St001214: Новая страница: «{{Определение |definition= Пространством $R^n$ будем называть совокупность упорядоченных...»

2021-11-25T13:19:31Z

Новая страница: «{{Определение |definition= Пространством <math>R^n</math> будем называть совокупность упорядоченных...»

Новая страница

{{Определение
|definition=
Пространством <math>R^n</math> будем называть совокупность упорядоченных наборов из <math>n</math> вещественных чисел или, что тоже самое, совокупность <math>n</math>-мерных векторов, т.е.
<math>R^n=\{{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T, \hbox{ где } x_i\in R, i=1,\ldots,n\}</math>.

Число <math>n</math> в этом случае будет размерностью пространства.
}}
Так <math>R^1=R</math> {{---}} одномерное множество вещественных чисел, пространство <math>R^2</math> задает множество точек на плоскости, <math>R^3</math> представляет собой наше трехмерное пространство, и т.д.

== Метрика в пространстве <math>R^n</math> ==

Для произвольных <math>{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T</math>, <math>{\bf y}=(y_1,\ldots,y_n)^T</math> можно положить
<math>\rho_1({\bf x},{\bf y})=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}</math>.
Такая метрика называется сферической (или евклидовой). Она равна геометрическому расстоянию между точками <math>{\bf x}</math> и <math>{\bf y}</math>.

Проверим аксиомы для этой метрики. Неотрицательность и симметричность, очевидно, имеют место. Докажем справедливость неравенства треугольника.

Для любых чисел <math>t,a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n</math> верно неравенство <math>\sum_{i=1}^n(a_it+b_i)^2 \geq 0</math>.
Отсюда имеем
<math>
At^2+2Bt+C\geq0,
</math>
где <math>A=\sum\limits_{i=1}^na_i^2</math>, <math>B=\sum\limits_{i=1}^na_ib_i</math>, <math>C=\sum\limits_{i=1}^nb_i^2</math>. Поскольку неравенство выполняется при всех <math>t</math>, то соответствующий
дискриминант квадратичного выражения должен удовлетворять условию: <math>B^2-AC\leq0</math>. Значит,
<math>
\left(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\right)^2-\left(\sum\limits_{i=1}^na_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2\right)\leq0.
</math>

Тогда <math>\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\leq\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2}.</math>

Получаем
<math>
\sum\limits_{i=1}^na_i^2+\sum\limits_{i=1}^nb_i^2+2\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\leq\sum\limits_{i=1}^na_i^2+\sum\limits_{i=1}^nb_i^2+2\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2},
</math>
или
<math>\sum\limits_{i=1}^n(a_i+b_i)^2\leq\left(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}+\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2}\right)^2.</math>

В результате находим, что
<math>
\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(a_i+b_i)^2}\leq\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}+\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2}.
</math>

Выберем произвольные <math>{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T</math>, <math>{\bf y}=(y_1,\ldots,y_n)^T</math>, <math>{\bf z}=(z_1,\ldots,z_n)^T</math>. Положим:
<math>a_i=x_i-z_i,\quad b_i=z_i-y_i,\quad i=1,\dots,n.</math>
Приходим к неравенству треугольника. Следовательно все аксиомы для сферической метрики выполнены.

Заметим, что окрестность
<math>U_{\varepsilon}^{(1)}({\bf x}_0)=\{{\bf x}\in R^n: \rho_1({\bf x},{\bf x}_0) \lt \varepsilon\}</math>
представляет собой геометрический шар (поэтому данная метрика и называется сферической).

Метрику можно вводить по-разному, вопрос лишь в удобстве использования той или иной формулы при решении различных задач.
Так, например, для пространства <math>R^n</math> можно положить
<math>\rho_2({\bf x},{\bf y})=\max_{i=1,\ldots,n}|x_i-y_i|,</math>
все аксиомы метрики также будут выполнены.

Окрестность
<math>U_{\varepsilon}^{(2)}({\bf x}_0)=\{{\bf x}\in R^n: \rho_2({\bf x},{\bf x}_0) \lt \varepsilon\}</math>
в этом случае представляет собой геометрический параллелепипед. Поэтому метрику <math>\rho_2</math> принято называть параллелепипедальной.

Отметим, что при <math>n=1</math> эти две метрики совпадают (<math>\rho_1(x,y)=\rho_2(x,y)=|x-y|</math>).

{{Лемма
|statement=Для любого <math>{\bf x}\in R^n</math> верно:
* для любого <math>\varepsilon \gt 0</math> можно указать такое <math>\varepsilon_1 \gt 0</math>, что <math>U_{\varepsilon_1}^{(2)}({\bf x})\subset U_{\varepsilon}^{(1)}({\bf x})</math>;</li>
* для любого <math>\varepsilon \gt 0</math> можно указать такое <math>\varepsilon_2 \gt 0</math>, что <math>U_{\varepsilon_2}^{(1)}({\bf x})\subset U_{\varepsilon}^{(2)}({\bf x})</math>.</li>
}}

Лемма утверждает, что в любую сферическую окрестность элемента из <math>R^n</math> можно всегда поместить некоторую параллелепипедальную окрестность, и наоборот.
Из этого следует, что метрики <math>\rho_1</math> и <math>\rho_2</math> эквивалентны в плане близости элементов (т.е. все результаты, доказанные с использованием одной метрики, будут справедивы и для другой).

Есть и другие способы выбора метрики в пространстве <math>R^n</math>. Далее, если не оговорено противное, под метрикой <math>\rho({\bf x},{\bf y})</math> будем понимать евклидову (сферическую) метрику.

Пространство Rn - История изменений

St001214: Новая страница: «{{Определение |definition= Пространством R^n будем называть совокупность упорядоченных...»

St001214: Новая страница: «{{Определение |definition= Пространством $R^n$ будем называть совокупность упорядоченных...»