СВ в 10:06, 23 ноября 2021

2021-11-23T10:06:02Z

← Предыдущая		Версия 10:06, 23 ноября 2021
Строка 60:		Строка 60:
	а с другой стороны, получаем		а с другой стороны, получаем
	<math>		<math>
	f(\xi_1^\ast, \xi_2^\ast, ..., \xi_n^\ast ) = \varphi (\zeta_1^\ast, \zeta_2^\ast, ..., \zeta_n^\ast ) = \beta_1 \zeta_1^{\ast 2} + \cdots + \~~alpha_r~~ \zeta_r^{\ast 2} > 0.		f(\xi_1^\ast, \xi_2^\ast, ..., \xi_n^\ast ) = \varphi (\zeta_1^\ast, \zeta_2^\ast, ..., \zeta_n^\ast ) = \beta_1 \zeta_1^{\ast 2} + \cdots + \beta_r \zeta_r^{\ast 2} > 0.
	</math>		</math>

СВ: Новая страница: «Канонический вид любой квадратичной формы определен неоднозначно. Например, если квадр...»

2021-11-23T07:49:56Z

Новая страница: «Канонический вид любой квадратичной формы определен неоднозначно. Например, если квадр...»

Новая страница

Канонический вид любой квадратичной формы определен неоднозначно. Например, если квадратичная форма имеет канонический вид
<math>
f(\xi_1, \xi_2, ...,\xi_n ) = \lambda_1 \xi_1^2 + \cdots + \lambda_k \xi_k^2 - \lambda_{k + 1} \xi_{k + 1}^2 - \cdots - \lambda_n \xi_n^2,
</math>
где <math>\lambda_i \ge 0</math> для любого <math>i = \overline {1,n}</math>, то всегда можно
сделать еще одно невырожденное преобразование по формулам <math>\eta_1 = \sqrt {\lambda_1 } \xi_1</math>, ..., <math>\eta_k = \sqrt {\lambda_k } \xi_k</math>, ..., <math>\eta_n = \sqrt {\lambda_n } \xi_n</math>, в результате которого получаем
<math>
g(\eta_1, \eta_2, ...,\eta_n ) = \eta_1^2 + \cdots + \eta_k^2 - \eta _{k + 1}^2 - \cdots - \eta_n^2 .
</math>

Общим у этих квадратичных форм является количество <math>N^{+}</math> положительных коэффициентов и количество <math>N^{-}</math> отрицательных коэффициентов.
Таким образом, общее число ненулевых коэффициентов составляет <math>N^{+} + N^{-}</math>, а оно равно рангу квадратичной формы.

{{Теорема
|id=Th1
|about=закон инерции
|statement=Число положительных и число отрицательных коэффициентов при квадратах переменных в каноническом виде данной квадратичной формы, к которому она приводится в результате невырожденного линейного преобразования, не зависит от выбора указанного преобразования.
|proof=Пусть квадратичная форма <math>f({\bf x})=f(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n )</math> с помощью невырожденного
преобразования <math>{\bf x} = {\bf By}</math> приводится к каноническому виду
<math>
g({\bf y}) = g(\eta_1, \eta_2, ..., \eta_n ) = \alpha_1 \eta_1^2 + \cdots + \alpha_k \eta_k^2 - \alpha_{k + 1} \eta_{k + 1}^2 - \cdots - \alpha_n \eta_n^2
</math>,
где <math>\alpha_i \ge 0</math>, <math>i = \overline {1,n}</math>, а в результате преобразования <math>{\bf x} = {\bf Cz}</math> к виду
<math>
\varphi ({\bf z}) = \varphi (\zeta_1, \zeta_2, ..., \zeta_n ) = \beta_1 \zeta_1^2 + \cdots + \beta_r \eta_r^2 - \beta_{r + 1} \eta_{r + 1}^2 - \cdots - \beta_n \zeta_n^2
</math>.

Предположим противное, что <math>k < r</math>. Заметим, что указанные линейные преобразования являются обратимыми, поэтому имеем

<math>
{\bf y} = {\bf B}^{-1}{\bf x} \Leftrightarrow \eta_i = \sum\limits_{j = 1}^n {\mu_{ij} \xi_j }, i = \overline {1,n},
</math>

<math>
{\bf z} = {\bf C}^{ - 1}{\bf x} \Leftrightarrow \zeta_i = \sum\limits_{j = 1}^n {\theta_{ij} \xi_j }, i = \overline {1,n} .
</math>

Положим <math>\eta_1 = \eta_2 = \cdots = \eta_k = 0</math>, <math>\zeta_{r + 1} = \zeta _{r + 2} = \cdots = \zeta_n = 0</math>. Указанные равенства определяют систему линейных алгебраических уравнений

<math>
\label{eq5}
\left\{
\begin{array}{l}
\sum\limits_{j = 1}^n {\mu_{ij} \xi_j = 0, i = \overline {1,k}, } \\
\sum\limits_{j = 1}^n {\theta_{ij} \xi_j = 0, i = \overline {r + 1,n} .} \\
\end{array}
\right.
</math>

Число уравнений в системе равно <math>k + n - r</math>, а число неизвестных <math>n</math>.
По предположению <math>k < r</math>, поэтому <math>k + n - r < n</math>.
Следовательно, система имеет нетривиальное решение <math>\xi_1^\ast, \xi_2^\ast, ..., \xi_n^\ast </math>.

Тогда <math>\eta_i^\ast = \sum\limits_{j = 1}^n {\mu_{ij} \xi_j^\ast }</math>, причем <math>\eta_{1 }^\ast = \eta_{2 }^\ast = \cdots = \eta_{k }^\ast = 0</math>, а <math>\zeta_i^\ast = \sum\limits_{j = 1}^n {\theta_{ij} \xi_j^\ast }</math>,
где <math>\zeta_{r + 1}^\ast = \zeta_{r + 2}^\ast = \cdots = \zeta_{n}^\ast = 0</math>, <math>i = \overline {1,n}</math>.
Поэтому, с одной стороны, имеем
<math>
f(\xi_1^\ast, \xi_2^\ast, ...,\xi_n^\ast ) = g(\eta_1^\ast, \eta_2^\ast, ...,\eta_n^\ast ) = - \alpha_{k + 1} \eta_{k + 1}^{\ast 2} - \cdots - \alpha_n \eta_n^{\ast 2} < 0,
</math>
а с другой стороны, получаем
<math>
f(\xi_1^\ast, \xi_2^\ast, ..., \xi_n^\ast ) = \varphi (\zeta_1^\ast, \zeta_2^\ast, ..., \zeta_n^\ast ) = \beta_1 \zeta_1^{\ast 2} + \cdots + \alpha_r \zeta_r^{\ast 2} > 0.
</math>

Полученное противоречие доказывает, что <math>k = r = N^{+}</math>.
}}

{{Замечание
|content=Так как число ненулевых коэффициентов в каноническом виде данной квадратичной формы не зависит от выбора преобразования и равно ее рангу, то,
очевидно, что и <math>N^{-}</math> также не зависит от способа приведения <math>f({\bf x})</math> к каноническому виду.
}}

Положительно определенные квадратичные формы - История изменений

СВ в 10:06, 23 ноября 2021

СВ: Новая страница: «Канонический вид любой квадратичной формы определен неоднозначно. Например, если квадр...»