Алгебраические дополнения и миноры - История изменений

СВ в 13:34, 25 октября 2026

2026-10-25T13:34:47Z

← Предыдущая		Версия 13:34, 25 октября 2026
Строка 16:		Строка 16:

	Алгебраическое дополнение элемента $\alpha_{ij}$ по построению не зависит от элементов $i$-й строки и $j$-го столбца матрицы $\bf A$.		Алгебраическое дополнение элемента $\alpha_{ij}$ по построению не зависит от элементов $i$-й строки и $j$-го столбца матрицы $\bf A$.

			[[Файл:p02-05-01-minor-cofactor.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Вычёркивание второй строки и третьего столбца матрицы 3×3; минор Δ23 и знак минус\|Рис. 1. Чтобы получить <math>A_{23}</math>, вычёркиваем строку 2 и столбец 3: остаётся минор <math>\Delta_{23}</math>. Сумма индексов 5 нечётна, поэтому <math>A_{23}=-\Delta_{23}</math>; знаки в клетках чередуются.]]

	{{Теорема		{{Теорема
	\|statement=Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, то есть		\|statement=Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, то есть
Строка 127:		Строка 130:
	\|proof=Из формулы (3) следует, что сумма произведений элементов строки $a_{j}$ на алгебраические дополнения элементов строки $a_{i}$ равна определителю с двумя одинаковыми строками, равными $a_{j}$. Поэтому <math>\sum_{k=1}^{n}\alpha_{jk} A_{ik} = 0.</math>		\|proof=Из формулы (3) следует, что сумма произведений элементов строки $a_{j}$ на алгебраические дополнения элементов строки $a_{i}$ равна определителю с двумя одинаковыми строками, равными $a_{j}$. Поэтому <math>\sum_{k=1}^{n}\alpha_{jk} A_{ik} = 0.</math>
	}}		}}
			[[Файл:p02-05-02-expansion-alien-row.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Разложение по второй строке и обнуление при подстановке элементов первой строки\|Рис. 2. Разложение по строке 2 даёт <math>\det A</math>; те же дополнения <math>A_{21},A_{22},A_{23}</math> с элементами строки 1 дают нуль, потому что это определитель с двумя одинаковыми строками.]]

	{{Определение		{{Определение
	\|definition=''Минором'' порядка $n-1$ называется определитель, который получается из определителя квадратной матрицы $A=[n\times n]$ после вычеркивания одной строки и одного столбца.		\|definition=''Минором'' порядка $n-1$ называется определитель, который получается из определителя квадратной матрицы $A=[n\times n]$ после вычеркивания одной строки и одного столбца.
Строка 171:		Строка 176:
	\end{array}\right\| = (-1)^{i+j} \Delta_{ij}.</math>		\end{array}\right\| = (-1)^{i+j} \Delta_{ij}.</math>
	}}		}}


	----		----

	Конспект: [[Алгебра и геометрия]]		Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

СВ в 16:40, 12 октября 2026

2026-10-12T16:40:12Z

← Предыдущая		Версия 16:40, 12 октября 2026
Строка 151:		Строка 151:
	= \Delta_{11}.</math>		= \Delta_{11}.</math>

	Рассмотрим теперь алгебраическое дополнение ~~\eqref{EQ__2_5_1}~~. Поменяем последовательно строку $a_{i} $ с $a_{i-1}$, затем с $a_{i-2} $ и так далее Проделаем аналогичные операции со столбцами: $a^{j} $ меняем местами с $a^{j-1}$, потом с $a^{j-2} $ и так далее Всего местами меняются $(j-1)+(i-1)$ строк и столбцов. Поэтому ровно $i+j-2$ раза будет меняться знак определителя, поэтому		Рассмотрим теперь алгебраическое дополнение (1). Поменяем последовательно строку $a_{i} $ с $a_{i-1}$, затем с $a_{i-2} $ и так далее Проделаем аналогичные операции со столбцами: $a^{j} $ меняем местами с $a^{j-1}$, потом с $a^{j-2} $ и так далее Всего местами меняются $(j-1)+(i-1)$ строк и столбцов. Поэтому ровно $i+j-2$ раза будет меняться знак определителя, поэтому

	<math>A_{ij} =(-1)^{i+j-2} \left\|\begin{array}{ccccccc}		<math>A_{ij} =(-1)^{i+j-2} \left\|\begin{array}{ccccccc}

СВ в 16:39, 12 октября 2026

2026-10-12T16:39:47Z

Внесённые изменения

СВ в 19:27, 23 ноября 2021

2021-11-23T19:27:40Z

← Предыдущая		Версия 19:27, 23 ноября 2021
Строка 1:		Строка 1:
	==Полезные ссылки:==		== Полезные ссылки ==
	*[https://www.youtube.com/watch?v=t0MSqnTMpAk&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=14 KhanAcademyRussian - Матрица миноров и матрица алгебраических дополнений]		* [https://www.youtube.com/watch?v=t0MSqnTMpAk&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=14 KhanAcademyRussian: Матрица миноров и матрица алгебраических дополнений]

T.o.r.t.i.k1 в 18:31, 23 ноября 2021

2021-11-23T18:31:32Z

← Предыдущая		Версия 18:31, 23 ноября 2021
Строка 1:		Строка 1:
	Полезные ссылки:		==Полезные ссылки:==
	*[https://www.youtube.com/watch?v=t0MSqnTMpAk&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=14 KhanAcademyRussian - Матрица миноров и матрица алгебраических дополнений]		*[https://www.youtube.com/watch?v=t0MSqnTMpAk&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=14 KhanAcademyRussian - Матрица миноров и матрица алгебраических дополнений]

T.o.r.t.i.k1: Новая страница: «Полезные ссылки: *[https://www.youtube.com/watch?v=t0MSqnTMpAk&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=14 KhanAcademyRussian - Матрица...»

2021-11-23T18:22:36Z

Новая страница: «Полезные ссылки: *[https://www.youtube.com/watch?v=t0MSqnTMpAk&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=14 KhanAcademyRussian - Матрица...»

Новая страница

Полезные ссылки:
*[https://www.youtube.com/watch?v=t0MSqnTMpAk&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=14 KhanAcademyRussian - Матрица миноров и матрица алгебраических дополнений]