Определитель ступенчатой матрицы - История изменений

СВ в 13:36, 25 октября 2026

2026-10-25T13:36:33Z

← Предыдущая		Версия 13:36, 25 октября 2026
Строка 25:		Строка 25:
	<math>+(-1)^{9} \left\|\begin{array}{cc} {\alpha_{12} } & {\alpha_{14} } \\ {\alpha_{22} } & {\alpha_{24} } \end{array}\right\|\left\|\begin{array}{cc} {\alpha_{31} } & {\alpha_{33} } \\ {\alpha_{41} } & {\alpha_{43} } \end{array}\right\|+(-1)^{10} \left\|\begin{array}{cc} {\alpha_{13} } & {\alpha_{14} } \\ {\alpha_{23} } & {\alpha_{24} } \end{array}\right\|\left\|\begin{array}{cc} {\alpha_{31} } & {\alpha_{32} } \\ {\alpha_{41} } & {\alpha_{42} } \end{array}\right\|.</math>		<math>+(-1)^{9} \left\|\begin{array}{cc} {\alpha_{12} } & {\alpha_{14} } \\ {\alpha_{22} } & {\alpha_{24} } \end{array}\right\|\left\|\begin{array}{cc} {\alpha_{31} } & {\alpha_{33} } \\ {\alpha_{41} } & {\alpha_{43} } \end{array}\right\|+(-1)^{10} \left\|\begin{array}{cc} {\alpha_{13} } & {\alpha_{14} } \\ {\alpha_{23} } & {\alpha_{24} } \end{array}\right\|\left\|\begin{array}{cc} {\alpha_{31} } & {\alpha_{32} } \\ {\alpha_{41} } & {\alpha_{42} } \end{array}\right\|.</math>
	}}		}}

			[[Файл:p02-06-01-laplace-four-by-four.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Определитель 4×4 с зафиксированными двумя строками и таблица шести наборов столбцов со знаками\|Рис. 1. Теорема Лапласа при <math>k=2</math>: шесть наборов столбцов, для каждого — <math>m</math>, знак <math>(-1)^m</math> и дополнительный минор. Например, набор <math>(1,2)</math> даёт <math>m=1+2+1+2=6</math> и знак плюс.]]

	Теорема Лапласа является обобщением формулы разложения определителя матрицы $\bf A$ по элементам какой-либо строки (столбца).		Теорема Лапласа является обобщением формулы разложения определителя матрицы $\bf A$ по элементам какой-либо строки (столбца).
Строка 66:		Строка 68:
	где $p=2(1+2+\cdots +k)=k(k+1)$ {{---}} четное число, поэтому $\det A=\Delta_k \bar{\Delta }_{n-k} $.		где $p=2(1+2+\cdots +k)=k(k+1)$ {{---}} четное число, поэтому $\det A=\Delta_k \bar{\Delta }_{n-k} $.
	}}		}}

			[[Файл:p02-06-02-block-triangular-det.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Ступенчатая матрица с нулевым блоком: минор с нулевым столбцом равен нулю, остаётся угловой минор\|Рис. 2. В ступенчатой матрице любой минор первых <math>k</math> строк, задевающий нулевой блок, равен нулю. Остаётся угловой минор <math>\Delta_k</math>, поэтому <math>\det A=\det A_{11}\cdot\det A_{22}</math>, а знак <math>(-1)^p</math> равен <math>+1</math>.]]

	----		----

	Конспект: [[Алгебра и геометрия]]		Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

СВ в 16:32, 12 октября 2026

2026-10-12T16:32:30Z

← Предыдущая		Версия 16:32, 12 октября 2026
Строка 65:		Строка 65:
	<math>\det A = (-1)^{p} \Delta_k \bar{\Delta }_{n-k}, </math>		<math>\det A = (-1)^{p} \Delta_k \bar{\Delta }_{n-k}, </math>
	где $p=2(1+2+\cdots +k)=k(k+1)$ {{---}} четное число, поэтому $\det A=\Delta_k \bar{\Delta }_{n-k} $.		где $p=2(1+2+\cdots +k)=k(k+1)$ {{---}} четное число, поэтому $\det A=\Delta_k \bar{\Delta }_{n-k} $.
			}}

	}}		----

	Конспект: [[Алгебра и геометрия]]		Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

СВ: Новая страница: «Пусть $\Delta_k$ {{---}} определитель, полученный из определителя матрицы $A=\{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{n,n} $ п...»

2026-10-12T16:27:19Z

Новая страница: «Пусть $\Delta_k$ {{---}} определитель, полученный из определителя матрицы $A=\{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{n,n} $ п...»

Новая страница

Пусть $\Delta_k$ {{---}} определитель, полученный из определителя матрицы $A=\{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{n,n} $ после вычеркивания $(n-k)$ строк и $(n-k)$ столбцов.
{{Определение
|definition=Определитель
<math>\Delta_k =\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{i_1 j_1 } & ... & \alpha_{i_1 j_k } \\
\vdots & ... & \vdots \\
\alpha_{i_k j_1 } & ... & \alpha_{i_k j_k }
\end{array}\right|</math>
называется минором порядка $k$.
}}
Если, в свою очередь, из определителя матрицы $\bf A$ вычеркнуть строки $a_{i_1}, a_{i_2}, ..., a_{i_k} $ и столбцы $a^{j_1}, a^{j_2}, ..., a^{j_k}$, то получаем определитель порядка $(n-k)$, который называется '''дополнительным минором''' для минора $\Delta_k$ и обозначается $\bar{\Delta }_{n-k}$.
{{Определение
|definition=Алгебраическим дополнением минора $\Delta_k $ называется величина $(-1)^{m} \bar{\Delta }_{n-k}$, где $m=i_1 +\cdots +i_k +j_1 +\cdots +j_k$.
}}
{{Теорема
|author=Теорема Лапласа
|statement=Определитель матрицы $\bf A$ равен сумме произведений всех миноров порядка $k$, составленных из $k$ фиксированных строк указанного определителя, на алгебраические дополнения этих миноров.
}}

{{Пример
|content=Проиллюстрируем теорему Лапласа на примере определителя четвертого порядка.

<math>\left|\begin{array}{cccc} {\alpha_{11} } & {\alpha_{12} } & {\alpha_{13} } & {\alpha_{14} } \\ {\alpha_{21} } & {\alpha_{22} } & {\alpha_{23} } & {\alpha_{24} } \\ {\alpha_{31} } & {\alpha_{32} } & {\alpha_{33} } & {\alpha_{34} } \\ {\alpha_{41} } & {\alpha_{42} } & {\alpha_{43} } & {\alpha_{44} } \end{array}\right|=(-1)^{6} \left|\begin{array}{cc} {\alpha_{11} } & {\alpha_{12} } \\ {\alpha_{21} } & {\alpha_{22} } \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} {\alpha_{33} } & {\alpha_{34} } \\ {\alpha_{43} } & {\alpha_{44} } \end{array}\right|+(-1)^{7} \left|\begin{array}{cc} {\alpha_{11} } & {\alpha_{13} } \\ {\alpha_{21} } & {\alpha_{23} } \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} {\alpha_{32} } & {\alpha_{34} } \\ {\alpha_{42} } & {\alpha_{44} } \end{array}\right|+</math>
<math>+(-1)^{8} \left|\begin{array}{cc} {\alpha_{11} } & {\alpha_{14} } \\ {\alpha_{21} } & {\alpha_{24} } \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} {\alpha_{32} } & {\alpha_{33} } \\ {\alpha_{42} } & {\alpha_{43} } \end{array}\right|+(-1)^{8} \left|\begin{array}{cc} {\alpha_{12} } & {\alpha_{13} } \\ {\alpha_{22} } & {\alpha_{23} } \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} {\alpha_{31} } & {\alpha_{34} } \\ {\alpha_{41} } & {\alpha_{44} } \end{array}\right|+</math>
<math>+(-1)^{9} \left|\begin{array}{cc} {\alpha_{12} } & {\alpha_{14} } \\ {\alpha_{22} } & {\alpha_{24} } \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} {\alpha_{31} } & {\alpha_{33} } \\ {\alpha_{41} } & {\alpha_{43} } \end{array}\right|+(-1)^{10} \left|\begin{array}{cc} {\alpha_{13} } & {\alpha_{14} } \\ {\alpha_{23} } & {\alpha_{24} } \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} {\alpha_{31} } & {\alpha_{32} } \\ {\alpha_{41} } & {\alpha_{42} } \end{array}\right|.</math>
}}

Теорема Лапласа является обобщением формулы разложения определителя матрицы $\bf A$ по элементам какой-либо строки (столбца).

Рассмотрим матрицу $A = \left(\begin{array}{ccc|ccc} \alpha_{11} & ... & \alpha_{1k} & 0 & ... & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\alpha_{k1} & ... & \alpha_{kk} & 0 & ... & 0 \\
\hline
\alpha_{k+1,1} & ... & \alpha_{k+1,k} & \alpha_{k+1,k+1} & ... & \alpha_{k+1,n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\alpha_{n1} & ... & \alpha_{nk} & \alpha_{n,k+1} & ... & \alpha_{nn}
\end{array}\right)$, называемую ступенчатой матрицей.

{{Теорема
|statement=Определитель ступенчатой матрицы равен произведению определителей матриц, стоящих на главной диагонали, то есть
<math>\det A = \left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \ldots & \alpha_{1k} \\
\vdots & \ldots & \vdots \\
\alpha_{k1} & \ldots & \alpha_{kk}
\end{array}\right|
\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{k+1,k+1} & \ldots & \alpha_{k+1,k} \\
\vdots & \ldots & \vdots \\
\alpha_{n,k+1} & \ldots & \alpha_{nn}
\end{array}\right|.</math>
|proof=Зафиксируем в матрице $A$ первые $k$ строк. Тогда все миноры порядка $k$, построенные на этих строках, равны нулю, за исключением возможно лишь минора, стоящего в левом верхнем углу, то есть минора
<math>\Delta_k =\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \ldots & \alpha_{1k} \\
\vdots & \ldots & \vdots \\
\alpha_{k1} & \ldots & \alpha_{kk}
\end{array}\right|,</math>
причем дополнительный минор
<math>\bar{\Delta }_{n-k} = \left|\begin{array}{ccc}
\alpha_{k+1,k+1} & \ldots & \alpha_{k+1,k} \\
\vdots & \ldots & \vdots \\
\alpha_{n,k+1} & \ldots & \alpha_{nn}
\end{array}\right|.</math>

Тогда в силу теоремы Лапласа
<math>\det A = (-1)^{p} \Delta_k \bar{\Delta }_{n-k}, </math>
где $p=2(1+2+\cdots +k)=k(k+1)$ {{---}} четное число, поэтому $\det A=\Delta_k \bar{\Delta }_{n-k} $.

}}

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]