StudentL: Новая страница: «{{Теорема |id=pol |statement= В алгебраически замкнутом поле любой полином $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n <...»$

2021-12-27T10:32:43Z

Новая страница: «{{Теорема |id=pol |statement= В алгебраически замкнутом поле любой полином <math>a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n <...»

Новая страница

{{Теорема
|id=pol
|statement=
В алгебраически замкнутом поле любой полином <math>a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n </math>, <math>a_0 \neq 0</math>, <math>n \geqslant 1</math>, имеет разложение на линейные множители вида <math>a_0(x - c_1)(x - c_2) \dots (x - c_n)</math>, и такое разложение единственное.
|proof=
Оба утверждения будут доказаны с помощью метода математической индукции по степени полинома.

''Доказательство возможности разложения''. Полином первой степени <math>a_0x + a_1</math> при <math>a_0 \neq 0</math> в любом поле имеет корень <math>c = - \frac{a_1}{a_0}</math>, и <math> a_0x + a_1 = a_0(x - c) </math>.
Пусть теперь <math>n > 1</math>. В силу алгебраической замкнутости полином <math>f(x)</math> имеет по крайней мере один корень <math>c_1</math> и, следовательно, <math>f(x) = (x - c_1) \cdot f_1(x)</math>, где <math>f_1(x) = a_0x^{n-1} + b_1x^{n - 2} + \dots + b_{n-1}</math> {{---}} полином степени <math>n - 1</math>. В силу индуктивного предположения <math>f_1(x) = a_0(x - c_2) \dots (x - c_n)</math>, откуда <math>f(x) = a_0(x - c_1)(x - c_2) \dots (x - c_n)</math>.

''Доказательство единственности разложения''. При <math>n = 1</math> если <math>a_0x + a_1 = a_0(x - c) = a_0(x - c^\prime)</math>, то <math>a_0(c - c^\prime) = 0</math>, откуда <math>c = c^\prime</math>, т.к. <math>a_0 \neq 0</math>.

Пусть теперь <math>n > 1</math> и есть два разложения <math>f(x) = a_0(x - c_1)(x - c_2) \dots (x - c_n) = a_0(x - c_1^\prime)(x - c_2^\prime) \dots (x - c_n^\prime)</math>. $\\$ Положим <math> x = c_1</math>, получим

<math>f(c_1) = 0 = a_0(c_1 - c_1^\prime)(c_1 - c_2^\prime) \dots (c_1 - c_n^\prime)</math>. Т.к. <math>a_0 \neq 0</math>, то без потери общности можно считать, что <math>c_1 = c_1^\prime</math>

и <math>a_0\boldsymbol{(x - c_1)}(x - c_2) \dots (x - c_n) = a_0\boldsymbol{(x - c_1)}(x - c_2^\prime) \dots (x - c_n^\prime)</math>.

Т.к. кольцо полиномов над полем {{---}} область целостности, то можно сократить обе части равенства на <math>x - c_1</math>, получив <math>a_0(x - c_2)(x - c_3) \dots (x - c_n) = a_0(x - c_2^\prime)(x - c_3^\prime) \dots (x - c_n^\prime)</math>. В силу индуктивного предположения эти разложения совпадают. Следовательно совпадают и исходные разложения <math>f(x)</math>.
}}

Разложение полинома на множители - История изменений

StudentL: Новая страница: «{{Теорема |id=pol |statement= В алгебраически замкнутом поле любой полином a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n <...»

StudentL: Новая страница: «{{Теорема |id=pol |statement= В алгебраически замкнутом поле любой полином $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n <...»$