Множества - История изменений

St001214: /* Определения */

2021-12-31T11:51:27Z

Определения

← Предыдущая		Версия 11:51, 31 декабря 2021
Строка 1:		Строка 1:
	== Определения ~~множеств~~ ==		== Определения ==
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=

StudentL в 07:31, 28 декабря 2021

2021-12-28T07:31:43Z

← Предыдущая		Версия 07:31, 28 декабря 2021
Строка 1:		Строка 1:
			== Определения множеств ==
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=
Строка 13:		Строка 14:
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=
	Два множества называются равномощными, каждому элементу одного множества взаимно-однозначно сопоставляется один и только один элемент другого.		Два множества называются равномощными, если каждому элементу одного множества взаимно-однозначно сопоставляется один и только один элемент другого.
	}}		}}
	{{Определение		{{Определение
Строка 39:		Строка 40:
	\|definition=		\|definition=
	Множество всех подмножеств множества <math>A</math> будем обозначать <math>2^A</math>. Мощность		Множество всех подмножеств множества <math>A</math> будем обозначать <math>2^A</math>. Мощность
	множества всех подмножеств множества с <math>n</math> элементами равна <math>2^n:\ \vert 2^A \vert = 2^{\vert A \vert}</math>.		множества всех подмножеств множества с <math>n</math> элементами равна <math>2^n\colon \ \vert 2^A \vert = 2^{\vert A \vert}</math>.
	}}		}}
	{{Пример		{{Пример
Строка 59:		Строка 60:
	{{Утверждение		{{Утверждение
	\|id=mnoj		\|id=mnoj
	\|about=Основные тождества алгебры ~~логики~~		\|about=Основные тождества алгебры множеств
	\|statement=		\|statement=
	Пусть <math>A,\ B,\ C,\</math> произвольные подмножества множества <math>U</math>, тогда выполняются следующие тождества:		Пусть <math>A,\ B,\ C,\</math> произвольные подмножества множества <math>U</math>, тогда выполняются следующие тождества:
Строка 77:		Строка 78:
	<math>6)\ </math> <math>A \cup \overline{A} = U</math>; <math>\quad A \cap \overline{A} = \varnothing</math>		<math>6)\ </math> <math>A \cup \overline{A} = U</math>; <math>\quad A \cap \overline{A} = \varnothing</math>

	<math>7)\ </math> ''~~Идемпотентность~~:'' <math>\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}</math>; <math>\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}</math>		<math>7)\ </math> ''Законы де Моргана:'' <math>\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}</math>; <math>\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}</math>

	<math>8)\ </math> ''~~Законы де Моргана~~:'' <math>A \cup A = A</math>; <math>\quad A \cap A = A</math>		<math>8)\ </math> ''Идемпотентность:'' <math>A \cup A = A</math>; <math>\quad A \cap A = A</math>

	<math>9)\ </math> ''Законы поглощения'' <math>A \cap \left ( A \cup C \right ) = A;</math> <math>\quad A \cup \left ( B \cap C \right ) = A</math>		<math>9)\ </math> ''Законы поглощения'' <math>A \cap \left ( A \cup B \right ) = A;</math> <math>\quad A \cup \left ( A \cap B \right ) = A</math>

	<math>10)\ </math> ''Инволютивный закон'' <math>\overline{\overline{A}} = A</math>		<math>10)\ </math> ''Инволютивный закон'' <math>\overline{\overline{A}} = A</math>
	Доказательства тождеств следуют из ~~определения~~ операций над множествами.		Доказательства тождеств следуют из определений операций над множествами.
	}}		}}

StudentL: Новая страница: «{{Определение |definition= Множество {{---}} любая совокупность элементов одной природы, мыслима...»

2021-12-27T13:40:32Z

Новая страница: «{{Определение |definition= Множество {{---}} любая совокупность элементов одной природы, мыслима...»

Новая страница

{{Определение
|definition=
Множество {{---}} любая совокупность элементов одной природы, мыслимая как единое целое.
}}
{{Определение
|definition=
Пустое множество {{---}} множество, не содержащее элементов. Обозначается <math>\varnothing</math>.
}}
{{Определение
|definition=
Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
}}
{{Определение
|definition=
Два множества называются равномощными, каждому элементу одного множества взаимно-однозначно сопоставляется один и только один элемент другого.
}}
{{Определение
|definition=
Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел <math>\N</math>, называют ''счетным множеством''.
}}
{{Определение
|definition=
Мощность множества {{---}} количество элементов множества. Обозначают <math>\vert A \vert</math>. Используется для конечных множеств.
}}

== Подмножества ==
{{Определение
|definition=
Обозначают <math>A \subseteq B</math> и говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> является элементом множества <math>B</math>.
}}
Если также известно, что <math>A \neq B</math>, говорят, что <math>A</math> является собственным (или
строгим) подмножеством множества <math></math> и пишут <math>A \subset B</math>.
{{Пример
|content=
1) <math>\{ 1,\ 3 \} \subset \{ 3,\ 5,\ 1,\ 4 \}</math> <br />
2) <math>\{ k,\ l,\ j \} \subseteq \{ l,\ j,\ k \} </math>
}}
{{Определение
|definition=
Множество всех подмножеств множества <math>A</math> будем обозначать <math>2^A</math>. Мощность
множества всех подмножеств множества с <math>n</math> элементами равна <math>2^n:\ \vert 2^A \vert = 2^{\vert A \vert}</math>.
}}
{{Пример
|content=
Пусть <math>A = \{ a,\ b,\ c \}</math>. Тогда <math>2^A = \{ \varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a,\ b\},\ \{a,\ c\},\ \{b,\ c\},\ \{A\} \}</math>.
Видно, что в этом множестве <math>2^{\vert A \vert} = 2^3 = 8</math> элементов.
}}
== Операции над множествами ==
=== Объединение множеств ===
<math>A \cup B = \{ x \mid x \in A\ </math> или <math>\ x \in B \}</math>
=== Пересечение множеств ===
<math>A \cap B = \{ x \mid x \in A\ </math> и <math>\ x \in B \}</math>
=== Дополнение множества ===
<math>\overline{A} = \{ x \mid x \in U\ </math> и <math>\ x \notin A \}</math>, где <math>U</math> {{---}} универсальное множество.
=== Разность множеств ===
<math>A\ \backslash\ B = \{ x \mid x \in A\ </math> и <math>\ x \notin B \}</math>
=== Симметрическая разность множеств ===
<math>A\ \dot - \ B = \left ( A\ \backslash\ B \right ) \cup \left ( B\ \backslash\ A \right )</math>
{{Утверждение
|id=mnoj
|about=Основные тождества алгебры логики
|statement=
Пусть <math>A,\ B,\ C,\</math> произвольные подмножества множества <math>U</math>, тогда выполняются следующие тождества:

<math>1)\ </math> ''Коммутативность:'' <math>\ a)\ </math> <math>A \cup B = B \cup A ;\quad</math> <math>b)\ A \cap B = B \cap A</math>

<math>2)\ </math> ''Ассоциативность:'' <math>\ a)\ A \cup \left ( B \cup C \right ) = \left ( A \cup B \right ) \cup C ; \quad</math> <math>b)\ A \cap \left ( B \cap C \right ) = \left (A \cap B \right ) \cap C </math>;

<math>3)\ </math> <math>a)</math> ''Дистрибутивность'' <math>\cup</math> ''относительно'' <math>\cap: \ </math> <math>A \cup \left ( B \cap C \right ) = \left ( A \cup B \right ) \cap \left ( A \cup C \right )</math>

<math>\quad\ \ b)</math> ''Дистрибутивность'' <math>\cap</math> ''относительно'' <math>\cup: \ </math> <math>A \cap \left ( B \cup C \right ) = \left ( A \cap B \right ) \cup \left ( A \cap C \right )</math>

<math>4)\ </math> <math>A \cup \varnothing = A</math>; <math>\quad A \cap \varnothing = \varnothing</math>

<math>5)\ </math> <math>A \cup U = U</math>; <math>\ A \cap U = A</math>

<math>6)\ </math> <math>A \cup \overline{A} = U</math>; <math>\quad A \cap \overline{A} = \varnothing</math>

<math>7)\ </math> ''Идемпотентность:'' <math>\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}</math>; <math>\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}</math>

<math>8)\ </math> ''Законы де Моргана:'' <math>A \cup A = A</math>; <math>\quad A \cap A = A</math>

<math>9)\ </math> ''Законы поглощения'' <math>A \cap \left ( A \cup C \right ) = A;</math> <math>\quad A \cup \left ( B \cap C \right ) = A</math>

<math>10)\ </math> ''Инволютивный закон'' <math>\overline{\overline{A}} = A</math>
Доказательства тождеств следуют из определения операций над множествами.
}}