СВ: Новая страница: «Пусть ${\bf a}_i \in R^n$ {{---}} произвольная $i-$я строка матрицы ${\rm {\bf S} } = [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_p ] = [p\...»

2026-11-04T18:28:31Z

Новая страница: «Пусть ${\bf a}_i \in R^n$ {{---}} произвольная $i-$я строка матрицы ${\rm {\bf S} } = [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_p ] = [p\...»

Новая страница

Пусть ${\bf a}_i \in R^n$ {{---}} произвольная $i-$я строка матрицы ${\rm {\bf S} } = [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_p ] = [p\times n]$. Каждая строка является элементом линеала $R^n$, поэтому если число строк в матрице $p > n$, то строки ${\bf a}_1, {\bf a}_2,..., {\bf a}_p $ линейно зависимы. С другой стороны, очевидно, что среди ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_p $ существует ровно $k \le n$ строк, являющихся линейно независимыми, по которым можно разложить остальные $(n - k)$ строк.

{{Определение
|definition=
Указанная совокупность $k$ строк называется '''строчечным базисом''', а число $k$ {{---}} строчечным рангом матрицы.
}}
Аналогично, если матрица ${\rm {\bf S} } = [{\bf a}^1, {\rm {\bf a} }^2, ..., {\bf a}^n]$, где ${\bf a}^j \in R^p$, то в ней существует не более $p$ линейно независимых столбцов. Среди столбцов ${\bf a}^1, {\bf a}^2, ..., {\bf a}^n$ имеется ровно $m \le p$ линейно независимых, по которым можно разложить любой из остальных $p - m$ столбцов.
{{Определение
|definition=
Указанная совокупность $m$ столбцов называется '''столбцовым базисом''', а число $m$ {{---}} '''столбцовым рангом''' матрицы $S$.
}}
[[Файл:p03-06-01-row-column-rank.svg|thumb|800px|alt=Матрица 3 × 4: третья строка равна сумме первых двух; первые два столбца образуют базис, c3 и c4 выражены через них|Рис. 1. Одна матрица <math>3 \times 4</math>: третья строка равна сумме первых двух, поэтому строчечный ранг <math>k = 2</math>. По столбцам <math>c_3 = -2c_1 + c_2</math> и <math>c_4 = -3c_1 + 2c_2</math>, поэтому и столбцовый ранг равен 2.]]

{{Теорема
|statement=Строчечный (столбцовый) ранг любой матрицы не зависит от выбора строчечного (столбцового) базиса.
|proof=Проведем доказательство для строчечного базиса. Пусть ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_k $ и ${\rm {\bf c} }_1, {\rm {\bf c} }_2, ..., {\rm {\bf c} }_r $ два разных строчечных базиса одной и той же матрицы. Предположим, что $r > k$. Поскольку ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_k $ базис, то строки ${\rm {\bf c} }_j $, $j = \overline {1,r} $ можно разложить по этому базису, т. е. ${\rm {\bf c} }_j = \sum\limits_{i = 1}^k {\alpha _{ij} } {\bf a}_i $, $j = \overline {1,r} $. Так как ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\rm {\bf a} }_k $ линейно независимы, то в соответствии с теоремой 3.5.3 строки ${\rm {\bf c} }_1, {\rm {\bf c} }_2, ..., {\rm {\bf c} }_r $ линейно зависимы. Полученное противоречие доказывает, что $k \ge r$. Аналогично показывается, что $k $не может быть больше$ r$, поэтому $k = r$.
}}
Пусть дана прямоугольная матрица ${\bf a} = [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ...., {\bf a}_m ] = [{\bf a}^1, {\bf a}^2,..., {\bf a}^n]$, ${\bf a}_i \in R^n, {\bf a}^j \in R^m$. Допустим, что строчечный ранг этой матрицы равен $k$. Без ограничения общности можно считать, что первые $k$ строк образуют базис, а любая другая строка матрицы ${\bf a}$ представима в виде их линейной комбинации, т. е.
<math>
{\bf a}_s = \sum\limits_{i = 1}^k {\gamma _{si} {\bf a}_i },
\quad
s = \overline {k + 1,m}.
</math>

Из первых $k$ строк матрицы ${\bf a}$ построим вспомогательную матрицу ${\rm {\bf \tilde {A} } } = [{\rm {\bf \tilde {a} } }_1, {\rm {\bf \tilde {a} } }_2, ..., {\rm {\bf \tilde {a} } }_k ]$, где ${\rm {\bf \tilde {a} } }_i = {\bf a}_i $, $i = \overline {1,k} $. Пусть ${\rm {\bf \tilde {a} } }^j$ есть $j-$й столбец матрицы ${\rm {\bf \tilde {A} } } = [{\rm {\bf \tilde {a} } }^1,{\rm {\bf \tilde {a} } }^2,..., {\rm {\bf \tilde {a} } }^n]$.

{{Лемма
|statement=Если для некоторых чисел $\beta _1, \beta _2, ..., \beta _n $ справедливо равенство $\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i {\rm {\bf \tilde {a} } }^i = 0}$, то $\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i {\bf a}^{\rm {\bf i} } = 0}$.
|proof=Если ввести обозначение
<math>{\rm {\bf b} } = \left( {{\begin{array}{c}
{\beta _1 } \\
{\beta _2 } \\
\vdots \\
{\beta _n } \\
\end{array} } } \right)</math>, то произведение ${\bf a}_j {\rm {\bf b} }$ определяет $j-$ю компоненту столбца $\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i {\rm {\bf a} }^i} $.
Из равенства $\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i {\rm {\bf \tilde {a} } }^i = 0} $ следует, что первые $k$ компонент указанного столбца $\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i {\bf a}^i} $ по построению матрицы
${\rm {\bf \tilde {A} } }$ равны нулю, т. е. ${\bf a}_i {\rm {\bf b} } = 0$, $i = \overline {1,k} $. Тогда для любого $s = \overline {k + 1,m} $ и имеем

<math>
{\bf a}_s {\rm {\bf b} } = \left( {\sum\limits_{i = 1}^k {\gamma _{si} {\bf a}_i } } \right){\rm {\bf b} } = \sum\limits_{i = 1}^k {\gamma _{si} ({\bf a}_i {\rm {\bf b} }) = 0} .
</math>
}}
{{Теорема
|statement=Строчечный ранг любой матрицы равен ее столбцовому рангу.
|proof=Допустим, что столбцовый базис матрицы ${\rm {\bf \tilde {A} } } = [{\rm {\bf \tilde {a} } }_1, {\rm {\bf \tilde {a} } }_2, ..., {\rm {\bf \tilde {a} } }_k ]$ состоит из $r$ первых столбцов ${\rm {\bf \tilde {a} } }^1,{\rm {\bf \tilde {a } } }^2,..., {\rm {\bf \tilde {a} } }^r$. Так как ${\rm {\bf \tilde {a} } }^i \in R^k$, то $r \le k$. Столбцы ${\rm {\bf \tilde {a} } }^1,{\rm {\bf \tilde {a} } }^2,..., {\rm {\bf \tilde {a} } }^r$ образуют базис, поэтому для любого $s = \overline {r + 1,n} $ имеем ${\rm {\bf \tilde {a} } }^s = \sum\limits_{i = 1}^r {\beta _{si} {\rm {\bf \tilde {a} } }^i} $. Следовательно, справедливо равенство $\sum\limits_{i = 1}^r {\beta _{si} {\rm {\bf \tilde {a} } }^i} - {\rm {\bf \tilde {a} } }^s = 0$. Тогда в силу леммы 3.6.1 имеем $\sum\limits_{i = 1}^r {\beta _{si} {\rm {\bf a} }^i} - {\bf a}^s = 0$, отсюда следует, что ${\bf a}^1, {\rm {\bf a} }^2, ..., {\bf a}^r$ есть столбцовый базис матрицы ${\rm {\bf A} }$. Поскольку имеем неравенство $r \le k$, то столбцовый ранг не превосходит строчечный. Аналогичные рассуждения относительно строчечного базиса приводят к выводу, что $r \ge k$. Следовательно, строчечный ранг матрицы совпадает со столбцовым рангом.
}}
{{Определение
|definition=
Общее значение столбцового и строчечного ранга называется рангом матрицы ${\bf a}$ и обозначается $rank{\rm {\bf A} }$.
}}
{{Теорема
|statement=Определитель матрицы ${\bf a} = [n\times n]$ равен нулю тогда и только тогда, когда $rank{\bf a} < n$.
|proof='''Достаточность.''' Пусть $rank{\bf a} < n$, следовательно, строки матрицы ${\bf a}$ линейно зависимы. Поэтому в соответствии с теоремой из параграфа 3 главы 3, по крайней мере, одну из них можно разложить по оставшимся строкам. Без ограничения общности будем считать, что ${\bf a}_n = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\gamma _{ni} {\bf a}_i } $. Определитель $\det {\bf a}$ не изменяется, если к любой из его строк прибавить другую строку, умноженную на заданное число. Следовательно,
<math>
\det {\bf a} = \det [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\rm {\bf a} }_n ] = \det [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n - \gamma _1 {\bf a}_1 - \cdots - \gamma _{n - 1} {\bf a}_{n - 1} ] = \det [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_{n - 1}, 0] = 0.
</math>

'''Необходимость.''' Доказательство проведем методом математической индукции по числу $n$. При $n = 1$ имеем $\det {\bf a} = \alpha _{11} = 0$, т. е. ${\bf a}_1 = 0$ {{---}} линейно зависимая строка. Допустим, что теорема доказана для $n = k - 1$, докажем ее для случая $n = k$.

Пусть ${\bf a} = [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ...., {\rm {\bf a} }_k ] = \left\{ {\alpha _{ij} } \right\}_{i,j = 1}^{k,k} $. Построим вспомогательные строки, считая $\alpha _{11} \ne 0$:
<math>
{\rm {\bf b} }_2 = {\bf a}_2 - \frac{\alpha _{21} }{\alpha _{11} }{\rm {\bf a} }_1 = (0,{\alpha }'_{22}, {\alpha }'_{23}, ..., {\alpha }'_{2k} ), ..., {\rm {\bf b} }_k = {\bf a}_k - \frac{\alpha _{k1} }{\alpha _{11} }{\rm {\bf a} }_1 = (0,{\alpha }'_{k2}, {\alpha }'_{k3}, ..., {\alpha }'_{kk} ).
</math>

Тогда
<math>
\det {\bf a} = \det [{\bf a}_1, {\rm {\bf b} }_2, ..., {\rm {\bf b} }_k ] = \alpha _{11} \left| {{\begin{array}{*{20}c}
{{\alpha }'_{22} } & {{\alpha }'_{23} ...} & {{\alpha }'_{2k} } \\
\vdots & { \vdots ...} & \vdots \\
{{\alpha }'_{k2} } & {{\alpha }'_{k3} ...} & {{\alpha }'_{kk} } \\
\end{array} } } \right| = 0,
</math>
следовательно,
<math>
\det {\rm {\bf \bar {A} } } = \left| {{\begin{array}{*{20}c}
{{\alpha }'_{22} } & {{\alpha }'_{23} ...} & {{\alpha }'_{2k} } \\
\vdots & { \vdots ...} & \vdots \\
{{\alpha }'_{k2} } & {{\alpha }'_{k3} ...} & {{\alpha }'_{kk} } \\
\end{array} } } \right| = 0.
</math>

По индукционному предположению $rank{\rm {\bf \bar {A} } } < k - 1$, т. е. строки $({\alpha }'_{22}, {\alpha }'_{23}, ..., {\alpha }'_{2k} )$, ..., $({\alpha }'_{k2}, {\alpha }'_{k3}, ..., {\alpha }'_{kk} )$ линейно зависимы.
Но тогда линейно зависимыми являются ${\rm {\bf b} }_2, {\rm {\bf b} }_3, ..., {\rm {\bf b} }_k $, следовательно, существуют числа $\gamma _2, \gamma _3, ..., \gamma _k $ не равные нулю одновременно, что $\gamma _2 {\rm {\bf b} }_2 + \gamma _3 {\rm {\bf b} }_3 + ... + \gamma _k {\rm {\bf b} }_k = 0$.
Поэтому справедливо соотношение
<math>
\left( { - \gamma _2 \frac{\alpha _{21} }{\alpha _{11} } - \cdots - \gamma _k \frac{\alpha _{k1} }{\alpha _{11} } } \right){\bf a}_1 + \gamma _2 {\bf a}_2 + \gamma _3 {\bf a}_3 + ... + \gamma _k {\rm {\bf a} }_k = 0,
</math>
отсюда следует линейная зависимость ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_k $, т. е. $rank[{\bf a}_1, {\bf a}_2,..., {\bf a}_k ] < k$.
}}
{{Теорема
|statement=Ранг матрицы равен наибольшему порядку миноров, отличных от нуля.
|proof=Допустим, что $rank{\bf a} = k$. Тогда в матрице ${\bf a}$ существует ровно $k$ линейно независимых строк, образующих строчечный базис, и $k$ линейно независимых столбцов, составляющих столбцовый базис. Поэтому минор $k-$го порядка, построенный на указанных строках и столбцах, очевидно, не равен нулю. При этом все миноры порядка $k + 1$ и выше (если таковые имеются) будут равны нулю, как содержащие линейно зависимые строки и линейно зависимые столбцы.
}}
[[Файл:p03-06-02-rank-minor.svg|thumb|800px|alt=Матрица с выделенным минором 2 × 2, равным 1, и карточки: det A ≠ 0 при rank A = n, det A = 0 при rank A < n|Рис. 2. Минор второго порядка <math>M_2 = 1 \neq 0</math> даёт <math>\operatorname{rank} A \ge 2</math>, а все миноры третьего порядка равны нулю, так как содержат зависимые строки. Справа: для квадратной матрицы <math>\det A \neq 0 \iff \operatorname{rank} A = n</math>, а <math>\det A = 0 \iff \operatorname{rank} A < n</math>.]]

{{Лемма
|statement=Ранг произведения двух матриц не превосходит ранг каждого из сомножителей.
|proof=Пусть даны произвольные матрицы ${\bf a} = [{\bf a}_1, ..., {\bf a}_m ] = [{\bf a}^1, ..., {\rm {\bf a} }^n] = \{\alpha _{ij} \}_{i,j = 1}^{m,n} $, ${\rm {\bf B} } = [{\rm {\bf b} }_1, ..., {\rm {\bf b} }_n ] = [{\rm {\bf b} }^1,..., {\rm {\bf b} }^r] = \{\beta _{jk} \}_{j,k = 1}^{n,r} $. Тогда произведение
<math>
{\rm {\bf AB} } = [{\rm {\bf Ab} }^1,..., {\rm {\bf Ab} }^r] = \left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _{i1} {\bf a}^i,..., } \sum\limits_{i = 1}^n {\beta _{ir} {\bf a}^i} } \right],
</math>
следовательно, каждый столбец произведения есть линейная комбинация столбцов матрицы ${\bf a}$, поэтому $rank({\rm {\bf AB} }) \le rank{\rm {\bf A} }$. Аналогично, имеем
<math>
{\rm {\bf AB} } = [{\bf a}_1 {\rm {\bf B} },..., {\bf a}_m {\rm {\bf B} }] = \left[ {\sum\limits_{j = 1}^n {\alpha _{1j} {\rm {\bf b} }_j, ..., \sum\limits_{j = 1}^n {\alpha _{mj} {\rm {\bf b} }_j } } } \right],
</math>
отсюда каждая строка произведения равна линейной комбинации строк матрицы ${\rm {\bf B} }$, т. е. $rank({\rm {\bf AB} }) \le rank{\rm {\bf B} }$.
}}
{{Лемма
|statement=Для произвольной невырожденной матрицы ${\rm {\bf B} }$ и любой матрицы ${\bf a}$ справедливо равенство $rank({\rm {\bf AB} }) = rank{\bf a}$.
|proof=Если матрица ${\rm {\bf C} } = {\rm {\bf AB} }$, то в силу леммы 3.6.2 $rank{\rm {\bf C} } \le rank{\bf a}$. Так как матрица ${\rm {\bf B} }$ по условию является невырожденной, то существует обратная матрица ${\rm {\bf B} }^{ - 1}$. Умножим матрицу ${\rm {\bf C} }$ справа на ${\rm {\bf B} }^{ - 1}$, получаем ${\rm {\bf CB} }^{ - 1} = {\rm {\bf ABB} }^{ - 1} = {\rm {\bf AE} } = {\bf a}$, следовательно, $rank{\rm {\bf C} } \ge rank{\bf a}$. Таким образом, справедливо равенство $rank{\rm {\bf C} } = rank{\bf a}$.
}}

----

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Ранг матрицы - История изменений

СВ: Новая страница: «Пусть ${\bf a}_i \in R^n$ {{---}} произвольная $i-$я строка матрицы ${\rm {\bf S} } = [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_p ] = [p\...»