СВ: Новая страница: «{{Определение |definition= Линейным пространством (линеалом) называют множество $L$ элементов п...»

2026-10-25T20:42:35Z

Новая страница: «{{Определение |definition= Линейным пространством (линеалом) называют множество $L$ элементов п...»

Новая страница

{{Определение
|definition=
Линейным пространством (линеалом) называют множество $L$ элементов произвольной природы, называемых векторами, для которого:

* задано правило, по которому любым двум элементам $x \in L$, $y \in L$ сопоставляется элемент ${\rm {\bf s} } \in L$, называемый их суммой и обозначаемый ${\rm {\bf s} } = x + y$;
* задано правило, по которому каждому элементу $x \in L$ и любому вещественному числу $\lambda \in R$ сопоставляется элемент ${\rm {\bf p} } \in L$, называемый произведением $x$ на $\lambda $ и обозначаемый ${\rm {\bf p} } = \lambda x$;
* заданные правила при любых $x, y, z \in L$ и любых вещественных числах $\lambda , \mu \in R$ подчинены аксиомам:
* $ x + y = y + x$;
* $ (x + y) + z = x + (y + y)$;
* существует ${\bf 0} \in L$, что $x + {\bf 0} = x$;
* для каждого $x \in L$ существует $x' \in L$, что $x + x' = {\bf 0}$;
* $\lambda (\mu x) = (\lambda \mu )x$;
* $(\lambda + \mu )x = \lambda x + \mu x$;
* $\lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y$;
* $ 1 \cdot x = x$.
}}

Следует отметить, что в приведенном определении не накладывается никаких ограничений на природу элементов множества $L$ и конкретное задание правил операций суммы $(x,y) \to x + {\rm {\bf y} }$ и умножения на число $(\lambda ,x) \to \lambda {\rm {\bf x} }$.

[[Файл:p03-02-01-lineal-structure.svg|frame|none|800px|alt=Слева множество L и две операции, не выводящие из L; справа восемь аксиом, разделённых на сложение и умножение на число|Рис. 1. Линеал задаётся множеством <math>L</math> и двумя операциями, результат которых снова лежит в <math>L</math>, а не природой элементов. Справа восемь аксиом, разбитых на четыре аксиомы сложения и четыре — умножения на число.]]

Для задания конкретного линеала надо определить множество $L$ и задать на нем операции сложения элементов и умножения элемента на число.

Если в качестве векторов рассматривать направленные отрезки и традиционные линейные операции, то линеалом $V^1$ является множество всех свободных векторов на прямой. Линеал $V^2$ {{---}} множество всех свободных векторов на плоскости. Линеал $V^3$ {{---}} множество всех свободных векторов в трехмерном пространстве.

Линеал $\Theta = \{{\bf 0}\}$, состоящий только из нулевого элемента ${\bf 0}$, является простейшим.

Другим примером является линеал $R^n = \{ {\bf a} \vert {\bf a} = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)\}$ {{---}} множество упорядоченных наборов $n$ вещественных чисел, где $n$ {{---}} произвольное число, причем линейные операции вводятся так:
<math>
{\bf a} + {\bf b} = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n ) + (\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n ) = (\alpha_1 + \beta_1, \alpha_2 + \beta_2, ..., \alpha_n + \beta_n ),
</math>

<math>
\lambda (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n ) = (\lambda \alpha_1, \lambda \alpha_2, ..., \lambda \alpha_n ).
</math>

Указанный линеал $R^n = \{ {\bf a}\vert {\bf a} = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n ) \}$ иногда называют координатным пространством.

Множество всевозможных матриц фиксированного размера с введенными на этом множестве операциями является линейным пространством.

Отметим, что все линеалы, за исключением простейшего линеала $\Theta$, имеют бесконечное количество элементов. Поскольку элементами линеалов являются векторы, то линейные пространства называют векторными пространствами.

В дальнейшем, во избежание недоразумений, где это необходимо, векторы пространств $V^1$, $V^2$, $V^3$ будем называть геометрическими векторами и выделять стрелкой $\vec{a}, \overrightarrow{AB}$ и т. д.

[[Файл:p03-02-02-lineal-examples.svg|frame|none|800px|alt=Таблица примеров линеалов: V1, V2, V3, Θ, R^n с размерностями 1, 2, 3, 0, n; отдельно матрицы m × n и непрерывные функции|Рис. 2. Одни и те же аксиомы выполняются на совершенно разных множествах: геометрические векторы <math>V^1, V^2, V^3</math>, нулевой линеал <math>\Theta</math>, наборы чисел <math>R^n</math>, матрицы, непрерывные функции. В последнем столбце — размерность.]]

----

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Линеал - История изменений

СВ: Новая страница: «{{Определение |definition= Линейным пространством (линеалом) называют множество $L$ элементов п...»