St001214 в 16:03, 6 июля 2022

2022-07-06T16:03:37Z

← Предыдущая		Версия 16:03, 6 июля 2022
Строка 1:		Строка 1:
	Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$:		Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными <math>\xi_1</math>, <math>\xi_2</math>, <math>\xi_3</math>:
	\begin{equation}		\begin{equation}
	\left\{\begin{array}{l}		\left\{\begin{array}{l}
Строка 49:		Строка 49:

	Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок		Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок
	~~\begin{equation}~~		$
	\left\|\begin{array}{ccc}		\left\|\begin{array}{ccc}
	\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\		\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
Строка 55:		Строка 55:
	\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}		\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
	\end{array}\right\|.		\end{array}\right\|.
	~~\end{equation}~~		$

	Для решения системы с тремя неизвестными справедливы формулы Крамера		Для решения системы с тремя неизвестными справедливы формулы Крамера

St001214 в 15:44, 6 июля 2022

2022-07-06T15:44:13Z

← Предыдущая		Версия 15:44, 6 июля 2022
Строка 7:		Строка 7:
	\end{array}\right.		\end{array}\right.
	\end{equation}		\end{equation}

	В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где		В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где
	\begin{equation}		\begin{equation}
Строка 56:		Строка 57:
	\end{equation}		\end{equation}

	Для решения системы с тремя неизвестными ~~также~~ справедливы формулы Крамера		Для решения системы с тремя неизвестными справедливы формулы Крамера
	\begin{equation}		\begin{equation}
	\xi_{1} = \frac{\left\|\begin{array}{ccc}		\xi_{1} = \frac{\left\|\begin{array}{ccc}

St001214: Новая страница: «Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$: \begin{equation...»

2022-07-06T15:36:16Z

Новая страница: «Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$: \begin{equation...»

Новая страница

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 + \alpha_{13} \xi_3 = \beta_{1},\\
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 + \alpha_{23} \xi_3 = \beta_2,\\
\alpha_{31} \xi_{1} + \alpha_{32} \xi_2 + \alpha_{33} \xi_3 = \beta_3.
\end{array}\right.
\end{equation}
В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где
\begin{equation}
A = \left(\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right),
x = \left(\begin{array}{c}
\xi_{1} \\ \xi_2 \\ \xi_3
\end{array}\right),
b = \left(\begin{array}{c}
\beta_{1} \\ \beta_2 \\ \beta_3
\end{array}\right).
\end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}$, второе — на $\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}$, третье — на $\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}$. Складывая полученные равенства, имеем
\begin{equation}
[\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})]\xi_{1}
= \beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}).
\end{equation}

Если выражение
\begin{equation}
\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} -\alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})
= \alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31}
\end{equation}
не равно нулю, то
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation}

Аналогично находим
\begin{equation}
\xi_2 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{21} \alpha_{33}) + \beta_2 (\alpha_{11} \alpha_{33} - \alpha_{13} \alpha_{31}) + \beta_3 (\alpha_{13} \alpha_{21} - \alpha_{11} \alpha_{23})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} },
\end{equation}
а затем
\begin{equation}
\xi_3 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{22} \alpha_{31}) + \beta_2 (\alpha_{12} \alpha_{31} - \alpha_{11} \alpha_{32}) + \beta_3 (\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation}

Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок
\begin{equation}
\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right|.
\end{equation}

Для решения системы с тремя неизвестными также справедливы формулы Крамера
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\beta_{1} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\beta_2 & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\beta_3 & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{array}\right|}{\det {\bf A}},
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \beta_{1} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \beta_2 & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \beta_3 & \alpha_{33}
\end{array}\right|}{\det {\bf A}},
\xi_3 = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \beta_{1} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \beta_2 \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \beta_3
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}.
\end{equation}

Определители третьего порядка - История изменений

St001214 в 16:03, 6 июля 2022

St001214 в 15:44, 6 июля 2022

St001214: Новая страница: «Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$: \begin{equation...»