St001214 в 16:02, 6 июля 2022

2022-07-06T16:02:02Z

← Предыдущая		Версия 16:02, 6 июля 2022
Строка 1:		Строка 1:
	Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:		Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными <math>\xi_{1}</math> и <math>\xi_{2}</math>:
	\begin{equation}		\begin{equation}
	\left\{\begin{array}{l}		\left\{\begin{array}{l}

St001214 в 16:01, 6 июля 2022

2022-07-06T16:01:38Z

← Предыдущая		Версия 16:01, 6 июля 2022
Строка 1:		Строка 1:
	Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными		Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
	\begin{equation}		\begin{equation}
	\left\{\begin{array}{l}		\left\{\begin{array}{l}

St001214: Новая страница: «Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными \begin{equation} \left\{\begin{array}{l}...»

2022-07-06T15:34:33Z

Новая страница: «Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными \begin{equation} \left\{\begin{array}{l}...»

Новая страница

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 = \beta_{1}, \\
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 = \beta_2,
\end{array}\right.
\end{equation}
где $\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \beta_{1}, \beta_2$ — заданные числа. В матричной записи систему можно представить в виде ${\bf A}x={\bf b}$, где
\begin{equation}
{\bf A} = \left(\begin{array}{cc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22}
\end{array}\right),
x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \end{array}\right),
b = \left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_2 \end{array}\right).
\end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22}$, а второе — на $(-\alpha_{12})$. Складывая полученные равенства, получи
$(\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} ) \xi_{1} = (\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12}).$

Предположим, что $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} \ne 0$, тогда
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
\end{equation}

Аналогично, умножая первое равенство на $(-\alpha_{21})$, второе — на $\alpha_{11}$, и складывая, получаем
\begin{equation}
\xi_2 =\frac{\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
\end{equation}

Полученные $\xi_{1}$ и $\xi_2$ являются решением исходной системы уравнений.

{{Определение
|definition=
Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.
}}

<p>Определитель второго порядка матрицы ${\bf А}$ обозначается $\det {\bf A}$ или
$\left| \begin{array}{cc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22}
\end{array}\right|$.
</p>

<p>Заметим, что $\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} = \left|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right|$, $\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} = \left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right|$.
Поэтому соотношения для $\xi_{1}$ и $\xi_2$ можно представить в виде
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right|} {\det {\bf A}},
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right|} {\det {\bf A}}.
\end{equation}
Эти формулы называются ''формулами Крамера'' для решения системы уравнений.
</p>

Определители второго порядка - История изменений

St001214 в 16:02, 6 июля 2022

St001214 в 16:01, 6 июля 2022

St001214: Новая страница: «Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными \begin{equation} \left\{\begin{array}{l}...»