СВ: Новая страница: «{{Определение |definition= Упорядоченная совокупность линейно независимых векторов ${\bf e}_1, {\bf...»

2026-11-04T11:35:20Z

Новая страница: «{{Определение |definition= Упорядоченная совокупность линейно независимых векторов ${\bf e}_1, {\bf...»

Новая страница

{{Определение
|definition=
Упорядоченная совокупность линейно независимых векторов ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n$ линеала $L$ называется '''базисом линеала''',
если для каждого вектора $x \in L$ найдутся вещественные числа $\gamma_i$, $i = \overline {1,n}$, что
<math>
x = \sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i {\bf e}_i}.
</math>
}}
Последнее равенство называют разложением вектора $x$ по базису ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n$.

На основании данного определения можно утверждать, что в векторном пространстве $V^1$ произвольный ненулевой вектор может быть взят в качестве базисного, в пространстве $V^2$ упорядоченная пара неколлинеарных векторов образует базис, а в $V^3$ упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис.

В пространстве $R^n$ векторы ${\bf u}_1 = (1,0,..., 0)$, ${\bf u}_2 = (0,1,..., 0)$, ..., ${\bf u}_n = (0,0,..., 1)$ образуют базис, поскольку они линейно независимы и любой вектор $x = (\gamma_1, \gamma_2, ..., \gamma_n ) \in R^n$ представим в виде ${\bf x} = \gamma_1 {\bf u}_1 + \gamma_2 {\bf u}_2 + ... + \gamma_n {\bf u}_n$.

Отметим, что в определении базиса порядок элементов существенен, так как, переставляя элементы базиса, мы получаем снова базис, но уже другой.
{{Определение
|definition=
Числа $\gamma_i$, $i = \overline {1,n} $, фигурирующие в разложении элемента $x$ линеала $L$ по заданному базису ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n$ называются '''координатами''' данного вектора относительно рассматриваемого базиса.
}}
{{Теорема
|statement=Координаты всякого элемента линеала $L$ относительно заданного базиса определяются однозначно.
|proof=Допустим, что ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $ {{---}} базис линеала $L$. Пусть для некоторого вектора $x$ наряду с разложением $x = \sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i {\bf e}_i}$ существует еще и другое разложение $x = \sum\limits_{i = 1}^n {\mu _i {\bf e}_i}$. Но тогда справедливо равенство ${\bf 0} = \sum\limits_{i = 1}^n {(\gamma _i - \mu _i ) {\bf e}_i}$. Базисные элементы ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n$ линейно независимы, поэтому для всех $i = \overline {1,n} $ имеем $\gamma_i = \mu_i$.
}}

[[Файл:p03-05-01-basis-coordinates.svg|thumb|800px|alt=Слева разложение x = 2e1 + e2 по базису e1, e2; справа другой базис f1, f2 и координаты (1; 1)|Рис. 1. Слева <math>x = 2e_1 + e_2</math>, координаты <math>(2; 1)</math>. Справа тот же приём с другим базисом <math>f_1 = e_1</math>, <math>f_2 = e_1 + e_2</math>: разложение <math>x = f_1 + f_2</math> даёт другие координаты <math>(1; 1)</math>.]]

{{Теорема
|statement=При сложении элементов линеала $L$ их координаты складываются, а при умножении вектора на вещественное число все его координаты умножаются на данное число.
|proof=Пусть элементы ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $ образуют базис в $L$, $x$ и ${\bf y}$ {{---}} произвольные элементы из $L$, $\lambda $ {{---}} произвольное вещественное число, ${\bf s} = x + y$, ${\bf p} = \lambda x$.
Ясно, что $x = \sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i {\bf e}_i}$, $y = \sum\limits_{i = 1}^n {\mu _i e_i}$, ${\bf s} = \sum\limits_{i = 1}^n {\sigma _i e_i}$, ${\bf p} = \sum\limits_{i = 1}^n {\delta _i e_i}$. Используя аксиомы 1-8 линеала $L$, получаем
<math>
{\rm {\bf s} } = x + y = \sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i } e_i + \sum\limits_{i = 1}^n {\mu _i } e_i = \sum\limits_{i = 1}^n {(\gamma _i + \mu _i )} e_i,
</math>

<math>
{\rm {\bf p} } = \lambda x = \lambda \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i } e_i } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\lambda \gamma _i } e_i .
</math>

В силу единственности разложения по базису имеем $\sigma _i = \gamma _i + \mu _i $, $\delta _i = \lambda \gamma _i $, $i = \overline {1,n} $.
}}

{{Теорема
|statement=Если каждый из $(n + 1)$ элементов $y_0, y_1,..., y_n$ линеала $L$ представим в виде линейной комбинации n линейно независимых элементов $x_1, x_2, ..., x_n$ того же линеала, т. е.
$y_i = \sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _{ij} x_i }$, $j = \overline {0,n}$, то элементы $y_0, y_1, ..., y_n $ линейно зависимы.
}}
{{Следствие
|statement=Любые $(n + 1)$ векторов линейного пространства $R^n$ являются линейно зависимыми.
|proof=Возьмем произвольно векторы $y_k = (\alpha _{k1}, \alpha _{k2}, ..., \alpha _{kn} )$, $k = \overline {0,n} $.
Поскольку ${\rm {\bf u} }_1 = (1,0,..., 0)$, ${\rm {\bf u} }_2 = (0,1,..., 0)$, ..., ${\rm {\bf u} }_n = (0,0,..., 1)$ образуют базис в пространстве $R^n$, то для любого $k = \overline {0,n} $ имеем $y_k = \alpha _{k1} {\rm {\bf u} }_1 + \alpha _{k2} {\rm {\bf u} }_2 + \cdots + \alpha _{kn} {\rm {\bf u} }_n $. Следовательно, в силу теоремы 3.5.3 произвольные $(n + 1)$ векторов из линеала $R^n$ линейно зависимы.
}}
{{Следствие
|statement=Любые два базиса линеала $L$ содержат одно и то же число векторов.
|proof=Пусть ${\bf e}_1, {\bf e}_2 ,..., {\bf e}_n $ базис линеала $L$, а <math>{\rm {\bf {e}'} }_1, {\rm {\bf {e}'} }_2, ..., {\rm {\bf {e}'} }_{n + 1}</math> другой базис этого же линеала. Так как <math>{\rm {\bf {e}'} }_i = \sum\limits_{j = 1}^n {\alpha _j {\bf e}_j }, i = \overline {1,n + 1} </math>, причем ${\bf e}_1, {\bf e}_2,..., {\bf e}_n $ линейно независимы. В силу теоремы <math>{\rm {\bf {e}'} }_1, {\rm {\bf {e}'} }_2, ..., {\rm {\bf {e}'} }_{n + 1}</math> {{---}} линейно зависимы. Полученное противоречие и доказывает следствие.'''
}}
{{Определение
|definition=
Линеал $L$ называют $n$-мерным, если в нем существует базис, состоящий из $n$ векторов.
}}
Число $n$ называют '''размерностью''' линеала $L$ и обозначают символом $\dim (L) = n$.
Таким образом, размерность пространства {{---}} это наибольшее число его линейно независимых элементов.
Если линеал $L$ является $n-$мерным и необходимо подчеркнуть его размерность, то обычно используют обозначение $L^n$. Ясно, что $\dim (V^1) = 1$, $\dim (V^2) = 2$, $\dim (V^3) = 3.$
Линеал $\Theta $, содержащий единственный нулевой элемент, является нуль-мерным.
{{Определение
|definition=
Линеал $L$ называется бесконечномерным, если для любого натурального числа $N$ в нем найдется линейно независимая система, состоящая из $N$ элементов.
}}
Примером бесконечномерного линеала является линейное пространство непрерывных на заданном отрезке функций.
{{Теорема
|statement=Для того чтобы линеал $L был n$-мерным, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовала линейно независимая система, состоящая из $n$ элементов, а всякая система, содержащая более $n$ векторов, была бы линейно зависимой.
|proof='''Необходимость.''' Если линеал является $n$-мерным, то в нем существует базис ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $, состоящий из $n$ элементов. Произвольный вектор $x_j \in L$, $j = \overline {0,n} $ представим в виде линейной комбинации векторов ${\rm {\bf e} }_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $, поэтому любая совокупность более чем $n$ элементов является линейно зависимой.

'''Достаточность.''' Пусть ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $ линейно независимые элементы. Возьмем произвольный вектор $x \in L$. По условию векторы ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $,$x$ линейно зависимы, т. е. существует нетривиальная линейная комбинация $\alpha _1 {\bf e}_1 + \alpha _2 {\bf e}_2 + ... + \alpha _n {\bf e}_n + \alpha x = {\bf 0}$, причем $\alpha \ne 0$. Но тогда x может быть разложен по ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $, т. е. эти элементы {{---}} базис линеала $L$.
В $n$-мерном линеале $L$ всякий базис состоит из n упорядоченных линейно независимых элементов, при этом любой вектор линеала $L^n$ единственным образом представим в виде линейной комбинации базисных элементов.
}}
Это утверждение не вытекает из аксиом 1 {{---}} 8 линейного пространства. Поэтому следует сформулировать новую аксиому.

'''9. (аксиома размерности).''' Линейное пространство $L$ конечномерно и его размерность равна $n$.
При выполнении этой аксиомы из аксиом 1-8 очевидно вытекает сформулированное утверждение.

[[Файл:p03-05-02-dimension-ladder.svg|frame|none|800px|alt=Шесть линеалов с размерностями 0, 1, 2, 3, n и ∞ и пиктограммами числа независимых направлений|Рис. 2. Размерность — наибольшее число независимых направлений: <math>\dim \Theta = 0</math>, <math>\dim V^1 = 1</math>, <math>\dim V^2 = 2</math>, <math>\dim V^3 = 3</math>, <math>\dim R^n = n</math>; пространство непрерывных функций бесконечномерно.]]

----

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Базис и размерность линеала - История изменений

СВ: Новая страница: «{{Определение |definition= Упорядоченная совокупность линейно независимых векторов ${\bf e}_1, {\bf...»