Множества - История изменений

СВ: /* Прямое произведение множеств */

2026-10-24T09:31:40Z

Прямое произведение множеств

← Предыдущая		Версия 09:31, 24 октября 2026
Строка 115:		Строка 115:
	Если речь будет идти о прямом произведении множества на себя, то будем заменять запись нескольких множеств на знак степени:		Если речь будет идти о прямом произведении множества на себя, то будем заменять запись нескольких множеств на знак степени:
	$\underbrace{A\times A \times ... \times A}_t = A^t.$		$\underbrace{A\times A \times ... \times A}_t = A^t.$

			[[Файл:p06-01-cartesian-product.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Таблица пар от (a1,b1) до (a3,b2): три строки на две колонки, всего шесть пар\|Рис. 1. Каждая клетка таблицы — упорядоченная пара <math>(a_i, b_j)</math>. Три строки на две колонки дают <math>3\cdot 2 = 6</math> пар; порядок внутри пары важен.]]


	Конспект: [[Дискретная математика]]		Конспект: [[Дискретная математика]]

СВ: /* Подмножества */

2026-10-24T09:29:47Z

Подмножества

← Предыдущая		Версия 09:29, 24 октября 2026
Строка 51:		Строка 51:
	Видно, что в этом множестве <math>2^{\vert A \vert} = 2^3 = 8</math> элементов.		Видно, что в этом множестве <math>2^{\vert A \vert} = 2^3 = 8</math> элементов.
	}}		}}

			[[Файл:p04-01-powerset-lattice.svg\|frame\|none\|900px\|alt=Все восемь подмножеств множества из трёх элементов, упорядоченные по размеру и соединённые линиями включения\|Рис. 1. Все восемь подмножеств <math>A=\{a,b,c\}</math> расположены по числу элементов; линия означает включение. Каждый элемент либо входит, либо нет, поэтому <math>\|2^A\| = 2^3 = 8</math>.]]

	== Операции над множествами ==		== Операции над множествами ==
	=== Объединение множеств ===		=== Объединение множеств ===

СВ: /* Определения */

2026-10-24T09:28:07Z

Определения

← Предыдущая		Версия 09:28, 24 октября 2026
Строка 16:		Строка 16:
	Два множества называются равномощными, если каждому элементу одного множества взаимно-однозначно сопоставляется один и только один элемент другого.		Два множества называются равномощными, если каждому элементу одного множества взаимно-однозначно сопоставляется один и только один элемент другого.
	}}		}}

			[[Файл:p03-01-set-equality-nesting.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Равные множества {2,4,6} и {4,2,6}; ниже множество {a,b} как элемент множества {{a,b}}\|Рис. 1. Сверху порядок перечисления не влияет на равенство: <math>\{2,4,6\} = \{4,2,6\}</math>. Снизу <math>\{a,b\}</math> — элемент множества <math>\{\{a,b\}\}</math>, поэтому <math>a</math> принадлежит внутреннему множеству, но не внешнему.]]


	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=

СВ: /* Операции над множествами */

2026-10-23T22:15:14Z

Операции над множествами

← Предыдущая		Версия 22:15, 23 октября 2026
Строка 56:		Строка 56:
	=== Разность множеств ===		=== Разность множеств ===
	<math>A\ \backslash\ B = \{ x \mid x \in A\ </math> и <math>\ x \notin B \}</math>		<math>A\ \backslash\ B = \{ x \mid x \in A\ </math> и <math>\ x \notin B \}</math>

			[[Файл:p05-01-basic-operations.svg\|frame\|none\|1000px\|alt=Диаграммы Венна: объединение, пересечение, дополнение и разность множеств A и B внутри универсального множества U\|Рис. 1. Базовые операции над множествами. Заштрихована область, которая является результатом операции; прямоугольник <math>U</math> — универсальное множество.]]

	=== Симметрическая разность множеств ===		=== Симметрическая разность множеств ===
	<math>A\ \dot - \ B = \left ( A\ \backslash\ B \right ) \cup \left ( B\ \backslash\ A \right )</math>		<math>A\ \dot - \ B = \left ( A\ \backslash\ B \right ) \cup \left ( B\ \backslash\ A \right )</math>

			[[Файл:p05-02-symmetric-difference.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Симметрическая разность A и B как объединение A без B и B без A, а также как объединение без пересечения\|Рис. 2. Симметрическая разность: объединение разностей <math>A \setminus B</math> и <math>B \setminus A</math> (слева) и удаление пересечения из объединения (справа).]]

	{{Утверждение		{{Утверждение
	\|id=mnoj		\|id=mnoj
Строка 87:		Строка 93:
	Доказательства тождеств следуют из определений операций над множествами.		Доказательства тождеств следуют из определений операций над множествами.
	}}		}}

			[[Файл:p05-03-de-morgan.svg\|frame\|none\|1000px\|alt=Законы де Моргана на диаграммах Венна: дополнение объединения и дополнение пересечения\|Рис. 3. Законы де Моргана: дополнение объединения — это пересечение дополнений, а дополнение пересечения — объединение дополнений. Заштрихован результат.]]


	=== Прямое произведение множеств ===		=== Прямое произведение множеств ===

СВ: /* Операции над множествами */

2026-10-09T19:20:19Z

Операции над множествами

← Предыдущая		Версия 19:20, 9 октября 2026
Строка 87:		Строка 87:
	Доказательства тождеств следуют из определений операций над множествами.		Доказательства тождеств следуют из определений операций над множествами.
	}}		}}

			=== Прямое произведение множеств ===
			Пусть $A=\{a_1,a_2,...,a_k\}$, $B=\{b_1,b_2,...,b_l\}$,
			$A\times B = \{(a_1,b_1),(a_1,b_2),...,(a_1,b_l),(a_2,b_1),...,(a_k,b_l)\}= \{(a,b) \| a\in A, b\in B\}$
			{{---}} прямое (декартово) произведение множеств $A$ и $B$.

			Во многих случаях порядок проведения операций произведения не важен. Тогда считают, что $A\times(B\times C) = (A\times B) \times C = \{(a,b,c) \| a\in A, b\in B, c\in C\}.$

			Аналогично определяется прямое произведение любого конечного числа множеств.
			$A_1\times A_2 \times ... \times A_t = \{(a_1,a_2,...,a_t) \| a_i\in A_i, i=\overline{1,t} \}$
			Если речь будет идти о прямом произведении множества на себя, то будем заменять запись нескольких множеств на знак степени:
			$\underbrace{A\times A \times ... \times A}_t = A^t.$


	Конспект: [[Дискретная математика]]		Конспект: [[Дискретная математика]]

СВ: /* Симметрическая разность множеств */

2026-10-09T19:13:03Z

Симметрическая разность множеств

← Предыдущая		Версия 19:13, 9 октября 2026
Строка 87:		Строка 87:
	Доказательства тождеств следуют из определений операций над множествами.		Доказательства тождеств следуют из определений операций над множествами.
	}}		}}

			Конспект: [[Дискретная математика]]

St001214: /* Определения */

2021-12-31T11:51:27Z

Определения

← Предыдущая		Версия 11:51, 31 декабря 2021
Строка 1:		Строка 1:
	== Определения ~~множеств~~ ==		== Определения ==
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=

StudentL в 07:31, 28 декабря 2021

2021-12-28T07:31:43Z

← Предыдущая		Версия 07:31, 28 декабря 2021
Строка 1:		Строка 1:
			== Определения множеств ==
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=
Строка 13:		Строка 14:
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=
	Два множества называются равномощными, каждому элементу одного множества взаимно-однозначно сопоставляется один и только один элемент другого.		Два множества называются равномощными, если каждому элементу одного множества взаимно-однозначно сопоставляется один и только один элемент другого.
	}}		}}
	{{Определение		{{Определение
Строка 39:		Строка 40:
	\|definition=		\|definition=
	Множество всех подмножеств множества <math>A</math> будем обозначать <math>2^A</math>. Мощность		Множество всех подмножеств множества <math>A</math> будем обозначать <math>2^A</math>. Мощность
	множества всех подмножеств множества с <math>n</math> элементами равна <math>2^n:\ \vert 2^A \vert = 2^{\vert A \vert}</math>.		множества всех подмножеств множества с <math>n</math> элементами равна <math>2^n\colon \ \vert 2^A \vert = 2^{\vert A \vert}</math>.
	}}		}}
	{{Пример		{{Пример
Строка 59:		Строка 60:
	{{Утверждение		{{Утверждение
	\|id=mnoj		\|id=mnoj
	\|about=Основные тождества алгебры ~~логики~~		\|about=Основные тождества алгебры множеств
	\|statement=		\|statement=
	Пусть <math>A,\ B,\ C,\</math> произвольные подмножества множества <math>U</math>, тогда выполняются следующие тождества:		Пусть <math>A,\ B,\ C,\</math> произвольные подмножества множества <math>U</math>, тогда выполняются следующие тождества:
Строка 77:		Строка 78:
	<math>6)\ </math> <math>A \cup \overline{A} = U</math>; <math>\quad A \cap \overline{A} = \varnothing</math>		<math>6)\ </math> <math>A \cup \overline{A} = U</math>; <math>\quad A \cap \overline{A} = \varnothing</math>

	<math>7)\ </math> ''~~Идемпотентность~~:'' <math>\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}</math>; <math>\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}</math>		<math>7)\ </math> ''Законы де Моргана:'' <math>\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}</math>; <math>\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}</math>

	<math>8)\ </math> ''~~Законы де Моргана~~:'' <math>A \cup A = A</math>; <math>\quad A \cap A = A</math>		<math>8)\ </math> ''Идемпотентность:'' <math>A \cup A = A</math>; <math>\quad A \cap A = A</math>

	<math>9)\ </math> ''Законы поглощения'' <math>A \cap \left ( A \cup C \right ) = A;</math> <math>\quad A \cup \left ( B \cap C \right ) = A</math>		<math>9)\ </math> ''Законы поглощения'' <math>A \cap \left ( A \cup B \right ) = A;</math> <math>\quad A \cup \left ( A \cap B \right ) = A</math>

	<math>10)\ </math> ''Инволютивный закон'' <math>\overline{\overline{A}} = A</math>		<math>10)\ </math> ''Инволютивный закон'' <math>\overline{\overline{A}} = A</math>
	Доказательства тождеств следуют из ~~определения~~ операций над множествами.		Доказательства тождеств следуют из определений операций над множествами.
	}}		}}

StudentL: Новая страница: «{{Определение |definition= Множество {{---}} любая совокупность элементов одной природы, мыслима...»

2021-12-27T13:40:32Z

Новая страница: «{{Определение |definition= Множество {{---}} любая совокупность элементов одной природы, мыслима...»

Новая страница

{{Определение
|definition=
Множество {{---}} любая совокупность элементов одной природы, мыслимая как единое целое.
}}
{{Определение
|definition=
Пустое множество {{---}} множество, не содержащее элементов. Обозначается <math>\varnothing</math>.
}}
{{Определение
|definition=
Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
}}
{{Определение
|definition=
Два множества называются равномощными, каждому элементу одного множества взаимно-однозначно сопоставляется один и только один элемент другого.
}}
{{Определение
|definition=
Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел <math>\N</math>, называют ''счетным множеством''.
}}
{{Определение
|definition=
Мощность множества {{---}} количество элементов множества. Обозначают <math>\vert A \vert</math>. Используется для конечных множеств.
}}

== Подмножества ==
{{Определение
|definition=
Обозначают <math>A \subseteq B</math> и говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> является элементом множества <math>B</math>.
}}
Если также известно, что <math>A \neq B</math>, говорят, что <math>A</math> является собственным (или
строгим) подмножеством множества <math></math> и пишут <math>A \subset B</math>.
{{Пример
|content=
1) <math>\{ 1,\ 3 \} \subset \{ 3,\ 5,\ 1,\ 4 \}</math> <br />
2) <math>\{ k,\ l,\ j \} \subseteq \{ l,\ j,\ k \} </math>
}}
{{Определение
|definition=
Множество всех подмножеств множества <math>A</math> будем обозначать <math>2^A</math>. Мощность
множества всех подмножеств множества с <math>n</math> элементами равна <math>2^n:\ \vert 2^A \vert = 2^{\vert A \vert}</math>.
}}
{{Пример
|content=
Пусть <math>A = \{ a,\ b,\ c \}</math>. Тогда <math>2^A = \{ \varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a,\ b\},\ \{a,\ c\},\ \{b,\ c\},\ \{A\} \}</math>.
Видно, что в этом множестве <math>2^{\vert A \vert} = 2^3 = 8</math> элементов.
}}
== Операции над множествами ==
=== Объединение множеств ===
<math>A \cup B = \{ x \mid x \in A\ </math> или <math>\ x \in B \}</math>
=== Пересечение множеств ===
<math>A \cap B = \{ x \mid x \in A\ </math> и <math>\ x \in B \}</math>
=== Дополнение множества ===
<math>\overline{A} = \{ x \mid x \in U\ </math> и <math>\ x \notin A \}</math>, где <math>U</math> {{---}} универсальное множество.
=== Разность множеств ===
<math>A\ \backslash\ B = \{ x \mid x \in A\ </math> и <math>\ x \notin B \}</math>
=== Симметрическая разность множеств ===
<math>A\ \dot - \ B = \left ( A\ \backslash\ B \right ) \cup \left ( B\ \backslash\ A \right )</math>
{{Утверждение
|id=mnoj
|about=Основные тождества алгебры логики
|statement=
Пусть <math>A,\ B,\ C,\</math> произвольные подмножества множества <math>U</math>, тогда выполняются следующие тождества:

<math>1)\ </math> ''Коммутативность:'' <math>\ a)\ </math> <math>A \cup B = B \cup A ;\quad</math> <math>b)\ A \cap B = B \cap A</math>

<math>2)\ </math> ''Ассоциативность:'' <math>\ a)\ A \cup \left ( B \cup C \right ) = \left ( A \cup B \right ) \cup C ; \quad</math> <math>b)\ A \cap \left ( B \cap C \right ) = \left (A \cap B \right ) \cap C </math>;

<math>3)\ </math> <math>a)</math> ''Дистрибутивность'' <math>\cup</math> ''относительно'' <math>\cap: \ </math> <math>A \cup \left ( B \cap C \right ) = \left ( A \cup B \right ) \cap \left ( A \cup C \right )</math>

<math>\quad\ \ b)</math> ''Дистрибутивность'' <math>\cap</math> ''относительно'' <math>\cup: \ </math> <math>A \cap \left ( B \cup C \right ) = \left ( A \cap B \right ) \cup \left ( A \cap C \right )</math>

<math>4)\ </math> <math>A \cup \varnothing = A</math>; <math>\quad A \cap \varnothing = \varnothing</math>

<math>5)\ </math> <math>A \cup U = U</math>; <math>\ A \cap U = A</math>

<math>6)\ </math> <math>A \cup \overline{A} = U</math>; <math>\quad A \cap \overline{A} = \varnothing</math>

<math>7)\ </math> ''Идемпотентность:'' <math>\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}</math>; <math>\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}</math>

<math>8)\ </math> ''Законы де Моргана:'' <math>A \cup A = A</math>; <math>\quad A \cap A = A</math>

<math>9)\ </math> ''Законы поглощения'' <math>A \cap \left ( A \cup C \right ) = A;</math> <math>\quad A \cup \left ( B \cap C \right ) = A</math>

<math>10)\ </math> ''Инволютивный закон'' <math>\overline{\overline{A}} = A</math>
Доказательства тождеств следуют из определения операций над множествами.
}}