно непересекающегося семейства выбирается по одному элементу <math>c_i</math>; вместе они образуют делегацию <math>d</math>, пересекающую каждое <math>b_i</math> ровно по одному элементу.]]

	Конспект: [[Дискретная математика]]		Конспект: [[Дискретная математика]]

СВ: /* Аксиомы об упорядоченности множеств */

2026-10-09T19:13:14Z

Аксиомы об упорядоченности множеств

← Предыдущая		Версия 19:13, 9 октября 2026
Строка 83:		Строка 83:
	<math>\forall a(a\neq \varnothing \wedge \forall b(b\in a\Rightarrow b\neq \varnothing) \wedge \forall b_1\forall b_2(b_1\neq b_2 \wedge \{b_1,b_2\}\subseteq a \Rightarrow		<math>\forall a(a\neq \varnothing \wedge \forall b(b\in a\Rightarrow b\neq \varnothing) \wedge \forall b_1\forall b_2(b_1\neq b_2 \wedge \{b_1,b_2\}\subseteq a \Rightarrow
	b_1\cap b_2=\varnothing) \Rightarrow \exists d\forall b (b\in a \Rightarrow \exists c(b\cap d=\{c\})))</math>		b_1\cap b_2=\varnothing) \Rightarrow \exists d\forall b (b\in a \Rightarrow \exists c(b\cap d=\{c\})))</math>

			Конспект: [[Дискретная математика]]

СВ: /* Аксиомы об упорядоченности множеств */

2026-10-09T19:11:30Z

Аксиомы об упорядоченности множеств

← Предыдущая		Версия 19:11, 9 октября 2026
Строка 76:		Строка 76:
	9. '''Аксиома основания.''' Каждое непустое множество $s$ содержит элемент $a$ такой, что $s\cap a=\varnothing$.		9. '''Аксиома основания.''' Каждое непустое множество $s$ содержит элемент $a$ такой, что $s\cap a=\varnothing$.
	Другими словами, в любом семействе множеств $s$ есть, по меньшей мере, одно множество $a$, каждый элемент которого не принадлежит данному семейству $s$.		Другими словами, в любом семействе множеств $s$ есть, по меньшей мере, одно множество $a$, каждый элемент которого не принадлежит данному семейству $s$.
	$ \forall s (\exists x ( x\in s) \Rightarrow \exists a(a\in s \wedge \neg \exists z(z\in a \wedge z\in s)$.
			<math> \forall s (\exists x ( x\in s) \Rightarrow \exists a(a\in s \wedge \neg \exists z(z\in a \wedge z\in s)</math>

	10. '''Аксиома выбора.''' Для любого семейства $a$ попарно непересекающихся непустых множеств существует множество $d$ (делегация) такое, что, каково бы ни было множество $b$ данного семейства, множество $b\cap d$ состоит из одного элемента.		10. '''Аксиома выбора.''' Для любого семейства $a$ попарно непересекающихся непустых множеств существует множество $d$ (делегация) такое, что, каково бы ни было множество $b$ данного семейства, множество $b\cap d$ состоит из одного элемента.
	$\forall a(a\neq \varnothing \wedge \forall b(b\in a\Rightarrow b\neq \varnothing) \wedge \forall b_1\forall b_2(b_1\neq b_2 \wedge \{b_1,b_2\}\subseteq a \Rightarrow $
	~~$\Rightarrow~~ b_1\cap b_2=\varnothing) \Rightarrow \exists d\forall b (b\in a \Rightarrow \exists c(b\cap d=\{c\})))$.		<math>\forall a(a\neq \varnothing \wedge \forall b(b\in a\Rightarrow b\neq \varnothing) \wedge \forall b_1\forall b_2(b_1\neq b_2 \wedge \{b_1,b_2\}\subseteq a \Rightarrow
			b_1\cap b_2=\varnothing) \Rightarrow \exists d\forall b (b\in a \Rightarrow \exists c(b\cap d=\{c\})))</math>

СВ: /* Аксиомы об образовании множеств */

2026-10-09T19:10:48Z

Аксиомы об образовании множеств

СВ: /* Аксиомы о существовании множеств */

2026-10-09T19:10:31Z

Аксиомы о существовании множеств

← Предыдущая		Версия 19:10, 9 октября 2026
Строка 16:		Строка 16:

	2. '''Аксиома пустого множества.''' Существует множество $e$ без единого элемента. Это множество обычно обозначается $\{\}$ или $\varnothing$.		2. '''Аксиома пустого множества.''' Существует множество $e$ без единого элемента. Это множество обычно обозначается $\{\}$ или $\varnothing$.
	$\exists e\forall a(a\notin e).$
			<math>\exists e\forall a(a\notin e)</math>

	3. '''Аксиома бесконечности.''' Множество называется индуктивным, если оно		3. '''Аксиома бесконечности.''' Множество называется индуктивным, если оно
Строка 26:		Строка 27:
	Аксиома бесконечности утверждает, что индуктивные множества существуют.		Аксиома бесконечности утверждает, что индуктивные множества существуют.

	$ \exists \omega ((\varnothing \in \omega) \wedge \forall x (x\in \omega \Rightarrow (x\cup\{x\})\in \omega)).$		<math> \exists \omega ((\varnothing \in \omega) \wedge \forall x (x\in \omega \Rightarrow (x\cup\{x\})\in \omega))</math>

	То есть существует по крайней мере одно бесконечное множество:		То есть существует по крайней мере одно бесконечное множество:
	$ \{\varnothing, \varnothing \cup \{\varnothing\}, \varnothing \cup \{\varnothing\}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing\}\}, ... \}.$
			<math> \{\varnothing, \varnothing \cup \{\varnothing\}, \varnothing \cup \{\varnothing\}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing\}\}, ... \}</math>

	== Аксиомы об образовании множеств ==		== Аксиомы об образовании множеств ==

СВ: /* Критерий равенства множеств */

2026-10-09T19:09:44Z

Критерий равенства множеств

← Предыдущая		Версия 19:09, 9 октября 2026
Строка 10:		Строка 10:

	1. '''Аксиома объёмности.''' Два множества $a$ и $b$ равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.		1. '''Аксиома объёмности.''' Два множества $a$ и $b$ равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.
	$\forall a\forall b ((a=b)\Leftrightarrow \forall c(c\in a \Leftrightarrow c\in b)).$
			<math>\forall a\forall b ((a=b)\Leftrightarrow \forall c(c\in a \Leftrightarrow c\in b))</math>

	== Аксиомы о существовании множеств ==		== Аксиомы о существовании множеств ==

СВ: Новая страница: «Одним из способов не допустить появление парадоксов является введение непротиворечиво...»

2026-10-09T19:09:15Z

Новая страница: «Одним из способов не допустить появление парадоксов является введение непротиворечиво...»

Новая страница

Одним из способов не допустить появление парадоксов является введение непротиворечивой формализации. То есть, предлагается ввести такую систему аксиом теории множеств, что никакие выведенные из нее теоремы не будут приводить к противоречиям.

Одной из таких систем аксиом является '''теория Цермело-Френкеля (ZF)'''.

К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют '''системой Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC)'''.

Ниже приведен список аксиом ZFC с кратким описанием и формальной записью на языке логики первого порядка.

== Критерий равенства множеств ==

1. '''Аксиома объёмности.''' Два множества $a$ и $b$ равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.
$\forall a\forall b ((a=b)\Leftrightarrow \forall c(c\in a \Leftrightarrow c\in b)).$

== Аксиомы о существовании множеств ==

2. '''Аксиома пустого множества.''' Существует множество $e$ без единого элемента. Это множество обычно обозначается $\{\}$ или $\varnothing$.
$\exists e\forall a(a\notin e).$

3. '''Аксиома бесконечности.''' Множество называется индуктивным, если оно

а) содержит пустое множество и

б) содержит последователь (то есть элемент $a\cup\{a\}$) каждого своего элемента.

Аксиома бесконечности утверждает, что индуктивные множества существуют.

$ \exists \omega ((\varnothing \in \omega) \wedge \forall x (x\in \omega \Rightarrow (x\cup\{x\})\in \omega)).$

То есть существует по крайней мере одно бесконечное множество:
$ \{\varnothing, \varnothing \cup \{\varnothing\}, \varnothing \cup \{\varnothing\}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing\}\}, ... \}.$

== Аксиомы об образовании множеств ==

4. '''Аксиома пары.''' Для любых множеств $a$ и $b$ существует множество $c$ такое, что $a$ и $b$ являются его единственными элементами.
Множество $c$ обозначается $\{a,b\}$ и называется неупорядоченной парой $a$ и $b$.
Если $a = b$, то $c$ состоит из одного элемента.
<math> \forall a\forall b\exists c\forall d ((d\in c) \Leftrightarrow (d=a \vee d=b)).</math>

5. '''Аксиома множества подмножеств.'''
Для любого множества $a$ существует множество $b$,
состоящее из тех и только тех элементов, которые являются подмножествами множества $a$.
Множество подмножеств множества $a$ обозначается $\mathcal{P}(a)$ или $2^a$.
<math> \forall a\exists b\forall c ((c\in b)\Leftrightarrow \forall d(d\in c\Rightarrow d\in a)).</math>

Если ввести отношение подмножества $\subseteq$, то эту формулу можно упростить.
<math> \forall a\exists b\forall c ((c\in b)\Leftrightarrow (c\subseteq a)).</math>

6. '''Аксиома объединения.''' Для любого семейства $a$ множеств существует множество $b=\cup a$, называемое объединением множества $a$,
состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества $a$.
<math> \forall a\exists b \forall c ((c\in b)\Leftrightarrow\exists d(d\in a \wedge c\in d)).</math>

7. '''Схема выделения.''' Любому множеству $a$ и свойству $\varphi$ отвечает множество $b$,
элементами которого являются те и только те элементы $a$, которые обладают свойством $\varphi$. Схема выделения содержит счётное количество аксиом,
так как каждая формула $\varphi(x)$ логики первого порядка порождает аксиому.
<math> \forall a\exists b\forall c ((c\in b)\Leftrightarrow (c\in a \wedge \varphi(c))).</math>

8. '''Схема подстановки.'''
Пусть $\varphi(x,y)$ {{---}} такая формула, что при любом $x_0$ из множества $X$ существует,
и притом единственный, объект $y_0$ такой, что выражение $\varphi(x_0,y_0)$ истинно.
Тогда объекты $c$, для каждого из которых существует $d$ из $X$ такой,
что $\varphi(d,c)$ истинно, образуют множество. Схема подстановки содержит
счётное количество аксиом, так как каждая подходящая формула $\varphi(x,y)$ порождает аксиому.
<math> \forall x\exists ! y(\varphi(x,y))\Rightarrow \forall a\exists b\forall c((c\in b)\Leftrightarrow \exists d(d\in a\wedge \varphi(d,c))).</math>

== Аксиомы об упорядоченности множеств ==

9. '''Аксиома основания.''' Каждое непустое множество $s$ содержит элемент $a$ такой, что $s\cap a=\varnothing$.
Другими словами, в любом семействе множеств $s$ есть, по меньшей мере, одно множество $a$, каждый элемент которого не принадлежит данному семейству $s$.
$ \forall s (\exists x ( x\in s) \Rightarrow \exists a(a\in s \wedge \neg \exists z(z\in a \wedge z\in s)$.

10. '''Аксиома выбора.''' Для любого семейства $a$ попарно непересекающихся непустых множеств существует множество $d$ (делегация) такое, что, каково бы ни было множество $b$ данного семейства, множество $b\cap d$ состоит из одного элемента.
$\forall a(a\neq \varnothing \wedge \forall b(b\in a\Rightarrow b\neq \varnothing) \wedge \forall b_1\forall b_2(b_1\neq b_2 \wedge \{b_1,b_2\}\subseteq a \Rightarrow $
$\Rightarrow b_1\cap b_2=\varnothing) \Rightarrow \exists d\forall b (b\in a \Rightarrow \exists c(b\cap d=\{c\})))$.

← Предыдущая		Версия 19:10, 9 октября 2026
Строка 38:		Строка 38:
	Множество $c$ обозначается $\{a,b\}$ и называется неупорядоченной парой $a$ и $b$.		Множество $c$ обозначается $\{a,b\}$ и называется неупорядоченной парой $a$ и $b$.
	Если $a = b$, то $c$ состоит из одного элемента.		Если $a = b$, то $c$ состоит из одного элемента.

	<math> \forall a\forall b\exists c\forall d ((d\in c) \Leftrightarrow (d=a \vee d=b)).</math>		<math> \forall a\forall b\exists c\forall d ((d\in c) \Leftrightarrow (d=a \vee d=b)).</math>

Строка 44:		Строка 45:
	состоящее из тех и только тех элементов, которые являются подмножествами множества $a$.		состоящее из тех и только тех элементов, которые являются подмножествами множества $a$.
	Множество подмножеств множества $a$ обозначается $\mathcal{P}(a)$ или $2^a$.		Множество подмножеств множества $a$ обозначается $\mathcal{P}(a)$ или $2^a$.

	<math> \forall a\exists b\forall c ((c\in b)\Leftrightarrow \forall d(d\in c\Rightarrow d\in a)).</math>		<math> \forall a\exists b\forall c ((c\in b)\Leftrightarrow \forall d(d\in c\Rightarrow d\in a)).</math>

	Если ввести отношение подмножества $\subseteq$, то эту формулу можно упростить.		Если ввести отношение подмножества $\subseteq$, то эту формулу можно упростить.

	<math> \forall a\exists b\forall c ((c\in b)\Leftrightarrow (c\subseteq a)).</math>		<math> \forall a\exists b\forall c ((c\in b)\Leftrightarrow (c\subseteq a)).</math>

	6. '''Аксиома объединения.''' Для любого семейства $a$ множеств существует множество $b=\cup a$, называемое объединением множества $a$,		6. '''Аксиома объединения.''' Для любого семейства $a$ множеств существует множество $b=\cup a$, называемое объединением множества $a$,
	состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества $a$.		состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества $a$.

	<math> \forall a\exists b \forall c ((c\in b)\Leftrightarrow\exists d(d\in a \wedge c\in d)).</math>		<math> \forall a\exists b \forall c ((c\in b)\Leftrightarrow\exists d(d\in a \wedge c\in d)).</math>

Строка 56:		Строка 60:
	элементами которого являются те и только те элементы $a$, которые обладают свойством $\varphi$. Схема выделения содержит счётное количество аксиом,		элементами которого являются те и только те элементы $a$, которые обладают свойством $\varphi$. Схема выделения содержит счётное количество аксиом,
	так как каждая формула $\varphi(x)$ логики первого порядка порождает аксиому.		так как каждая формула $\varphi(x)$ логики первого порядка порождает аксиому.

	<math> \forall a\exists b\forall c ((c\in b)\Leftrightarrow (c\in a \wedge \varphi(c))).</math>		<math> \forall a\exists b\forall c ((c\in b)\Leftrightarrow (c\in a \wedge \varphi(c))).</math>

Строка 64:		Строка 69:
	что $\varphi(d,c)$ истинно, образуют множество. Схема подстановки содержит		что $\varphi(d,c)$ истинно, образуют множество. Схема подстановки содержит
	счётное количество аксиом, так как каждая подходящая формула $\varphi(x,y)$ порождает аксиому.		счётное количество аксиом, так как каждая подходящая формула $\varphi(x,y)$ порождает аксиому.

	<math> \forall x\exists ! y(\varphi(x,y))\Rightarrow \forall a\exists b\forall c((c\in b)\Leftrightarrow \exists d(d\in a\wedge \varphi(d,c))).</math>		<math> \forall x\exists ! y(\varphi(x,y))\Rightarrow \forall a\exists b\forall c((c\in b)\Leftrightarrow \exists d(d\in a\wedge \varphi(d,c))).</math>