Полиномы с вещественными коэффициентами - История изменений

СВ в 09:40, 28 августа 2026

2026-08-28T09:40:59Z

← Предыдущая		Версия 09:40, 28 августа 2026
Строка 1:		Строка 1:
	{{Лемма		{{Лемма
	\|statement=Для произвольного полинома $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n-1} x + a_{n}$ с вещественными коэффициентами и любого комплексного числа $\alpha$ справедливо равенство $\overline{f(\alpha)}=f(\bar{\alpha })$.		\|statement=Для произвольного полинома $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n-1} x + a_{n}$ с вещественными коэффициентами и любого комплексного числа $\alpha$ справедливо равенство $\overline{f(\alpha)}=f(\bar{\alpha})$.
	\|proof=Подставим в полином $f(x)$ вместо $x$ произвольное комплексное число $\alpha =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, получаем		\|proof=Подставим в полином $f(x)$ вместо $x$ произвольное комплексное число $\alpha =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, получаем
	$$		<math>
	f(\alpha )=a_{0} r^{n} (\cos n\varphi +i\sin n\varphi )+a_{1} r^{n-1} (\cos (n-1)\varphi +i\sin (n-1)\varphi )+...+a_{n-1} r(\cos \varphi +i\sin \varphi )+a_{n} = ( a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} ) + i ( a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ).		f( \alpha ) = a_{0} r^{n} ( \cos n \varphi + i \sin n \varphi ) + a_{1} r^{n-1} (\cos (n-1)\varphi + i \sin (n-1)\varphi ) +...+ a_{n-1} r (\cos \varphi +i\sin \varphi ) + a_{n} </math>
	$$		<math>
			= ( a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} ) + i ( a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ).
			</math>

	Очевидно, что		Очевидно, что
	$$		<math>
	\overline{f(\alpha )}=(a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} )- i ( a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ).		\overline{f(\alpha )}=(a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} )- i ( a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ).
	$$		</math>

	С другой стороны, $\bar{\alpha }=r(\cos \varphi -i\sin \varphi )=r(\cos (-\varphi )+i\sin (-\varphi ))$, поэтому с учетом нечетности синуса и четности косинуса получаем		С другой стороны, $\bar{\alpha }=r(\cos \varphi -i\sin \varphi )=r(\cos (-\varphi )+i\sin (-\varphi ))$, поэтому с учетом нечетности синуса и четности косинуса получаем
	$$		<math>
	f(\bar{\alpha })=(a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} ) - i (a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ),		f(\bar{\alpha })=(a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} ) - i (a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ),
	$$		</math>
	то есть $\overline{f(\alpha )}=f(\bar{\alpha })$.		то есть $\overline{f(\alpha )}=f(\bar{\alpha })$.
	}}		}}
Строка 28:		Строка 30:

	Из теоремы 1.3.2 следует, что полином $f(x)$ можно разложить на множители		Из теоремы 1.3.2 следует, что полином $f(x)$ можно разложить на множители
	$$f(x)=a_{0} (x-\alpha_{1} )(x-\alpha_{2} )\cdots (x-\alpha_{k} )(x-\beta_{1} )(x-\bar{\beta }_{1} )\cdots (x-\beta_{l} )(x-\bar{\beta }_{l} ).$$		<math>f(x)=a_{0} (x-\alpha_{1} )(x-\alpha_{2} )\cdots (x-\alpha_{k} )(x-\beta_{1} )(x-\bar{\beta }_{1} )\cdots (x-\beta_{l} )(x-\bar{\beta }_{l} ).</math>

	Ясно, что $\varphi_{s} (x)=x-\alpha_{s} $, $s=\overline{1,k}$ {{---}} это неприводимые полиномы. Рассмотрим полином $\psi_{m} (x)=(x-\beta_{m} )(x-\bar{\beta }_{m} )=x^{2} -(\beta_{m} +\bar{\beta }_{m} )x+\beta_{m} \bar{\beta }_{m} =x^{2} -\gamma_{m}^{(1)} x+\gamma_{m}^{(2)}$. В силу свойств комплексных чисел $\gamma_{m}^{(1)} $ и $\gamma_{m}^{(2)} $ {{---}} это вещественные числа, поэтому $\psi_{m} (x)$, $m=\overline{1,l}$ неприводимы.		Ясно, что $\varphi_{s} (x)=x-\alpha_{s} $, $s=\overline{1,k}$ {{---}} это неприводимые полиномы. Рассмотрим полином $\psi_{m} (x)=(x-\beta_{m} )(x-\bar{\beta }_{m} )=x^{2} -(\beta_{m} +\bar{\beta }_{m} )x+\beta_{m} \bar{\beta }_{m} =x^{2} -\gamma_{m}^{(1)} x+\gamma_{m}^{(2)}$. В силу свойств комплексных чисел $\gamma_{m}^{(1)} $ и $\gamma_{m}^{(2)} $ {{---}} это вещественные числа, поэтому $\psi_{m} (x)$, $m=\overline{1,l}$ неприводимы.
Строка 34:		Строка 36:

	Доказанная теорема позволяет утверждать, что в общем случае, когда у полинома $f(x)$ имеются кратные корни, то этот полином представляется в виде		Доказанная теорема позволяет утверждать, что в общем случае, когда у полинома $f(x)$ имеются кратные корни, то этот полином представляется в виде
	~~\begin{equation} \label{eq_1_5_1}~~		$f(x) = p_{1}^{k_{1} } (x)p_{2}^{k_{2} } (x)\cdots p_{l}^{k_{l} } (x)$,
	f(x) = p_{1}^{k_{1} } (x)p_{2}^{k_{2} } (x)\cdots p_{l}^{k_{l} } (x),
	~~\end{equation}~~
	где $p_{i}^{k_{i} } (x)$ степень неприводимого полинома $p_{i} (x)$, причем $p_{i} (x)\ne p_{j} (x)$, когда $i\ne j$.		где $p_{i}^{k_{i} } (x)$ степень неприводимого полинома $p_{i} (x)$, причем $p_{i} (x)\ne p_{j} (x)$, когда $i\ne j$.

Строка 42:		Строка 42:

	{{Теорема		{{Теорема
	\|~~statement~~=~~'''(~~Теорема Виета~~)'''~~		\|author=Теорема Виета
			\|statement=Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}$ {{---}} корни приведенного полинома $f(x)=x^{n} +a_{1} x^{n-1} +...+a_{n-1} x + a_{n}$. Тогда между коэффициентами этого полинома и его корнями существуют следующие зависимости:
	Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}$ {{---}} корни приведенного полинома $f(x)=x^{n} +a_{1} x^{n-1} +...+a_{n-1} x + a_{n}$. Тогда между коэффициентами этого полинома и его корнями существуют следующие зависимости:		<math>
	\begin{~~align~~}		\begin{array}{l}
	\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{n} =-a_{1},\\		\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{n} =-a_{1},\\
	\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{n-1} \alpha_{n} =a_{2},\\		\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{n-1} \alpha_{n} =a_{2},\\
	\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3} +\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{4} +...+\alpha_{n-2} \alpha_{n-1} \alpha_{n} =-a_{3},\\		\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3} +\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{4} +...+\alpha_{n-2} \alpha_{n-1} \alpha_{n} =-a_{3},\\
	~~{\dots}{\dots}{\dots}{\dots}~~ \\		... \\
	\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n} =(-1)^{n} a_{n} .		\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n} =(-1)^{n} a_{n} .
	\end{~~align~~}		\end{array}
			</math>
	\|proof=Доказательство проведем методом математической индукции. При $n=1$ формулы очевидны, а при $n=2$ превращаются в хорошо знакомые формулы Виета для квадратного трехчлена. Допустим, что формулы справедливы при $n=k$. Докажем их справедливость для случая $n=k+1$.		\|proof=Доказательство проведем методом математической индукции. При $n=1$ формулы очевидны, а при $n=2$ превращаются в хорошо знакомые формулы Виета для квадратного трехчлена. Допустим, что формулы справедливы при $n=k$. Докажем их справедливость для случая $n=k+1$.

	В силу индукционного предположения любой полином $k$-й степени, имеющий корни $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{k}$, представим в виде		В силу индукционного предположения любой полином $k$-й степени, имеющий корни $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{k}$, представим в виде
	$$f(x)=x^{k} -(\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{k} )x^{k-1} +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k-1} \alpha_{k} )x^{k-2} +...+(-1)^{k} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k} .$$		<math>f(x)=x^{k} -(\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{k} )x^{k-1} +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k-1} \alpha_{k} )x^{k-2} +...+(-1)^{k} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k} .</math>

	Если $\alpha_{k+1}$ корень полинома степени $k+1$, то для этого полинома справедливо:		Если $\alpha_{k+1}$ корень полинома степени $k+1$, то для этого полинома справедливо:
	$$f(x)=[x^{k} -(\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{k} )x^{k-1} +$$		<math>f(x)=[x^{k} -(\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{k} )x^{k-1} +</math>
	$$+(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k-1} \alpha_{k} )x^{k-2} +...+(-1)^{k} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k} ](x-\alpha_{k+1} )=$$		<math>+(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k-1} \alpha_{k} )x^{k-2} +...+(-1)^{k} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k} ](x-\alpha_{k+1} )=</math>
	$$f(x)=x^{k+1} -(\alpha_{1} +...+\alpha_{k} +\alpha_{k+1} )x^{k} +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k} \alpha_{k+1} )x^{k-1} +...+(-1)^{k+1} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k+1},$$		<math>f(x)=x^{k+1} -(\alpha_{1} +...+\alpha_{k} +\alpha_{k+1} )x^{k} +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k} \alpha_{k+1} )x^{k-1} +...+(-1)^{k+1} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k+1},</math>
	что и требовалось доказать.		что и требовалось доказать.
	}}		}}

СВ: Новая страница: «{{Лемма |statement=Для произвольного полинома $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n-1} x + a_{n}$ с вещественны...»

2026-08-28T09:24:30Z

Новая страница: «{{Лемма |statement=Для произвольного полинома $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n-1} x + a_{n}$ с вещественны...»

Новая страница

{{Лемма
|statement=Для произвольного полинома $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n-1} x + a_{n}$ с вещественными коэффициентами и любого комплексного числа $\alpha$ справедливо равенство $\overline{f(\alpha)}=f(\bar{\alpha })$.
|proof=Подставим в полином $f(x)$ вместо $x$ произвольное комплексное число $\alpha =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, получаем
$$
f(\alpha )=a_{0} r^{n} (\cos n\varphi +i\sin n\varphi )+a_{1} r^{n-1} (\cos (n-1)\varphi +i\sin (n-1)\varphi )+...+a_{n-1} r(\cos \varphi +i\sin \varphi )+a_{n} = ( a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} ) + i ( a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ).
$$

Очевидно, что
$$
\overline{f(\alpha )}=(a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} )- i ( a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ).
$$

С другой стороны, $\bar{\alpha }=r(\cos \varphi -i\sin \varphi )=r(\cos (-\varphi )+i\sin (-\varphi ))$, поэтому с учетом нечетности синуса и четности косинуса получаем
$$
f(\bar{\alpha })=(a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} ) - i (a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ),
$$
то есть $\overline{f(\alpha )}=f(\bar{\alpha })$.
}}

{{Определение
|definition=
Полином с вещественными коэффициентами называется '''неприводимым''', если он не делится нацело на полином с вещественными коэффициентами меньшей степени.
}}

{{Теорема
|statement=Любой полином $f(x)$ с вещественными коэффициентами однозначно с точностью до порядка сомножителей представляется в виде произведения неприводимых полиномов.
|proof=Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{k}$ {{---}} все вещественные корни полинома $f(x)$, а $\beta $ {{---}} произвольный комплексный корень. Тогда, очевидно, $f(\beta )=0$, следовательно, $\overline{f(\beta )}=0$, поэтому в соответствии с леммой $f(\bar{\beta })=0$. Таким образом, если комплексное число является корнем полинома с вещественными коэффициентами, то корнем является и комплексно сопряженное число.

Из теоремы 1.3.2 следует, что полином $f(x)$ можно разложить на множители
$$f(x)=a_{0} (x-\alpha_{1} )(x-\alpha_{2} )\cdots (x-\alpha_{k} )(x-\beta_{1} )(x-\bar{\beta }_{1} )\cdots (x-\beta_{l} )(x-\bar{\beta }_{l} ).$$

Ясно, что $\varphi_{s} (x)=x-\alpha_{s} $, $s=\overline{1,k}$ {{---}} это неприводимые полиномы. Рассмотрим полином $\psi_{m} (x)=(x-\beta_{m} )(x-\bar{\beta }_{m} )=x^{2} -(\beta_{m} +\bar{\beta }_{m} )x+\beta_{m} \bar{\beta }_{m} =x^{2} -\gamma_{m}^{(1)} x+\gamma_{m}^{(2)}$. В силу свойств комплексных чисел $\gamma_{m}^{(1)} $ и $\gamma_{m}^{(2)} $ {{---}} это вещественные числа, поэтому $\psi_{m} (x)$, $m=\overline{1,l}$ неприводимы.
}}

Доказанная теорема позволяет утверждать, что в общем случае, когда у полинома $f(x)$ имеются кратные корни, то этот полином представляется в виде
\begin{equation} \label{eq_1_5_1}
f(x) = p_{1}^{k_{1} } (x)p_{2}^{k_{2} } (x)\cdots p_{l}^{k_{l} } (x),
\end{equation}
где $p_{i}^{k_{i} } (x)$ степень неприводимого полинома $p_{i} (x)$, причем $p_{i} (x)\ne p_{j} (x)$, когда $i\ne j$.

Заметим, что полином нечетной степени с вещественными коэффициентами всегда имеет хотя бы один вещественный корень, в то время как полином четной степени может и не иметь таких корней.

{{Теорема
|statement='''(Теорема Виета)'''

Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}$ {{---}} корни приведенного полинома $f(x)=x^{n} +a_{1} x^{n-1} +...+a_{n-1} x + a_{n}$. Тогда между коэффициентами этого полинома и его корнями существуют следующие зависимости:
\begin{align}
\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{n} =-a_{1},\\
\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{n-1} \alpha_{n} =a_{2},\\
\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3} +\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{4} +...+\alpha_{n-2} \alpha_{n-1} \alpha_{n} =-a_{3},\\
{\dots}{\dots}{\dots}{\dots} \\
\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n} =(-1)^{n} a_{n} .
\end{align}
|proof=Доказательство проведем методом математической индукции. При $n=1$ формулы очевидны, а при $n=2$ превращаются в хорошо знакомые формулы Виета для квадратного трехчлена. Допустим, что формулы справедливы при $n=k$. Докажем их справедливость для случая $n=k+1$.

В силу индукционного предположения любой полином $k$-й степени, имеющий корни $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{k}$, представим в виде
$$f(x)=x^{k} -(\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{k} )x^{k-1} +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k-1} \alpha_{k} )x^{k-2} +...+(-1)^{k} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k} .$$

Если $\alpha_{k+1}$ корень полинома степени $k+1$, то для этого полинома справедливо:
$$f(x)=[x^{k} -(\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{k} )x^{k-1} +$$
$$+(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k-1} \alpha_{k} )x^{k-2} +...+(-1)^{k} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k} ](x-\alpha_{k+1} )=$$
$$f(x)=x^{k+1} -(\alpha_{1} +...+\alpha_{k} +\alpha_{k+1} )x^{k} +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k} \alpha_{k+1} )x^{k-1} +...+(-1)^{k+1} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k+1},$$
что и требовалось доказать.
}}