СВ в 08:58, 28 октября 2026

2026-10-28T08:58:17Z

← Предыдущая		Версия 08:58, 28 октября 2026
Строка 53:		Строка 53:
	}}		}}
	[[Файл:p03-03-02-dependence-inheritance.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Четыре карточки: нулевой вектор, зависимая часть набора, независимость подмножества и один ненулевой вектор\|Рис. 2. Четыре следствия из определения: нулевой вектор делает набор зависимым; зависимость части переносится на весь набор добавлением нулевых коэффициентов; из независимости всего набора следует независимость любой его части; один ненулевой вектор независим.]]		[[Файл:p03-03-02-dependence-inheritance.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Четыре карточки: нулевой вектор, зависимая часть набора, независимость подмножества и один ненулевой вектор\|Рис. 2. Четыре следствия из определения: нулевой вектор делает набор зависимым; зависимость части переносится на весь набор добавлением нулевых коэффициентов; из независимости всего набора следует независимость любой его части; один ненулевой вектор независим.]]

			----

			Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

СВ: Новая страница: «Пусть $L$ {{---}} произвольное линейное пространство, ${\bf a}_i \in L$, $i = \overline {1,n} $ {{---}} его элемент...»

2026-10-28T08:57:28Z

Новая страница: «Пусть $L$ {{---}} произвольное линейное пространство, ${\bf a}_i \in L$, $i = \overline {1,n} $ {{---}} его элемент...»

Новая страница

Пусть $L$ {{---}} произвольное линейное пространство, ${\bf a}_i \in L$, $i = \overline {1,n} $ {{---}} его элементы (векторы).
{{Определение
|definition=
Выражение $\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda_i {\bf a}_i }$, где $\lambda_i$, $i = \overline {1,n}$ {{---}} произвольные вещественные числа, называется
'''линейной комбинацией векторов'''
${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$.
}}
Если вектор ${\bf p} = \sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _i {\bf a}_i}$, то говорят, что ${\bf p}$ разложен по векторам ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$.
{{Определение
|definition=
Линейная комбинация векторов называется '''нетривиальной''', если среди чисел $\lambda _i $ есть хотя бы одно отличное от нуля. В противном случае, линейная комбинация называется
'''тривиальной'''.
}}
{{Определение
|definition=
Векторы ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$ называются '''линейно зависимыми''', если существует их нетривиальная линейная комбинация, такая что $\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda_i {\bf a}_i} = {\bf 0}$.
}}
{{Определение
|definition=
Векторы ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$ называются '''линейно независимыми''', если равенство $\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _i {\bf a}_i} = {\bf 0}$ возможно лишь в случае, когда все числа $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n $ одновременно равны нулю.
}}
Отметим, что всякий ненулевой элемент ${\bf a}_1$ можно рассматривать как линейно независимую систему, ибо равенство $\lambda {\bf a}_1 = {\bf 0}$ возможно лишь при условии $\lambda = 0$.
{{Теорема
|statement=Необходимым и достаточным условием линейной зависимости ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$ является возможность разложения, по крайней мере, одного из этих элементов по остальным.
|proof='''Необходимость.'''
Пусть элементы ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$ линейно зависимы. Это означает, что $\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _i {\bf a}_i} = {\bf 0}$, причем хотя бы одно из чисел $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ отлично от нуля. Пусть для определенности $\lambda _1 \ne 0$. Тогда ${\bf a}_1 + \sum\limits_{i = 2}^n {\frac{\lambda _i }{\lambda _1 } {\bf a}_i } = {\bf 0}$, отсюда ${\bf a}_1 = - \sum\limits_{i = 2}^n {\frac{\lambda _i }{\lambda _1 } {\bf a}_i}$, т. е. элемент ${\bf a}_1 $ разложен по элементам ${\bf a}_2, {\bf a}_3, ..., {\bf a}_n$.

'''Достаточность.''' Пусть элемент ${\bf a}_1$ разложен по элементам ${\bf a}_2, {\bf a}_3, ..., {\bf a}_n$, т. е. ${\bf a}_1 = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i {\bf a}_i }$. Тогда $ - 1 \cdot {\bf a}_1 + \sum\limits_{i = 2}^n {\alpha _i {\bf a}_i } = {\bf 0}$, следовательно, существует нетривиальная линейная комбинация векторов ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$, равная ${\bf 0}$, поэтому они являются линейно зависимыми.
}}
{{Теорема
|statement=Если хотя бы один из элементов ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$ нулевой, то эти векторы линейно зависимы.
|proof=Пусть ${\bf a}_n = {\bf 0}$, тогда $0 \cdot {\bf a}_1 + 0 \cdot {\bf a}_2 + ... + 0 \cdot {\bf a}_{n - 1} + 1 \cdot {\bf a}_n = {\bf 0}$, что и означает линейную зависимость указанных элементов.
}}
[[Файл:p03-03-01-dependent-independent.svg|мини|800px|alt=Слева a3 = 2a1 + a2, поэтому 2a1 + a2 − a3 = 0; справа два неколлинеарных вектора, у которых нулевая комбинация только тривиальна|Рис. 1. Слева третий вектор <math>a_3</math> уже выражается через <math>a_1</math> и <math>a_2</math>, поэтому <math>2a_1 + a_2 - a_3 = 0</math> с ненулевыми коэффициентами — набор зависим. Справа два неколлинеарных вектора: равенство <math>\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 = 0</math> возможно только при нулевых коэффициентах.]]
{{Теорема
|statement=Если среди $n$ векторов какие-либо $p$ $(p < n)$ векторов линейно зависимы, то и все $n$ элементов линейно зависимы.
|proof=Пусть для определенности элементы ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_p$ линейно зависимы.

Это означает, что существует такая нетривиальная линейная комбинация, что $\sum\limits_{i = 1}^p {\lambda _i {\bf a}_i} = {\bf 0}$.

Указанное равенство сохранится, если добавить к обеим его частям элемент $0 \cdot {\bf a}_{p + 1} + 0 \cdot {\bf a}_{p + 2} + ... + 0 \cdot {\bf a}_n $. Тогда $\sum\limits_{i = 1}^p {\lambda _i {\bf a}_i} + 0 \cdot {\bf a}_{p + 1} + 0 \cdot {\bf a}_{p + 2} + ... + 0 \cdot {\bf a}_n = {\bf 0}$, при этом хотя бы одно из чисел $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda _n$ отлично от нуля. Следовательно, векторы ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$ являются линейно зависимыми.
}}
{{Следствие
|statement=Если $n$ элементов линейно независимы, то любые $k$ из них линейно независимы $(k < n)$.
}}
{{Теорема
|statement=Если векторы $ {\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_{n - 1}$ линейно независимы, а элементы ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_{n - 1}, {\bf a}_n $ линейно зависимы, то вектор ${\bf a}_n$ можно разложить по векторам ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_{n - 1}$.
|proof=Так как по условию ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_{n - 1}, {\bf a}_n$ линейно зависимы, то существует их нетривиальная линейная комбинация $\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _i {\bf a}_i} = {\bf 0}$, причем $\lambda _n \ne 0$ (в противном случае, окажутся линейно зависимыми векторы ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_{n - 1}$). Но тогда вектор
<math>
{\bf a}_n = - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{\lambda_i}{\lambda_n} {\bf a}_i},
</math>
что и требовалось доказать.
}}
[[Файл:p03-03-02-dependence-inheritance.svg|frame|none|800px|alt=Четыре карточки: нулевой вектор, зависимая часть набора, независимость подмножества и один ненулевой вектор|Рис. 2. Четыре следствия из определения: нулевой вектор делает набор зависимым; зависимость части переносится на весь набор добавлением нулевых коэффициентов; из независимости всего набора следует независимость любой его части; один ненулевой вектор независим.]]

Линейная зависимость и независимость векторов - История изменений

СВ в 08:58, 28 октября 2026

СВ: Новая страница: «Пусть $L$ {{---}} произвольное линейное пространство, ${\bf a}_i \in L$, $i = \overline {1,n} $ {{---}} его элемент...»