СВ в 13:37, 25 октября 2026

2026-10-25T13:37:25Z

← Предыдущая		Версия 13:37, 25 октября 2026
Строка 57:		Строка 57:
	</math>		</math>
	Следовательно, каждый столбец произведения равен линейной комбинации столбцов матрицы $S$.		Следовательно, каждый столбец произведения равен линейной комбинации столбцов матрицы $S$.

			[[Файл:p02-07-01-block-multiplication.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Блочное умножение: блок C21 произведения равен S21T11 + S22T21\|Рис. 1. Блок <math>(2,1)</math> произведения равен <math>S_{21}T_{11}+S_{22}T_{21}</math>: блоки перемножаются и складываются как числа. Размеры согласованы: <math>S_{jk}</math> — <math>m_j\times n_k</math>, <math>T_{kl}</math> — <math>n_k\times r_l</math>, поэтому <math>C_{jl}</math> — <math>m_j\times r_l</math>.]]

	----		----

	Конспект: [[Алгебра и геометрия]]		Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

СВ в 16:32, 12 октября 2026

2026-10-12T16:32:04Z

← Предыдущая		Версия 16:32, 12 октября 2026
Строка 57:		Строка 57:
	</math>		</math>
	Следовательно, каждый столбец произведения равен линейной комбинации столбцов матрицы $S$.		Следовательно, каждый столбец произведения равен линейной комбинации столбцов матрицы $S$.

			----

	Конспект: [[Алгебра и геометрия]]		Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

СВ: Новая страница: «Возьмем произвольную матрицу $T=\{ \tau_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} =[m\times n]$. Разобьем эту матрицу на клетки с...»

2026-10-12T16:31:00Z

Новая страница: «Возьмем произвольную матрицу $T=\{ \tau_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} =[m\times n]$. Разобьем эту матрицу на клетки с...»

Новая страница

Возьмем произвольную матрицу $T=\{ \tau_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} =[m\times n]$. Разобьем эту матрицу на клетки с помощью горизонтальных и вертикальных линий. Перенумеруем полученные блоки, где первый индекс будет означать номер ряда, а второй {{---}} номер колонки, в которой стоит этот блок. Тогда
<math>T = \{ T_{kr} \}_{k,r=1}^{p,q} =\left(\begin{array}{c|c|c} {T_{11} } & {\cdots } & {T_{1q} } \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline {T_{p1} } & {\cdots } & {T_{pq} } \end{array}\right),</math>
где блок $T_{kr} $ является матрицей размера $[m_k \times n_{r} ]$. Ясно, что $m_1 + m_2 + \cdots + m_{p} = m$, $n_1 + n_2 +\cdots + n_{q} = n$.
{{Определение
|definition=Матрицу, разбитую на клетки, называют '''блочной матрицей'''.
}}
Из данного определения следует, что блочная матрица является матрицей, у которой элементами служат матрицы соответствующих размерностей.

Понятно, что если $S=\{ S_{jk} \}_{j,k=1}^{p,q} =[m\times n]$, $T=\{ T_{jk} \}_{j,k=1}^{p,q} =[m\times n]$ {{---}} матрицы одного размера, одинаково разбитые на блоки, то сумма
<math>S+T = \{ S_{jk} +T_{jk} \}_{j,k=1}^{p,q},</math>
т. е. элементами суммы двух блочных матриц являются суммы соответствующих блоков. Очевидно, что умножение блочной матрицы на число эквивалентно умножению каждого ее блока на данное число, таким образом, $\gamma S=\{ \gamma S_{jk} \}_{j,k=1}^{p,q}$.

Рассмотрим две блочные матрицы $S=\{ S_{jk} \}_{j,k=1}^{p,q} =[m\times n]$, $T=\{ T_{kl} \}_{k,l=1}^{q,t} =[n\times r]$, причем блоки этих матриц
<math>S_{jk} =[m_{j} \times n_k ], T_{kl} =[n_k \times r_l ],</math>
где $m_1 + m_2 +\cdots + m_{p} = m$, $n_1 + n_2 +\cdots + n_{q} = n$, $r_1 +r_2 +\cdots +r_{t} = r$.

{{Теорема
|statement=Произведение блочных матриц равно сумме произведений соответствующих блоков сомножителей, то есть
<math>
\begin{equation}\tag{1}
ST = \left\{\sum_{k=1}^{q}S_{jk} T_{kl} \right\}_{j,l=1}^{p,t}.
\end{equation}
</math>
|proof=Сначала разобьем матрицу $S$ на блоки горизонтальными линиями, а матрицу $Т$ {{---}} вертикальными, получаем две блочные матрицы
<math>S=\left(\begin{array}{c} {S_{11} } \\ \hline {S_{21} } \\ \hline \vdots \\ \hline {S_{p1} } \end{array}\right), T=\left(\begin{array}{c|c|c|c} {T_{11} } & {T_{12} } & {\ldots } & {T_{1t} } \end{array}\right).</math>
Произведение $ST$ является блочной матрицей, блоками которой являются произведения $S_{j1} T_{1l}$, то есть
<math>
\begin{equation}\tag{2}
ST = \left\{S_{j1} T_{1l} \right\}_{j,l=1}^{p,t}.
\end{equation}
</math>

Допустим теперь, что матрица $S$ разбита вертикальными линиями, а $T$ {{---}} горизонтальными, получаем
<math>S=\left(\begin{array}{c|c|c|c} {S_{11} } & {S_{12} } & {\ldots } & {S_{1q} } \end{array}\right), T=\left(\begin{array}{c} {T_{11} } \\ \hline {T_{21} } \\ \hline \vdots \\ \hline {T_{q1} } \end{array}\right).</math>

В этом случае, очевидно, что произведение $ST=\{ \gamma_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $ не является блочной матрицей, причем $\gamma_{ij} =s_{i} t^{j}$, где $s_{i} $ {{---}} строка матрицы $S$, а $t^{j} $ {{---}} столбец матрицы $Т$, поэтому

<math>
\begin{equation}\tag{3}
ST=S_{11} T_{11} +S_{12} T_{21} +\cdots +S_{1q} T_{q1}.
\end{equation}
</math>

Если теперь в формуле (2) каждую матрицу $S_{j1} $ разбить вертикальными линиями, а каждый блок $T_{1l} $ {{---}} горизонтальными линиями на $q$ блоков, то, применив формулу (3), окончательно получаем формулу (1).
}}

Если $S=\{ \sigma_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$, а $T=[t_1, t_2, ...,t_n ]$, где $t_k $ {{---}} $k$-я строка матрицы $Т$, то согласно (1)
<math>
ST=\left[\sum_{k=1}^{n}\sigma_{1k} t_k, \sum_{k=1}^{n}\sigma_{2k} t_k, ...,\sum_{k=1}^{n}\sigma_{mk} t_k \right],
</math>
то есть каждая строка произведения равна линейной комбинации строк матрицы $T$.

Аналогично, если $S=[s^{1}, s^{2}, ...,s^{n} ]$, где $s^{k} ${{---}} $k$-й столбец матрицы $S$, $T=\{ \tau_{ij} \}_{i,j=1}^{n,p}$, то произведение
<math>
ST=\left[\sum_{k=1}^{n}\tau_{k1} s^{k}, \sum_{k=1}^{n}\tau_{k2} s^{k}, ...,\sum_{k=1}^{n}\tau_{kp} s^{k} \right].
</math>
Следовательно, каждый столбец произведения равен линейной комбинации столбцов матрицы $S$.

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Блочные матрицы - История изменений

СВ в 13:37, 25 октября 2026

СВ в 16:32, 12 октября 2026

СВ: Новая страница: «Возьмем произвольную матрицу $T=\{ \tau_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} =[m\times n]$. Разобьем эту матрицу на клетки с...»