СВ: Новая страница: «'''Вектором''' называют отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек являет...»

2026-10-25T20:37:42Z

Новая страница: «'''Вектором''' называют отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек являет...»

Новая страница

'''Вектором''' называют отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является начальной и какая {{---}} конечной. Начальную точку называют '''началом''' или '''точкой приложения вектора''', а конечную {{---}} '''концом''' вектора.

Под '''направлением вектора''' понимают направление от его начала к концу. Направление отмечается стрелкой, помещаемой у конца вектора.

'''Длина''' или '''модуль вектора''' есть длина соответствующего отрезка, определяющего данный вектор.

Вектор с началом $A$ и концом $B$ обозначают символом $\overrightarrow {AB}$. Иногда вектор обозначают одной буквой со стрелкой, помещенной сверху этой буквы, например, $\vec{a}$. Длину вектора обозначают соответственно как $\vert \overrightarrow{AB} \vert$, $\vert \vec{a} \vert$ и т. д.

Вектор называют '''нулевым''', если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор обозначают обычно символом $\vec{0}$. Нулевой вектор не имеет определенного направления (направление произвольно) и его длина равна нулю: $\vert \vec{0} \vert = 0$.

Вектор называют '''единичным''', если его длина равна единице в принятой системе измерения.

Векторы называются '''компланарными''', если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Векторы '''коллинеарны''', если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Два коллинеарных вектора $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {CD}$ называются '''сонаправленными''', если для любых точек $M$ и $N$, выбранных на лучах, определенных этими векторами, при условии, что $\vert AM \vert = \vert CN \vert $, расстояние $\vert MN\vert$ не меняется.

Для сонаправленных векторов будем использовать обозначение $\overrightarrow {AB} \uparrow \uparrow \overrightarrow {CD} $.

Два коллинеарных, но не сонаправленных вектора, называются '''противоположно направленными''' (обозначение $\overrightarrow {AB} \uparrow \downarrow \overrightarrow {CD}$).

{{Теорема
|statement=Два вектора, сонаправленных с третьим, сонаправлены друг с другом, т. е. если $\overrightarrow {AB} \uparrow \uparrow \overrightarrow {EF} $ и $\overrightarrow {EF} \uparrow \uparrow \overrightarrow {CD} $, то $\overrightarrow {AB} \uparrow \uparrow \overrightarrow {CD}$.
|proof= Очевидно, что $\overrightarrow {AB} $ и $\overrightarrow {CD} $ коллинеарны. Так как $\overrightarrow {AB} \uparrow \uparrow \overrightarrow {EF} $, то для любых точек $M$ и $P$ таких, что $\vert AM \vert = \vert EP\vert$ расстояние $\vert MP\vert$ не меняется.

Поскольку $\overrightarrow {EF} \uparrow \uparrow \overrightarrow {CD}$, то для любых точек $N$ и $P$ таких, что $\vert CN\vert = \vert EP\vert$ расстояние $\vert NP\vert$ не меняется. Но тогда $\vert AM\vert = \vert CN\vert $ и расстояние $\vert MN\vert $ не меняется. Поэтому $\overrightarrow {AB} \uparrow \uparrow \overrightarrow {CD} $.
}}
Заметим, что направления неколлинеарных векторов не подлежат сравнению.

'''Ортом''' ненулевого вектора называют единичный вектор, сонаправленный этому вектору.

'''Векторы равны''', если они сонаправлены и имеют одинаковую длину (векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$). Для равных векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$ используют обозначение $\vec{a} = \vec{c}$.

'''Векторы противоположны''', если они противоположно направлены и имеют одинаковую длину (векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$). Для противоположных векторов $\vec{b}$ и $\vec{d}$ используют обозначение $\vec{b} = - \vec{d}$.

Ясно, что если $\vec{a} = \vec{b}$, то и $\vec{b} = \vec{a}$ (коммутативность). Кроме того, если $\vec{a} = \vec{b}$, $\vec{b} = \vec{c}$, то $\vec{a} = \vec{c}$ (транзитивность).

Заметим, что равенство векторов определено с точностью до их положения в пространстве. Иными словами, мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. В дальнейшем будем рассматривать свободные векторы, т. е. векторы, точки приложения которых произвольны.

[[Файл:p03-01-01-vector-types.svg|frame|none|800px|alt=Слева вектор AB с началом, концом и длиной; справа четыре пары стрелок — сонаправленные, противоположно направленные, равные и противоположные|Рис. 1. Вектор — направленный отрезок: начало, конец, длина и направление. Справа четыре отношения: сонаправленные, противоположно направленные, равные и противоположные векторы; внизу — орт <math>\vec e = \vec a / |\vec a|</math>.]]

Говорят, что '''векторы следуют друг за другом''', если начало каждого из них, начиная со второго, совпадает с концом предыдущего вектора.

'''Суммой векторов, следующих друг за другом''', называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец {{---}} с концом последнего вектора.

'''Суммой произвольно расположенных векторов''' называется сумма векторов, следующих друг за другом, построенных, начиная с некоторой точки $О$, и равных соответственно данным векторам.

Сумма произвольно расположенных векторов не зависит от того, как выбрана начальная точка $О$ при построении векторов, следующих друг за другом.

Сумма векторов определяется однозначно и обладает очевидными свойствами:

* $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ (коммутативность)
* $(\vec{a} + \vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b} + \vec{c})$ (ассоциативность)
* $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ (особая роль нулевого вектора)
* Для любого вектора $\vec{a}$ существует такой вектор $\vec{c}$, что $\vec{a} + \vec{c} = \vec{0}$ (свойство противоположного вектора).

Указанные свойства непосредственно вытекают из определения суммы векторов.

'''Разностью векторов''' $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называют такой вектор $\vec{d}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$, т. е. $\vec{d} + \vec{b} = \vec{a}$. Разность векторов $\vec{d}$ обозначается $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$.

'''Произведением вектора''' $\vec{a}$ на вещественное число $\alpha$ называется вектор $\vec{p} = \alpha \vec{a}$, определяемый следующим образом: вектор $\vec{p}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$, имеет направление вектора $\vec{a}$, если $\alpha > 0$, и направление, противоположное вектору $\vec{a}$, если $\alpha < 0$, при этом $\left| \vec{p} \right| = \left| \alpha \right| \cdot \left| \vec{a} \right|$.

Ясно, что если $\alpha = 0$ или $\vec{a} = \vec{0}$, то вектор $\vec{p} = \alpha \vec{a}=\vec{0}$. Заметим также, что если $\vec{e}$ {{---}} это орт вектора $\vec{a} \ne \vec{0}$, то $\vec{a} = \vert \vec{a}\vert \vec{e}$, откуда $\vec{e} = \frac{1}{\vert \vec{a}\vert }\vec{a}$.

Произведение вектора на число определяется однозначно и обладает следующими свойствами:

* $\lambda (\mu \vec{a}) = (\lambda \mu )\vec{a}$ (ассоциативность);
* $(\lambda + \mu )\vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a}$ (дистрибутивность относительно суммы чисел);
* $\lambda (\vec{a} + \vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}$ (дистрибутивность относительно суммы векторов);
* $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ (свойство единицы).

Рассмотренные операции (сложение векторов и умножение вектора на вещественное число) называются '''линейными операциями над векторами'''.

{{Теорема
|statement=Если ненулевые векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то любой из них представим через другой, т. е. всегда найдется такое число $\alpha \ne 0$, что вектор $\vec{b} = \alpha \vec{a}$.
|proof=Рассмотрим векторы $\vec{b}$ и $\vec{c} = \alpha \vec{a}$, где $\alpha = \frac{\vert \vec{b}\vert }{\vert \vec{a}\vert}$, если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, и $\alpha = -\frac{\vert \vec {b}\vert }{\vert \vec{a}\vert }$, если $\vec{a} \uparrow \downarrow \vec{b}$.

Векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны, ибо вектор $\vec{c}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$, а вектор $\vec{a}$ по условию коллинеарен вектору $\vec{b}$. Модули векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$ равны, так как $\vert \vec{c}\vert = \frac{\vert \vec{b}\vert }{\vert \vec{a}\vert } \cdot \vert \vec{a}\vert = \vert \vec{b}\vert$. Векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ одинаково направлены по построению $\alpha$. Следовательно, $\vec{b}=\vec{c}$.
}}

[[Файл:p03-01-02-vector-operations.svg|frame|none|800px|alt=Слева сумма a + b по правилу «друг за другом», справа разность d = a − b и векторы a, 2a, −1,5a|Рис. 2. Три линейные операции. Сумма строится «друг за другом»: начало следующего вектора совпадает с концом предыдущего. Разность <math>\vec d = \vec a - \vec b</math> получается из общего начала: <math>\vec b + \vec d = \vec a</math>. При умножении на <math>\alpha</math> длина умножается на <math>|\alpha|</math>, а знак задаёт направление.]]

----

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Линейные операции над векторами - История изменений

СВ: Новая страница: «'''Вектором''' называют отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек являет...»