Комплексные числа - История изменений

СВ: /* Корень из комплексного числа */

2021-10-22T10:30:29Z

Корень из комплексного числа

← Предыдущая		Версия 10:30, 22 октября 2021
Строка 141:		Строка 141:
	\|proof=		\|proof=
	В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением		В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением

	$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$		$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$

	где $k$ {{---}} произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение		где $k$ {{---}} произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
	$\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$		$\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$

СВ: /* Корень из комплексного числа */

2021-10-22T10:17:08Z

Корень из комплексного числа

← Предыдущая		Версия 10:17, 22 октября 2021
Строка 151:		Строка 151:

	Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.		Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.

			=== Пример ===
			Извлечь корень $\sqrt[4]{-4}$.

			Представим число под корнем в тригонометрической форме $-4 = 4 ( \cos \pi + i \sin \pi )$.

			Согласно теоремы существует 4 значения корня: $\sqrt(2) \left( \cos\frac{\pi+2\pi k}{4} + i \sin\frac{\pi+2\pi k}{4} \right)$, $k=\overline{0,3}$:
			* $k=0$: $(1+i)$,
			* $k=1$: $(-1+i)$,
			* $k=2$: $(-1-i)$,
			* $k=3$: $(1-i)$.

СВ: /* Корень из комплексного числа */

2021-10-22T09:56:49Z

Корень из комплексного числа

← Предыдущая		Версия 09:56, 22 октября 2021
Строка 132:		Строка 132:

	Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что		Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что
	~~\begin{equation} \label{eq_1_1_1}~~		$R = \sqrt[n]{r}$, $n\psi =\varphi +2\pi k$, где $k$ {{---}} любое целое число.
	R = \sqrt[n]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,
	~~\end{equation}~~
	где $k$ {{---}} любое целое число.

	{{Теорема		{{Теорема

СВ: /* Корень из комплексного числа */

2021-10-22T09:20:50Z

Корень из комплексного числа

← Предыдущая		Версия 09:20, 22 октября 2021
Строка 140:		Строка 140:
	\|statement=		\|statement=
	Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле		Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле
	$$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$
			$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$
	\|proof=		\|proof=
	В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением		В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
	$$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$
			$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$

	где $k$ {{---}} произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение		где $k$ {{---}} произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
	$$\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$$		$\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$
	для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_1 = k_2 +nm$. Если положить, например, $k_2 =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_1 = \pm n$.		для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_1 = k_2 +nm$. Если положить, например, $k_2 =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_1 = \pm n$.
	Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.		Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.

СВ: /* Тригонометрическая форма */

2021-10-22T09:20:05Z

Тригонометрическая форма

← Предыдущая		Версия 09:20, 22 октября 2021
Строка 120:		Строка 120:
	= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$		= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$

	Таким образом, модуль частного $~~\left~~ \mid \frac{\alpha_2}{\alpha_1 } ~~\right~~ \mid = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\mid\alpha_2\mid}{\mid\alpha_1\mid}$, а аргумент частного		Таким образом, модуль частного $\mid \frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \mid = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\mid\alpha_2\mid}{\mid\alpha_1\mid}$, а аргумент частного
	$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$		$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$
	}}		}}

СВ: /* Тригонометрическая форма */

2021-10-22T09:16:54Z

Тригонометрическая форма

← Предыдущая		Версия 09:16, 22 октября 2021
Строка 120:		Строка 120:
	= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$		= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$

	Таким образом, модуль частного $\left \\| \frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \right\\| = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\\|\alpha_2\\|}{\\|\alpha_1\\|}$, а аргумент частного		Таким образом, модуль частного $\left \mid \frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \right \mid = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\mid\alpha_2\mid}{\mid\alpha_1\mid}$, а аргумент частного
	$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$		$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$
	}}		}}

			== Корень из комплексного числа ==

	{{Определение		{{Определение

СВ: /* Тригонометрическая форма */

2021-10-22T09:11:50Z

Тригонометрическая форма

← Предыдущая		Версия 09:11, 22 октября 2021
Строка 120:		Строка 120:
	= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$		= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$

	Таким образом, модуль частного $\left\|\frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \right\| = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\|\alpha_2\|}{\|\alpha_1\|}$, а аргумент частного		Таким образом, модуль частного $\left \\| \frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \right\\| = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\\|\alpha_2\\|}{\\|\alpha_1\\|}$, а аргумент частного
	$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$		$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$
	}}		}}

СВ: /* Тригонометрическая форма */

2021-10-22T09:09:55Z

Тригонометрическая форма

← Предыдущая		Версия 09:09, 22 октября 2021
Строка 101:		Строка 101:

	{{Следствие		{{Следствие
			\|id=col2
	\|statement=		\|statement=
	Справедливы соотношения		Справедливы соотношения
Строка 109:		Строка 110:
	В частности, когда $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n$, получаем [[Формула Муавра\|формулу Муавра]]		В частности, когда $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n$, получаем [[Формула Муавра\|формулу Муавра]]
	$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$		$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$

	Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m>0$. Тогда

	~~$$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} =\frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =~~
	r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$$

	{{Теорема		{{Теорема
Строка 121:		Строка 117:
	Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 +i\sin \varphi_2)$. Найдем частное		Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 +i\sin \varphi_2)$. Найдем частное

	$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_1 -i \sin \varphi_1 ) = \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 +\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 )\right] ~~= $$~~		$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_1 -i \sin \varphi_1 ) = \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 +\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 )\right]
	$$= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$$		= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$

	Таким образом, модуль частного $\left\|\frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \right\| = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\|\alpha_2\|}{\|\alpha_1\|}$, а аргумент частного		Таким образом, модуль частного $\left\|\frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \right\| = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\|\alpha_2\|}{\|\alpha_1\|}$, а аргумент частного
	$$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$$		$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$
	}}		}}

СВ: /* Тригонометрическая форма */

2021-10-22T08:43:11Z

Тригонометрическая форма

← Предыдущая		Версия 08:43, 22 октября 2021
Строка 76:		Строка 76:
	где $r$ {{---}} модуль комплексного числа.		где $r$ {{---}} модуль комплексного числа.

			{{Определение
			\|definition=
	Угол $\varphi$ такой, что		Угол $\varphi$ такой, что
	$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,		$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,
	называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.		называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.
			}}
			Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}} любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.

	Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}} любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=

СВ в 08:39, 22 октября 2021

2021-10-22T08:39:56Z

Внесённые изменения