СВ: Новая страница: «Рассмотрим прямую $O\vec{e}_{1} $ и вектор $\overrightarrow{OM} =\vec{a}$, коллинеарный вектору $\vec{e}_{1} $. Тогд...»

2026-11-04T18:45:03Z

Новая страница: «Рассмотрим прямую $O\vec{e}_{1} $ и вектор $\overrightarrow{OM} =\vec{a}$, коллинеарный вектору $\vec{e}_{1} $. Тогд...»

Новая страница

Рассмотрим прямую $O\vec{e}_{1} $ и вектор $\overrightarrow{OM} =\vec{a}$, коллинеарный вектору $\vec{e}_{1} $. Тогда, $\vec{a}=\lambda \vec{e}_{1}$, причем $\lambda =\frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}_{1} |}$, если $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{e}_{1}$, и $\lambda =-\frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}_{1} |}$, если $\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{e}_{1} $.

{{Определение
|definition=
Указанное число $\lambda$ называется алгебраической мерой вектора $\vec{a}$ на оси, определяемой вектором $\vec{e}_{1}$, и обозначается $\lambda =mes_{\vec{e}_{1} } \vec{a}$.
}}

[[Файл:p03-10-01-algebraic-measure.svg|thumb|800px|alt=Ось с единичным вектором e; над ней a = 2e, b = −1,5e и a + b = 0,5e, под ней шкала от −2 до 3|Рис. 1. Мера вектора на оси — коэффициент <math>\lambda</math> в равенстве <math>a = \lambda e</math>. Поэтому у <math>a = 2e</math> мера равна 2, у <math>b = -1{,}5e</math> равна −1,5, а у суммы <math>a + b = 0{,}5e</math> — 0,5: мера линейна.]]

С учетом введенного обозначения, очевидно, что $\vec{a}=\left(mes_{\vec{e}_{1} } \vec{a}\right)\vec{e}_{1} $.

{{Лемма
|statement=Для любых трех коллинеарных векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{e}$ и произвольного числа $\lambda$ справедливы соотношения $mes_{\vec{e} } \left(\vec{a}+\vec{b}\right)=mes_{\vec{e} } \vec{a}+mes_{\vec{e} } \vec{b}, mes_{\vec{e} } \left(\lambda \vec{a}\right)=\lambda mes_{\vec{e} } \vec{a}$.
|proof= Пусть $\lambda \vec{a}\uparrow \uparrow \vec{e}$, тогда по определению алгебраической меры вектора
$ mes_{\vec{e} } \left(\lambda \vec{a}\right) = \frac{|\lambda \vec{a}|}{|\vec{e}|} = |\lambda |\frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} =
\left[ \begin{array}{l}
{\lambda \frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} =\lambda mes_{\vec{e} } \vec{a}, \lambda > 0;} \\
{-\lambda \frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} =\lambda \left(-\frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} \right) = \lambda mes_{\vec{e} } \vec{a}, \lambda < 0.}
\end{array} \right.
$

Если $\lambda \vec{a}\uparrow \downarrow \vec{e}$, то
$mes_{\vec{e} } \left(\lambda \vec{a}\right)=-\frac{|\lambda \vec{a}|}{|\vec{e}|} = - |\lambda |\frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} =\left[\begin{array}{l} {-\lambda \frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} =\lambda \left(-\frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} \right)=\lambda mes_{\vec{e} } \vec{a}, \lambda > 0;} \\ {\lambda \frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}|} =\lambda mes_{\vec{e} } \vec{a}, \lambda < 0.} \end{array}\right. $

Рассмотрим теперь алгебраическую меру суммы векторов. Так как по условию векторы $\vec{a}, \vec{b}$ являются коллинеарными, то будем считать, что $\vec{b}=\mu \vec{a}$. Тогда
$mes_{\vec{e} } \left(\vec{a}+\vec{b}\right)=mes_{\vec{e} } \left(\vec{a}+\mu \vec{a}\right)=mes_{\vec{e} } \left(1+\mu \right)\vec{a}=\left(1+\mu \right)mes_{\vec{e} } \vec{a}=mes_{\vec{e} } \vec{a}+\mu mes_{\vec{e} } \vec{a} = mes_{\vec{e} } \vec{a}+mes_{\vec{e} } \vec{b}$.
}}

Таким образом, можно утверждать, что аффинная координата произвольной точки $M$ на координатной оси равна алгебраической мере ее радиус-вектора $\overrightarrow{OM} $.

Пусть задана аффинная система координат $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} $ и произвольный вектор $\vec{a}= \overrightarrow{NM} $. Спроектируем начало и конец данного вектора на координатные оси, получаем соответственно $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } $ и $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } $.
{{Определение
|definition=
Вектор $\overrightarrow{N_{1} M_{1} }$ ($\overrightarrow{N_{2} M_{2} }$) называется геометрической проекцией вектора $\vec{a}$ на координатную ось $O\vec{e}_{1} $ ($O\vec{e}_{2} $).
}}
Для геометрической проекции вектора на координатные оси будем использовать обозначение $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a}$, $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a}$.

В соответствии с правилом параллелограмма $\overrightarrow{NM} =\overrightarrow{N_{1} M_{1} } +\overrightarrow{N_{2} M_{2} }$, то есть
$\vec{a}=\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a}+\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a}$.

С другой стороны, векторы $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } || \vec{e}_{1}$, $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } || \vec{e}_{2}$, поэтому $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } =\left(mes_{\vec{e}_{1} } \overrightarrow{N_{1} M_{1} } \right) \vec{e}_{1}$, $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } =\left(mes_{\vec{e}_{2} } \overrightarrow{N_{2} M_{2} } \right) \vec{e}_{2}$, следовательно,
$\vec{a}=\left(mes_{\vec{e}_{1} } (\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a})\right) \vec{e}_{1} +\left(mes_{\vec{e}_{2} } (\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a})\right) \vec{e}_{2}$.

{{Определение
|definition=
Алгебраическая мера геометрической проекции вектора на координатную ось называется алгебраической проекцией вектора.
}}

[[Файл:p03-10-02-projections.svg|thumb|800px|alt=Вектор a = NM и его проекции N1M1 на ось Oe1 и N2M2 на ось Oe2, полученные параллельным проектированием|Рис. 2. Точки <math>N</math> и <math>M</math> спроецированы на оси: получаются <math>N_1M_1 = \operatorname{Proj}_{e_1} a</math> и <math>N_2M_2 = \operatorname{Proj}_{e_2} a</math>. Алгебраические проекции — меры этих векторов, они и служат координатами: <math>a = (\operatorname{Apr}_{e_1} a)e_1 + (\operatorname{Apr}_{e_2} a)e_2</math>.]]

Алгебраическая проекция вектора на ось $O\vec{e}_{i} $ обозначается $Apr_{\vec{e}_{i} } \vec{a}=mes_{\vec{e}_{i} } (\mbox{Proj}_{\vec{e}_{i} } \vec{a})$. Тогда с учетом введенного обозначения вектор $\vec{a}=(Apr_{\vec{e}_{i} } \vec{a})\vec{e}_{1} +(Apr_{\vec{e}_{2} } \vec{a})\vec{e}_{2}$, то есть аффинными координатами произвольного вектора являются его алгебраические проекции на координатные оси, а аффинными координатами произвольной точки {{---}} алгебраические проекции ее радиус-вектора на соответствующие координатные оси.

Допустим теперь, что в системе координат $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} \vec{e}_{3} $ задан произвольный вектор $\vec{a}=$$\overrightarrow{NM} $. Спроектируем точки $N$ и $M$ на координатные оси. Тогда точки $N_1$ и $M_1$ определяют вектор $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a}$, точки $N_2$ и $M_2$ {{---}} вектор $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a}$, а точки $N_3$ и $M_3$ {{---}} соответственно вектор $\overrightarrow{N_{3} M_{3} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{3} } \vec{a}$. В соответствии с правилом сложения векторов $\overrightarrow{NM} =\overrightarrow{N_{1} M_{1} } +\overrightarrow{N_{2} M_{2} } +\overrightarrow{N_{3} M_{3} }$, поэтому
$\vec{a}=\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a}+\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a}+\mbox{Proj}_{\vec{e}_{3} } \vec{a}=(Apr_{\vec{e}_{1} } \vec{a})\vec{e}_{1} +(Apr_{\vec{e}_{2} } \vec{a})\vec{e}_{2} +(Apr_{\vec{e}_{3} } \vec{a})\vec{e}_{3}$.

Следовательно, аффинные координаты произвольного вектора есть его алгебраические проекции на координатные оси, а аффинные координаты произвольной точки {{---}} алгебраические проекции ее радиус-вектора на соответствующие координатные оси.

----

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Геометрический смысл аффинных координат - История изменений

СВ: Новая страница: «Рассмотрим прямую $O\vec{e}_{1} $ и вектор $\overrightarrow{OM} =\vec{a}$, коллинеарный вектору $\vec{e}_{1} $. Тогд...»