Определители второго и третьего порядка - История изменений

St001214 в 14:54, 6 июля 2022

2022-07-06T14:54:49Z

← Предыдущая		Версия 14:54, 6 июля 2022
Строка 1:		Строка 1:
			Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
			\begin{equation}
			\left\{\begin{array}{l}
			\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 = \beta_{1}, \\
			\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 = \beta_2,
			\end{array}\right.
			\end{equation}
			где $\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \beta_{1}, \beta_2$ — заданные числа. В матричной записи систему можно представить в виде ${\bf A}x={\bf b}$, где
			\begin{equation}
			{\bf A} = \left(\begin{array}{cc}
			\alpha_{11} & \alpha_{12} \\
			\alpha_{21} & \alpha_{22}
			\end{array}\right),
			x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \end{array}\right),
			b = \left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_2 \end{array}\right).
			\end{equation}

			Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22}$, а второе — на $(-\alpha_{12})$. Складывая полученные равенства, получи
			$(\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} ) \xi_{1} = (\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12}).$

			Предположим, что $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} \ne 0$, тогда
			\begin{equation}
			\xi_{1} = \frac{\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
			\end{equation}

			Аналогично, умножая первое равенство на $(-\alpha_{21})$, второе — на $\alpha_{11}$, и складывая, получаем
			\begin{equation}
			\xi_2 =\frac{\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
			\end{equation}

			Полученные $\xi_{1}$ и $\xi_2$ являются решением исходной системы уравнений.

	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=
	Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.		Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.
	}}		}}

			<p>Определитель второго порядка матрицы ${\bf А}$ обозначается $\det {\bf A}$ или
			$\left\| \begin{array}{cc}
			\alpha_{11} & \alpha_{12} \\
			\alpha_{21} & \alpha_{22}
			\end{array}\right\|$.
			</p>

			<p>Заметим, что $\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} = \left\|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right\|$, $\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} = \left\|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right\|$.
			Поэтому соотношения для $\xi_{1}$ и $\xi_2$ можно представить в виде
			\begin{equation}
			\xi_{1} = \frac{\left\|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right\|} {\det {\bf A}},
			\xi_2 = \frac{\left\|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right\|} {\det {\bf A}}.
			\end{equation}
			Эти формулы называются ''формулами Крамера'' для решения системы уравнений.
			</p>

			Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
			\begin{equation}
			\left\{\begin{array}{l}
			\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 + \alpha_{13} \xi_3 = \beta_{1},\\
			\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 + \alpha_{23} \xi_3 = \beta_2,\\
			\alpha_{31} \xi_{1} + \alpha_{32} \xi_2 + \alpha_{33} \xi_3 = \beta_3.
			\end{array}\right.
			\end{equation}
			В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где
			\begin{equation}
			A = \left(\begin{array}{ccc}
			\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
			\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
			\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
			\end{array}\right),
			x = \left(\begin{array}{c}
			\xi_{1} \\ \xi_2 \\ \xi_3
			\end{array}\right),
			b = \left(\begin{array}{c}
			\beta_{1} \\ \beta_2 \\ \beta_3
			\end{array}\right).
			\end{equation}

			Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}$, второе — на $\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}$, третье — на $\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}$. Складывая полученные равенства, имеем
			\begin{equation}
			[\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})]\xi_{1}
			= \beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}).
			\end{equation}

			Если выражение
			\begin{equation}
			\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} -\alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})
			= \alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31}
			\end{equation}
			не равно нулю, то
			\begin{equation}
			\xi_{1} = \frac{\beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
			\end{equation}

			Аналогично находим
			\begin{equation}
			\xi_2 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{21} \alpha_{33}) + \beta_2 (\alpha_{11} \alpha_{33} - \alpha_{13} \alpha_{31}) + \beta_3 (\alpha_{13} \alpha_{21} - \alpha_{11} \alpha_{23})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} },
			\end{equation}
			а затем
			\begin{equation}
			\xi_3 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{22} \alpha_{31}) + \beta_2 (\alpha_{12} \alpha_{31} - \alpha_{11} \alpha_{32}) + \beta_3 (\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
			\end{equation}

			Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок
			\begin{equation}
			\left\|\begin{array}{ccc}
			\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
			\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
			\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
			\end{array}\right\|.
			\end{equation}

			Для решения системы с тремя неизвестными также справедливы формулы Крамера
			\begin{equation}
			\xi_{1} = \frac{\left\|\begin{array}{ccc}
			\beta_{1} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
			\beta_2 & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
			\beta_3 & \alpha_{32} & \alpha_{33}
			\end{array}\right\|}{\det {\bf A}},
			\xi_2 = \frac{\left\|\begin{array}{ccc}
			\alpha_{11} & \beta_{1} & \alpha_{13} \\
			\alpha_{21} & \beta_2 & \alpha_{23} \\
			\alpha_{31} & \beta_3 & \alpha_{33}
			\end{array}\right\|}{\det {\bf A}},
			\xi_3 = \frac{\left\|\begin{array}{ccc}
			\alpha_{11} & \alpha_{12} & \beta_{1} \\
			\alpha_{21} & \alpha_{22} & \beta_2 \\
			\alpha_{31} & \alpha_{32} & \beta_3
			\end{array}\right\|}{\det {\bf A}}.
			\end{equation}

St001214: Содержимое страницы заменено на «{{Определение |definition= Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''...»

2022-07-06T14:54:31Z

Содержимое страницы заменено на «{{Определение |definition= Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''...»

← Предыдущая		Версия 14:54, 6 июля 2022
Строка 1:		Строка 1:
	~~Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными~~
	~~\begin{equation}~~
	~~\left\{\begin{array}{l}~~
	~~\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 = \beta_{1}, \\~~
	~~\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 = \beta_2,~~
	~~\end{array}\right.~~
	~~\end{equation}~~
	где $\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \beta_{1}, \beta_2$ — заданные числа. В матричной записи систему можно представить в виде ${\bf A}x={\bf b}$, где
	~~\begin{equation}~~
	~~{\bf A} = \left(\begin{array}{cc}~~
	~~\alpha_{11} & \alpha_{12} \\~~
	~~\alpha_{21} & \alpha_{22}~~
	~~\end{array}\right),~~
	~~x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \end{array}\right),~~
	~~b = \left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_2 \end{array}\right).~~
	~~\end{equation}~~

	Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22}$, а второе — на $(-\alpha_{12})$. Складывая полученные равенства, получи
	~~$(\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} ) \xi_{1} = (\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12}).$~~

	~~Предположим, что $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} \ne 0$, тогда~~
	~~\begin{equation}~~
	~~\xi_{1} = \frac{\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.~~
	~~\end{equation}~~

	~~Аналогично, умножая первое равенство на $(-\alpha_{21})$, второе — на $\alpha_{11}$, и складывая, получаем~~
	~~\begin{equation}~~
	~~\xi_2 =\frac{\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.~~
	~~\end{equation}~~

	~~Полученные $\xi_{1}$ и $\xi_2$ являются решением исходной системы уравнений.~~

	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=
	Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.		Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.
	}}		}}

	~~<p>Определитель второго порядка матрицы ${\bf А}$ обозначается $\det {\bf A}$ или~~
	~~$\left\| \begin{array}{cc}~~
	~~\alpha_{11} & \alpha_{12} \\~~
	~~\alpha_{21} & \alpha_{22}~~
	~~\end{array}\right\|$.~~
	~~</p>~~

	<p>Заметим, что $\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} = \left\|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right\|$, $\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} = \left\|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right\|$.
	~~Поэтому соотношения для $\xi_{1}$ и $\xi_2$ можно представить в виде~~
	~~\begin{equation}~~
	~~\xi_{1} = \frac{\left\|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right\|} {\det {\bf A}},~~
	~~\xi_2 = \frac{\left\|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right\|} {\det {\bf A}}.~~
	~~\end{equation}~~
	~~Эти формулы называются ''формулами Крамера'' для решения системы уравнений.~~
	~~</p>~~

	~~Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:~~
	~~\begin{equation}~~
	~~\left\{\begin{array}{l}~~
	~~\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 + \alpha_{13} \xi_3 = \beta_{1},\\~~
	~~\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 + \alpha_{23} \xi_3 = \beta_2,\\~~
	~~\alpha_{31} \xi_{1} + \alpha_{32} \xi_2 + \alpha_{33} \xi_3 = \beta_3.~~
	~~\end{array}\right.~~
	~~\end{equation}~~
	~~В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где~~
	~~\begin{equation}~~
	~~A = \left(\begin{array}{ccc}~~
	~~\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\~~
	~~\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\~~
	~~\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}~~
	~~\end{array}\right),~~
	~~x = \left(\begin{array}{c}~~
	~~\xi_{1} \\ \xi_2 \\ \xi_3~~
	~~\end{array}\right),~~
	~~b = \left(\begin{array}{c}~~
	~~\beta_{1} \\ \beta_2 \\ \beta_3~~
	~~\end{array}\right).~~
	~~\end{equation}~~

	Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}$, второе — на $\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}$, третье — на $\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}$. Складывая полученные равенства, имеем
	~~\begin{equation}~~
	[\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})]\xi_{1}
	~~= \beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}).~~
	~~\end{equation}~~

	~~Если выражение~~
	~~\begin{equation}~~
	~~\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} -\alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})~~
	= \alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31}
	~~\end{equation}~~
	~~не равно нулю, то~~
	~~\begin{equation}~~
	\xi_{1} = \frac{\beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
	~~\end{equation}~~

	~~Аналогично находим~~
	~~\begin{equation}~~
	\xi_2 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{21} \alpha_{33}) + \beta_2 (\alpha_{11} \alpha_{33} - \alpha_{13} \alpha_{31}) + \beta_3 (\alpha_{13} \alpha_{21} - \alpha_{11} \alpha_{23})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} },
	~~\end{equation}~~
	~~а затем~~
	~~\begin{equation}~~
	\xi_3 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{22} \alpha_{31}) + \beta_2 (\alpha_{12} \alpha_{31} - \alpha_{11} \alpha_{32}) + \beta_3 (\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
	~~\end{equation}~~

	Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок
	~~\begin{equation}~~
	~~\left\|\begin{array}{ccc}~~
	~~\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\~~
	~~\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\~~
	~~\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}~~
	~~\end{array}\right\|.~~
	~~\end{equation}~~

	~~Для решения системы с тремя неизвестными также справедливы формулы Крамера~~
	~~\begin{equation}~~
	~~\xi_{1} = \frac{\left\|\begin{array}{ccc}~~
	~~\beta_{1} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\~~
	~~\beta_2 & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\~~
	~~\beta_3 & \alpha_{32} & \alpha_{33}~~
	~~\end{array}\right\|}{\det {\bf A}},~~
	~~\xi_2 = \frac{\left\|\begin{array}{ccc}~~
	~~\alpha_{11} & \beta_{1} & \alpha_{13} \\~~
	~~\alpha_{21} & \beta_2 & \alpha_{23} \\~~
	~~\alpha_{31} & \beta_3 & \alpha_{33}~~
	~~\end{array}\right\|}{\det {\bf A}},~~
	~~\xi_3 = \frac{\left\|\begin{array}{ccc}~~
	~~\alpha_{11} & \alpha_{12} & \beta_{1} \\~~
	~~\alpha_{21} & \alpha_{22} & \beta_2 \\~~
	~~\alpha_{31} & \alpha_{32} & \beta_3~~
	~~\end{array}\right\|}{\det {\bf A}}.~~
	~~\end{equation}~~

St001214 в 14:50, 6 июля 2022

2022-07-06T14:50:03Z

Внесённые изменения

СВ в 18:25, 23 ноября 2021

2021-11-23T18:25:01Z

← Предыдущая		Версия 18:25, 23 ноября 2021
Строка 1:		Строка 1:
	Полезные ссылки:		== Полезные ссылки ==
	*[https://www.youtube.com/watch?v=WBDOB2q7bbU&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=8 KhunAcademyRussian - Нахождение детерминанта(определителя) матрицы второго порядка]		* [https://www.youtube.com/watch?v=WBDOB2q7bbU&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=8 KhunAcademyRussian: Нахождение детерминанта(определителя) матрицы второго порядка]
	*[https://www.youtube.com/watch?v=Fkbe8XyMgOg&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=12 KhanAcademyRussian - Вычисление определителя матрицы 3х3 (первый способ)]		* [https://www.youtube.com/watch?v=Fkbe8XyMgOg&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=12 KhanAcademyRussian: Вычисление определителя матрицы 3х3 (первый способ)]
	*[https://www.youtube.com/watch?v=J9ElsNvxVIs&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=13 KhanAcademyRussian - Вычисление определителя матрицы 3х3 (второй способ)]		* [https://www.youtube.com/watch?v=J9ElsNvxVIs&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=13 KhanAcademyRussian: Вычисление определителя матрицы 3х3 (второй способ)]

T.o.r.t.i.k1: Новая страница: «Полезные ссылки: *[https://www.youtube.com/watch?v=WBDOB2q7bbU&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=8 KhunAcademyRussian - Нахожден...»

2021-11-23T18:20:02Z

Новая страница: «Полезные ссылки: *[https://www.youtube.com/watch?v=WBDOB2q7bbU&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=8 KhunAcademyRussian - Нахожден...»

Новая страница

Полезные ссылки:
*[https://www.youtube.com/watch?v=WBDOB2q7bbU&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=8 KhunAcademyRussian - Нахождение детерминанта(определителя) матрицы второго порядка]
*[https://www.youtube.com/watch?v=Fkbe8XyMgOg&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=12 KhanAcademyRussian - Вычисление определителя матрицы 3х3 (первый способ)]
*[https://www.youtube.com/watch?v=J9ElsNvxVIs&list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&index=13 KhanAcademyRussian - Вычисление определителя матрицы 3х3 (второй способ)]