Мультиномиальная формула Ньютона - История изменений

СВ в 13:27, 24 октября 2026

2026-10-24T13:27:58Z

← Предыдущая		Версия 13:27, 24 октября 2026
Строка 30:		Строка 30:

	Что и требовалось доказать.		Что и требовалось доказать.

			[[Файл:p21-01-multinomial-coefficients.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Три перестановки слова xxy и шесть перестановок xyz с формулами коэффициентов 3!/(2!1!)=3 и 3!/(1!1!1!)=6\|Рис. 1. Коэффициент при <math>x^2y</math> равен <math>3!/(2!1!)=3</math>: слово из двух <math>x</math> и одного <math>y</math> имеет три порядка. Коэффициент при <math>xyz</math> равен <math>3!/(1!1!1!)=6</math> — все перестановки трёх разных букв.]]

	Легко доказать следующее свойство мультиномиальных коэффициентов:		Легко доказать следующее свойство мультиномиальных коэффициентов:

СВ в 19:41, 9 октября 2026

2026-10-09T19:41:12Z

← Предыдущая		Версия 19:41, 9 октября 2026
Строка 45:		Строка 45:

	Следует из утверждения для мультиномиальной формулы Ньютона при подстановке $x_i = 1$, $i=\overline{1,k}$.		Следует из утверждения для мультиномиальной формулы Ньютона при подстановке $x_i = 1$, $i=\overline{1,k}$.

			Конспект: [[Дискретная математика]]

СВ: Новая страница: « $(x_1 + x_2 + ... + x_k)^m = \sum_{\substack{(\alpha_1, ..., \alpha_k), alpha_1+\alpha_2 + ... + \alpha_k=m, \alpha_i\in\mathbb{N}_0, i=\overline{1,k} }} \...»$

2026-10-09T19:40:40Z

Новая страница: «<math> (x_1 + x_2 + ... + x_k)^m = \sum_{\substack{(\alpha_1, ..., \alpha_k), alpha_1+\alpha_2 + ... + \alpha_k=m, \alpha_i\in\mathbb{N}_0, i=\overline{1,k} }} \...»

Новая страница

<math>
(x_1 + x_2 + ... + x_k)^m = \sum_{\substack{(\alpha_1, ..., \alpha_k), alpha_1+\alpha_2 + ... + \alpha_k=m, \alpha_i\in\mathbb{N}_0, i=\overline{1,k} }}
\frac{m!}{\alpha_1!\alpha_2!...\alpha_k!} x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} ... x_k^{\alpha_k}.
</math>

Докажем по индукции. Для $k=2$ утверждение верно в силу формулы бинома Ньютона.
Действительно,
$\sum_{\substack{(\alpha_1,\alpha_2), \alpha_1+\alpha_2 =n, \alpha_1, \alpha_2\in\mathbb{N}_0 }}
\frac{n!}{\alpha_1!\alpha_2!} a^{\alpha_1} b^{\alpha_2} =
\sum_{\substack{k\in \{0,...,n\}, \alpha_1=k, \alpha_2 = n-k }}
\binom{n}{\alpha_1} a^{\alpha_1} b^{\alpha_2} =
\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = (a+b)^n.
$

Пусть утверждение верно для всех $k\leq K$ для любых $m$.

Пусть теперь $k=K+1$.
$(x_1 + x_2 + ... + x_K + x_{K+1})^m = ((x_1 + ... + x_K) + x_{K+1})^m =$

по индукционному предположению

$\sum_{\substack{\alpha+\beta = m,\\ \alpha, \beta\in\mathbb{N}_0}} \frac{m!}{\alpha!\beta!} (x_1 + ... + x_K)^\alpha x_{K+1}^{\beta} = $

$\sum_{\substack{\alpha+\beta = m,\\ \alpha, \beta\in\mathbb{N}_0}} \frac{m!}{\alpha!\beta!} x_{K+1}^{\beta}
\sum_{\substack{(\alpha_1, ..., \alpha_K), \alpha_1+\alpha_2 + ... + \alpha_K=\alpha, \alpha_i\in\mathbb{N}_0, i=\overline{1,K} }}
\frac{\alpha!}{\alpha_1!\alpha_2!...\alpha_K!} x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} ... x_K^{\alpha_K}=$

$= \sum_{\substack{(\alpha_1, ..., \alpha_K, \beta), \alpha_1+\alpha_2 + ... + \alpha_K+\beta=m, \alpha_i\in\mathbb{N}_0, i=\overline{1,K}, \beta\in\mathbb{N}_0 }}
\frac{m!}{\alpha_1!\alpha_2!...\alpha_K!\beta!} x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} ... x_K^{\alpha_K} x_{K+1}^{\beta}$.

Что и требовалось доказать.

Легко доказать следующее свойство мультиномиальных коэффициентов:

{{Следствие
|statement=Пусть $m\in\mathbb{N}_0$.

<math>
\sum_{\substack{(\alpha_1, ..., \alpha_k),\\
\alpha_1+\alpha_2 + ... + \alpha_k=m,\\
\alpha_i\in\mathbb{N}_0, i=\overline{1,k} }}
\binom{m}{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_k} = k^m
</math>
}}

Следует из утверждения для мультиномиальной формулы Ньютона при подстановке $x_i = 1$, $i=\overline{1,k}$.

Мультиномиальная формула Ньютона - История изменений

СВ в 13:27, 24 октября 2026

СВ в 19:41, 9 октября 2026

СВ: Новая страница: « (x_1 + x_2 + ... + x_k)^m = \sum_{\substack{(\alpha_1, ..., \alpha_k), alpha_1+\alpha_2 + ... + \alpha_k=m, \alpha_i\in\mathbb{N}_0, i=\overline{1,k} }} \...»

СВ: Новая страница: « $(x_1 + x_2 + ... + x_k)^m = \sum_{\substack{(\alpha_1, ..., \alpha_k), alpha_1+\alpha_2 + ... + \alpha_k=m, \alpha_i\in\mathbb{N}_0, i=\overline{1,k} }} \...»$