Определитель произведения двух матриц - История изменений

St001214 в 14:41, 6 июля 2022

2022-07-06T14:41:38Z

← Предыдущая		Версия 14:41, 6 июля 2022
Строка 7:		Строка 7:
	в которой единственный отличный от нуля элемент стоит в $i$-й строке и $j$-м столбце ($i\ne j$).		в которой единственный отличный от нуля элемент стоит в $i$-й строке и $j$-м столбце ($i\ne j$).

	В соответствии с формулой умножения матриц: $G_{ij} A = G_{ij} [a_1, a_2, ..., a_n ]=[{\bf 0}_1, ..., {\bf 0}_{i-1}, a_{j}, {\bf 0}_{i+1}, ..., {\bf 0}_n].$		В соответствии с формулой умножения матриц:
			\begin{equation}
			G_{ij} A = G_{ij} [a_1, a_2, ..., a_n ]=[{\bf 0}_1, ..., {\bf 0}_{i-1}, a_{j}, {\bf 0}_{i+1}, ..., {\bf 0}_n].
			\end{equation}

	Построим матрицу $E+\gamma G_{ij}$, где $\gamma$ — произвольное число, а $Е$ — единичная матрица.		Построим матрицу $E+\gamma G_{ij}$, где $\gamma$ — произвольное число, а $Е$ — единичная матрица.
	Тогда $(E+\gamma G_{ij} )A = A+\gamma G_{ij} A=[a_1, ..., a_{i-1}, a_{i} +\gamma a_{j}, a_{i+1}, ..., a_n ].$		Тогда
			\begin{equation}
			(E+\gamma G_{ij} )A = A+\gamma G_{ij} A=[a_1, ..., a_{i-1}, a_{i} +\gamma a_{j}, a_{i+1}, ..., a_n ].
			\end{equation}

	Следовательно, умножение матрицы $A$ слева на матрицу $E+\gamma G_{ij} $ эквивалентно прибавлению к $i$-й строке матрицы $A$ ее строки с номером $j$, умноженной на число $\gamma$.		Следовательно, умножение матрицы $A$ слева на матрицу $E+\gamma G_{ij} $ эквивалентно прибавлению к $i$-й строке матрицы $A$ ее строки с номером $j$, умноженной на число $\gamma$.

	Когда матрица $A$ умножается справа на матрицу $G_{ij}$, то		Когда матрица $A$ умножается справа на матрицу $G_{ij}$, то
	$AG_{ij} =[a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ]G_{ij} =[{\bf 0}^{1}, ..., {\bf 0}^{j-1}, a^{i}, {\bf 0}^{j+1}, ..., {\bf 0}^{n} ].$,		\begin{equation}
			AG_{ij} =[a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ]G_{ij} =[{\bf 0}^{1}, ..., {\bf 0}^{j-1}, a^{i}, {\bf 0}^{j+1}, ..., {\bf 0}^{n} ],
			\end{equation}
	и тогда		и тогда
	$A(E+\gamma G_{ij} ) = A+\gamma AG_{ij} =[a^{1}, ..., a^{j-1}, a^{j} +\gamma a^{i}, a^{j+1}, ..., a^{n} ],$		\begin{equation}
			A(E+\gamma G_{ij} ) = A+\gamma AG_{ij} =[a^{1}, ..., a^{j-1}, a^{j} +\gamma a^{i}, a^{j+1}, ..., a^{n} ],
			\end{equation}
	то есть это действие эквивалентно прибавлению к $j$-му столбцу матрицы $A$ ее столбца с номером $i$, предварительно умноженному на число $\gamma$.		то есть это действие эквивалентно прибавлению к $j$-му столбцу матрицы $A$ ее столбца с номером $i$, предварительно умноженному на число $\gamma$.

Строка 67:		Строка 77:
	Возьмем две произвольные квадратные матрицы $A$ и $B$ размера $[n\times n]$. Докажем, что $\det (AB)=\det A\det B$.		Возьмем две произвольные квадратные матрицы $A$ и $B$ размера $[n\times n]$. Докажем, что $\det (AB)=\det A\det B$.

	Для этого построим вспомогательную матрицу		Для этого построим вспомогательную матрицу $[2n\times 2n]$:
	$C = \left(\begin{array}{~~c\|c~~} A & {\bf 0} \\ ~~\hline~~ {-E} & {B} \end{array}\right) ~~= [2n\times 2n]~~.$		$
			C = \left(\begin{array}{cc} {A} & {\bf 0} \\ {-E} & {B} \end{array}\right).
			$

	Матрица $C$ является ступенчатой и ее определитель равен произведению определителей диагональных блоков, то есть $\det C=\det A\det B$. Построим правую унитреугольную матрицу		Матрица $C$ является ступенчатой и ее определитель равен произведению определителей диагональных блоков, то есть $\det C=\det A\det B$. Построим правую унитреугольную матрицу
	$U_{R} =\left(\begin{array}{~~c\|c~~} {E} & {A} \\ ~~\hline {~~{\bf 0}} & {E} \end{array}\right).$		$U_{R} =\left(\begin{array}{cc} {E} & {A} \\ {\bf 0} & {E} \end{array}\right).$

	В силу свойств унитреугольных матриц $\det (U_{R} C)=\det C$. Умножая блочные матрицы, имеем		В силу свойств унитреугольных матриц $\det (U_{R} C)=\det C$. Умножая блочные матрицы, имеем
	\begin{equation}		\begin{equation}
	U_{R} C=\left(\begin{array}{~~c\|c~~} {E} & {A} \\ ~~\hline {~~{\bf 0}} & {E} \end{array}\right)\left(\begin{array}{~~c\|c~~} {A} & {{\bf 0}} \\ ~~\hline~~ {-E} & {B} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{~~c\|c~~} {{\bf 0}} & {AB} \\ ~~\hline~~ {-E} & {B} \end{array}\right).		U_{R} C = \left(
			\begin{array}{cc}{E} & {A} \\ {\bf 0} & {E}
			\end{array} \right)
			\left(
			\begin{array}{cc} {A} & {\bf 0} \\ {-E} & {B}
			\end{array}
			\right)
			=\left(
			\begin{array}{cc} {\bf 0} & {AB} \\ {-E} & {B}
			\end{array}
			\right).
	\end{equation}		\end{equation}

	Поскольку		Поскольку
	\begin{equation}		\begin{equation}
	\det C = \det (U_{R} C) = \det \left(\begin{array}{~~c\|c~~} {{\bf 0}} & {AB} \\ ~~\hline~~ {-E} & {B} \end{array}\right)=(-1)^{n} \det \left(\begin{array}{~~c\|c~~} {AB} & {{\bf 0}~~} \~~\ \~~hline~~ {B} & {-E} \end{array}\right)=(-1)^{2n} \det \left(\begin{array}{~~c\|c~~} {AB} & {{\bf 0}} \\ ~~\hline~~ {B} & {E} \end{array}\right)~~=$$~~		\det C = \det (U_{R} C) = \det \left(\begin{array}{cc} {\bf 0} & {AB} \\ {-E} & {B} \end{array}\right)
	$$=\det (AB)\det E=\det (AB),		=(-1)^{n} \det \left(\begin{array}{cc} {AB} & {\bf 0} \\ {B} & {-E} \end{array}\right)
			=(-1)^{2n} \det \left(\begin{array}{cc} {AB} & {\bf 0} \\ {B} & {E} \end{array}\right)
			=\det (AB)\det E=\det (AB),
	\end{equation}		\end{equation}
	следовательно, окончательно получаем, что $\det C=\det A\det B=\det (AB)$.		следовательно, окончательно получаем, что $\det C=\det A\det B=\det (AB)$.
	}}		}}

St001214 в 14:29, 6 июля 2022

2022-07-06T14:29:37Z

← Предыдущая		Версия 14:29, 6 июля 2022
Строка 2:		Строка 2:

	Введем вспомогательную квадратную матрицу		Введем вспомогательную квадратную матрицу
	$G_{ij} =\{ \gamma_{ks} \}_{k,s=1}^{n,n} =[n\times n],\, \, \gamma_{ks} =\left[\begin{array}{l} {0,\, \, k\ne i,\, s\ne j,} \\ {1,\, \, k=i,\, s=j,} \end{array}\right.$		\begin{equation}
			G_{ij} =\{ \gamma_{ks} \}_{k,s=1}^{n,n} =[n\times n],\, \, \gamma_{ks} =\left[\begin{array}{l} {0,\, \, k\ne i,\, s\ne j,} \\ {1,\, \, k=i,\, s=j,} \end{array}\right.
			\end{equation}
	в которой единственный отличный от нуля элемент стоит в $i$-й строке и $j$-м столбце ($i\ne j$).		в которой единственный отличный от нуля элемент стоит в $i$-й строке и $j$-м столбце ($i\ne j$).

	В соответствии с формулой умножения матриц: $G_{ij} A = G_{ij} [a_1, a_2, ..., a_n ]=[{\bf 0}_1, ..., {\bf 0}_{i-1}, a_{j}, {\bf 0}_{i+1}, ..., {\bf 0}_n ].$		В соответствии с формулой умножения матриц: $G_{ij} A = G_{ij} [a_1, a_2, ..., a_n ]=[{\bf 0}_1, ..., {\bf 0}_{i-1}, a_{j}, {\bf 0}_{i+1}, ..., {\bf 0}_n].$

	Построим матрицу $E+\gamma G_{ij}$, где $\gamma$ — произвольное число, а $Е$ — единичная матрица.		Построим матрицу $E+\gamma G_{ij}$, где $\gamma$ — произвольное число, а $Е$ — единичная матрица.
Строка 27:		Строка 29:
	}}		}}

	$$		\begin{equation}
	U_R =\left(\begin{array}{ccccc}		U_R =\left(\begin{array}{ccccc}
	1 & \gamma_{12} & ... & \gamma_{1,n-1} & \gamma_{1n} \\		1 & \gamma_{12} & ... & \gamma_{1,n-1} & \gamma_{1n} \\
Строка 35:		Строка 37:
	0 & 0 & ... & 0 & 1		0 & 0 & ... & 0 & 1
	\end{array}\right)		\end{array}\right)
	$$		\end{equation}


	{{Определение		{{Определение
Строка 43:		Строка 44:
	}}		}}

	$$		\begin{equation}
	U_L =\left(\begin{array}{ccccc}		U_L =\left(\begin{array}{ccccc}
	1 & 0 & ... & 0 & 0 \\		1 & 0 & ... & 0 & 0 \\
Строка 51:		Строка 52:
	\gamma_{n1} & \gamma_{n2} & ... & \gamma_{n,n-1} & 1		\gamma_{n1} & \gamma_{n2} & ... & \gamma_{n,n-1} & 1
	\end{array}\right).		\end{array}\right).
	$$		\end{equation}

	Умножая произвольную матрицу $A=[a_1, a_2, ..., a_n ]$ слева на матрицу $U_{R}$, получаем		Умножая произвольную матрицу $A=[a_1, a_2, ..., a_n ]$ слева на матрицу $U_{R}$, получаем
Строка 67:		Строка 68:

	Для этого построим вспомогательную матрицу		Для этого построим вспомогательную матрицу
	$$C = \left(\begin{array}{c\|c} A & {\bf 0} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right) = [2n\times 2n].$$		$C = \left(\begin{array}{c\|c} A & {\bf 0} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right) = [2n\times 2n].$

	Матрица $C$ является ступенчатой и ее определитель равен произведению определителей диагональных блоков, то есть $\det C=\det A\det B$. Построим правую унитреугольную матрицу		Матрица $C$ является ступенчатой и ее определитель равен произведению определителей диагональных блоков, то есть $\det C=\det A\det B$. Построим правую унитреугольную матрицу
	$$U_{R} =\left(\begin{array}{c\|c} {E} & {A} \\ \hline {{\bf 0}} & {E} \end{array}\right).$$		$U_{R} =\left(\begin{array}{c\|c} {E} & {A} \\ \hline {{\bf 0}} & {E} \end{array}\right).$

	В силу свойств унитреугольных матриц $\det (U_{R} C)=\det C$. Умножая блочные матрицы, имеем		В силу свойств унитреугольных матриц $\det (U_{R} C)=\det C$. Умножая блочные матрицы, имеем
	$$U_{R} C=\left(\begin{array}{c\|c} {E} & {A} \\ \hline {{\bf 0}} & {E} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c\|c} {A} & {{\bf 0}} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c\|c} {{\bf 0}} & {AB} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right).$$		\begin{equation}
			U_{R} C=\left(\begin{array}{c\|c} {E} & {A} \\ \hline {{\bf 0}} & {E} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c\|c} {A} & {{\bf 0}} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c\|c} {{\bf 0}} & {AB} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right).
			\end{equation}

	Поскольку		Поскольку
	$$\det C = \det (U_{R} C) = \det \left(\begin{array}{c\|c} {{\bf 0}} & {AB} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right)=(-1)^{n} \det \left(\begin{array}{c\|c} {AB} & {{\bf 0}} \\ \hline {B} & {-E} \end{array}\right)=(-1)^{2n} \det \left(\begin{array}{c\|c} {AB} & {{\bf 0}} \\ \hline {B} & {E} \end{array}\right)=$$		\begin{equation}
	$$=\det (AB)\det E=\det (AB),$$		\det C = \det (U_{R} C) = \det \left(\begin{array}{c\|c} {{\bf 0}} & {AB} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right)=(-1)^{n} \det \left(\begin{array}{c\|c} {AB} & {{\bf 0}} \\ \hline {B} & {-E} \end{array}\right)=(-1)^{2n} \det \left(\begin{array}{c\|c} {AB} & {{\bf 0}} \\ \hline {B} & {E} \end{array}\right)=$$
			$$=\det (AB)\det E=\det (AB),
			\end{equation}
	следовательно, окончательно получаем, что $\det C=\det A\det B=\det (AB)$.		следовательно, окончательно получаем, что $\det C=\det A\det B=\det (AB)$.
	}}		}}

St001214: Новая страница: «Пусть дана квадратная матрица $A=[a_1, a_2, ..., a_n ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$. Введем вспомогательную кв...»

2022-07-06T14:24:22Z

Новая страница: «Пусть дана квадратная матрица $A=[a_1, a_2, ..., a_n ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$. Введем вспомогательную кв...»

Новая страница

Пусть дана квадратная матрица $A=[a_1, a_2, ..., a_n ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$.

Введем вспомогательную квадратную матрицу
$G_{ij} =\{ \gamma_{ks} \}_{k,s=1}^{n,n} =[n\times n],\, \, \gamma_{ks} =\left[\begin{array}{l} {0,\, \, k\ne i,\, s\ne j,} \\ {1,\, \, k=i,\, s=j,} \end{array}\right.$
в которой единственный отличный от нуля элемент стоит в $i$-й строке и $j$-м столбце ($i\ne j$).

В соответствии с формулой умножения матриц: $G_{ij} A = G_{ij} [a_1, a_2, ..., a_n ]=[{\bf 0}_1, ..., {\bf 0}_{i-1}, a_{j}, {\bf 0}_{i+1}, ..., {\bf 0}_n ].$

Построим матрицу $E+\gamma G_{ij}$, где $\gamma$ — произвольное число, а $Е$ — единичная матрица.
Тогда $(E+\gamma G_{ij} )A = A+\gamma G_{ij} A=[a_1, ..., a_{i-1}, a_{i} +\gamma a_{j}, a_{i+1}, ..., a_n ].$

Следовательно, умножение матрицы $A$ слева на матрицу $E+\gamma G_{ij} $ эквивалентно прибавлению к $i$-й строке матрицы $A$ ее строки с номером $j$, умноженной на число $\gamma$.

Когда матрица $A$ умножается справа на матрицу $G_{ij}$, то
$AG_{ij} =[a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ]G_{ij} =[{\bf 0}^{1}, ..., {\bf 0}^{j-1}, a^{i}, {\bf 0}^{j+1}, ..., {\bf 0}^{n} ].$,
и тогда
$A(E+\gamma G_{ij} ) = A+\gamma AG_{ij} =[a^{1}, ..., a^{j-1}, a^{j} +\gamma a^{i}, a^{j+1}, ..., a^{n} ],$
то есть это действие эквивалентно прибавлению к $j$-му столбцу матрицы $A$ ее столбца с номером $i$, предварительно умноженному на число $\gamma$.

Матрица $E+\gamma G_{ij}$ называется ''матрицей элементарного преобразования''.

Обобщением матрицы элементарного преобразования является понятие унитреугольной матрицы.

{{Определение
|definition=
Правой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

$$
U_R =\left(\begin{array}{ccccc}
1 & \gamma_{12} & ... & \gamma_{1,n-1} & \gamma_{1n} \\
0 & 1 & ... & \gamma_{2,n-1} & \gamma_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & ... & 1 & \gamma_{n-1,n} \\
0 & 0 & ... & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

{{Определение
|definition=
Левой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

$$
U_L =\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & ... & 0 & 0 \\
\gamma_{21} & 1 & ... & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\gamma_{n-1,1} & \gamma_{n-1,2} & ... & 1 & 0 \\
\gamma_{n1} & \gamma_{n2} & ... & \gamma_{n,n-1} & 1
\end{array}\right).
$$

Умножая произвольную матрицу $A=[a_1, a_2, ..., a_n ]$ слева на матрицу $U_{R}$, получаем
$U_R A = [a_1 +\gamma_{12} a_2 +\cdots +\gamma_{1n} a_n, a_2 +\gamma_{23} a_3 +\cdots +\gamma_{2n} a_n, ..., a_n ],$
а при умножении слева на матрицу $U_l$, имеем
$U_L A = [a_1, \gamma_{21} a_1 +a_2, ..., \gamma_{n1} a_1 +\gamma_{n2} a_2 +\cdots + a_n ].$

В силу свойств определителей, очевидно, что $\det (U_R A)=\det (U_L A)=\det A$.

{{Теорема
|statement=
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей.
|proof=
Возьмем две произвольные квадратные матрицы $A$ и $B$ размера $[n\times n]$. Докажем, что $\det (AB)=\det A\det B$.

Для этого построим вспомогательную матрицу
$$C = \left(\begin{array}{c|c} A & {\bf 0} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right) = [2n\times 2n].$$

Матрица $C$ является ступенчатой и ее определитель равен произведению определителей диагональных блоков, то есть $\det C=\det A\det B$. Построим правую унитреугольную матрицу
$$U_{R} =\left(\begin{array}{c|c} {E} & {A} \\ \hline {{\bf 0}} & {E} \end{array}\right).$$

В силу свойств унитреугольных матриц $\det (U_{R} C)=\det C$. Умножая блочные матрицы, имеем
$$U_{R} C=\left(\begin{array}{c|c} {E} & {A} \\ \hline {{\bf 0}} & {E} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c|c} {A} & {{\bf 0}} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c} {{\bf 0}} & {AB} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right).$$

Поскольку
$$\det C = \det (U_{R} C) = \det \left(\begin{array}{c|c} {{\bf 0}} & {AB} \\ \hline {-E} & {B} \end{array}\right)=(-1)^{n} \det \left(\begin{array}{c|c} {AB} & {{\bf 0}} \\ \hline {B} & {-E} \end{array}\right)=(-1)^{2n} \det \left(\begin{array}{c|c} {AB} & {{\bf 0}} \\ \hline {B} & {E} \end{array}\right)=$$
$$=\det (AB)\det E=\det (AB),$$
следовательно, окончательно получаем, что $\det C=\det A\det B=\det (AB)$.
}}