СВ в 13:40, 24 октября 2026

2026-10-24T13:40:59Z

← Предыдущая		Версия 13:40, 24 октября 2026
Строка 56:		Строка 56:
	</math>		</math>
	}}		}}

			[[Файл:p26-01-noncommutativity.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Таблица значений π1=(2,1,3), π2=(3,1,2) и двух разных композиций π2∘π1=(1,3,2) и π1∘π2=(3,2,1)\|Рис. 1. Для <math>\pi_1=(2,1,3)</math> и <math>\pi_2=(3,1,2)</math> получаем <math>\pi_2\circ\pi_1=(1,3,2)</math>, а <math>\pi_1\circ\pi_2=(3,2,1)</math>. Результаты различны, поэтому группа перестановок некоммутативна.]]


	Конспект: [[Дискретная математика]]		Конспект: [[Дискретная математика]]

	[[Категория:Дискретная математика]]		[[Категория:Дискретная математика]]

СВ в 09:56, 11 октября 2026

2026-10-11T09:56:53Z

← Предыдущая		Версия 09:56, 11 октября 2026
Строка 58:		Строка 58:

	Конспект: [[Дискретная математика]]		Конспект: [[Дискретная математика]]

			[[Категория:Дискретная математика]]

СВ в 19:52, 9 октября 2026

2026-10-09T19:52:37Z

← Предыдущая		Версия 19:52, 9 октября 2026
Строка 56:		Строка 56:
	</math>		</math>
	}}		}}

			Конспект: [[Дискретная математика]]

СВ: Новая страница: «{{Определение |definition= Группой называется непустое множество $G$ с определенной на нем бина...»

2026-10-09T19:52:10Z

Новая страница: «{{Определение |definition= Группой называется непустое множество $G$ с определенной на нем бина...»

Новая страница

{{Определение
|definition=
Группой называется непустое множество $G$ с определенной на нем бинарной операцией $\diamond$, которая не выводит из множества $G$ и удовлетворяет трем аксиомам:

$1^a$ ассоциативность: для любых $a,b,c\in G$ верно, что $(a\diamond b)\diamond c = a\diamond (b\diamond c)$.

$2^a$ наличие нейтрального элемента: существует такой элемент $e\in G$, что для любого $a\in G$ справедливо $a\diamond e = e\diamond a = a$.

$3^a$ наличие обратного элемента: для любого элемента $a\in G$ найдется такой элемент $a^{-1}\in G$, что $a^{-1}\diamond a = a\diamond a^{-1} = e$.
}}

Произведение перестановок ассоциативно:
$((\pi_3 \circ \pi_2) \circ \pi_1) (i) = (\pi_3 \circ \pi_2) (\pi_1 (i)) = \pi_3 (\pi_2 (\pi_1 (i))) =
= \pi_3 ((\pi_2 \circ \pi_1) (i)) = (\pi_3 \circ (\pi_2 \circ \pi_1))(i)$

Нейтральным элементом для множества $\sigma_n$ будет служить тождественная перестановка
$e = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & ... & n \\ 1 & 2 & ... & n \end{array}\right)$.
Легко заметить, что для любой перестановки $\pi\in\sigma_n$ верно $\pi\circ e = e\circ \pi = \pi$.

Для любой перестановки $\pi\in\sigma_n$, как для любой биективной функции, существует обратная функция $\pi^{-1}$: $\pi^{-1}\circ\pi = \pi \circ \pi^{-1} = e$.

Для любых $i\in\{1,...,n\}$ $\pi(i)=j\Rightarrow \pi^{-1}(j) = i$.
Функция $\pi^{-1}$, обратная для биективной функции $\pi$, также будет биективной функцией: $\pi^{-1} : \{1,...,n\}\rightarrow \{1,...,n\}.$
То есть, $\pi^{-1}\in\sigma_n$.

{{Замечание
|content=Заметим, что обратная перестановка $\pi^{-1}$ для данной перестановки $\pi$ единственна.
Действительно, если бы существовала еще одна такая перестановка <math>\pi'</math>, что <math>\pi\circ\pi' = e</math>, то
<math>\pi' = e\circ \pi' = \pi^{-1}\circ\pi\circ\pi' = \pi^{-1}\circ e = \pi^{-1}</math>;
если перестановка <math>\pi' '</math> такова, что <math>\pi' '\circ\pi = e</math>, то
<math>\pi^{-1} = e\circ \pi^{-1} = \pi' '\circ\pi\circ\pi^{-1} = \pi' '\circ e = \pi' '</math>.
}}

Таким образом, мы доказали, что множество перестановок $\sigma_n$ с операцией произведения перестановок образуют группу. Эту группу называют группой перестановок или симметрической группой.

{{Замечание
|content=Произведение перестановок в общем случае не коммутативно.

Пусть
<math>
\pi_1 = \left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\end{array}\right),\qquad
\pi_2 = \left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2\end{array}\right).
</math>

Тогда
<math>
\pi_2\circ\pi_1 =
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\end{array}\right)
\neq
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)
= \pi_1\circ\pi_2.
</math>
}}

Группа перестановок - История изменений

СВ в 13:40, 24 октября 2026

СВ в 09:56, 11 октября 2026

СВ в 19:52, 9 октября 2026

СВ: Новая страница: «{{Определение |definition= Группой называется непустое множество $G$ с определенной на нем бина...»