СВ: Новая страница: «{{Определение |definition= Аффинное пространство {{---}} это множество $A$ элементов произвольной...»

2026-11-04T18:35:54Z

Новая страница: «{{Определение |definition= Аффинное пространство {{---}} это множество $A$ элементов произвольной...»

Новая страница

{{Определение
|definition=
Аффинное пространство {{---}} это множество $A$ элементов произвольной природы, называемых точками, которому сопоставлены:

1) линеал $L$, называемый присоединенным к $A$;

2) соответствие, по которому любым двум точкам $A, B \in A$ отвечает некоторый элемент $AB \in L$ с началом в $A$ и с концом в $B$;

При этом выполняются следующие две аксиомы:

10. Для произвольной точки $A \in A$ и любого вектора ${\rm {\bf u} } \in L$ существует единственная точка $B \in A$ такая, что $AB = {\rm {\bf u} }$.

11. Для произвольных трех точек $А, В, С$ имеет место равенство $AB + BC = AC$.
}}

[[Файл:p03-08-01-affine-axioms.svg|frame|none|800px|alt=Слева по точке A и вектору u строится единственная точка B; справа для точек A, B, C выполнено AB + BC = AC|Рис. 1. Аксиома 10: по точке <math>A</math> и вектору <math>u</math> точка <math>B</math> с <math>AB = u</math> находится однозначно. Аксиома 11: для любых точек <math>A, B, C</math> выполняется <math>AB + BC = AC</math>.]]

Размерность аффинного пространства $A$ совпадает с размерностью присоединенного с $A$ линеала $L$ и обозначается символом $dim(A)$. Если $dim(A) = n$, то аффинное пространство называют $n$-мерным и используют обозначение $A^{ n}$.

Приведем примеры аффинных пространств.

Рассмотрим трехмерное линейное пространство $V^3$. Фиксируем некоторую точку $О$ и будем рассматривать всевозможные радиус-векторы с началом в точке $О$. Под точками аффинного пространства $A^{ 3}$ с присоединенным линеалом $V^3$, будем понимать концы соответствующих радиус-векторов, причем двум точкам $А$ и $В$ сопоставляется вектор $\mathop {AB}\limits^ \to = \vec{r}_B - \vec{r}_A \in V^3$. Заметим, что при такой формализации мы отождествляем точку $А$ с радиусом-вектором.

[[Файл:p03-08-02-radius-vectors.svg|frame|none|800px|alt=Точка O, радиус-векторы rA и rB и вектор AB = rB − rA|Рис. 2. С фиксированным началом <math>O</math> каждая точка получает радиус-вектор: <math>A \mapsto r_A = OA</math>, <math>B \mapsto r_B = OB</math>. Тогда <math>AB = r_B - r_A</math>: разность двух точек — вектор.]]

----

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Аффинные пространства - История изменений

СВ: Новая страница: «{{Определение |definition= Аффинное пространство {{---}} это множество $A$ элементов произвольной...»