Формула Муавра - История изменений

СВ в 17:21, 24 октября 2021

2021-10-24T17:21:32Z

← Предыдущая		Версия 17:21, 24 октября 2021
Строка 3:		Строка 3:
	<math>\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).</math>		<math>\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).</math>

	По [[Комплексные числа#col2\|следствию к теореме]] формула верна для натуральных <math>n</math>. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого <math>n\le 0</math>. Сначала заметим, что при <math>n=0</math> формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь <math>k=-m</math>, где <math>m ~~>~~ 0</math>. Тогда		По [[Комплексные числа#col2\|следствию к теореме]] формула верна для натуральных <math>n</math>. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого <math>n\le 0</math>. Сначала заметим, что при <math>n=0</math> формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь <math>k=-m</math>, где <math>m > 0</math>. Тогда

	<math>\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m }		<math>\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m }

СВ в 17:21, 24 октября 2021

2021-10-24T17:21:05Z

← Предыдущая		Версия 17:21, 24 октября 2021
Строка 1:		Строка 1:
	Для любого комплексного числа <math>\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)</math> (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма\|тригонометрической форме]]) и любого целого $n$:		Для любого комплексного числа <math>\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)</math> (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма\|тригонометрической форме]]) и любого целого <math>n</math>:

	$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$		<math>\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).</math>

	По [[Комплексные числа#col2\|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m > 0$. Тогда		По [[Комплексные числа#col2\|следствию к теореме]] формула верна для натуральных <math>n</math>. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого <math>n\le 0</math>. Сначала заметим, что при <math>n=0</math> формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь <math>k=-m</math>, где <math>m > 0</math>. Тогда

	$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m }		<math>\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m }
	= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^m }{ (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^m } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos(-m)\varphi + i \sin(-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$		= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^m }{ (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^m } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos(-m)\varphi + i \sin(-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).</math>

	[[Категория:Алгебра и геометрия]]		[[Категория:Алгебра и геометрия]]
	[[Категория:Комплексные числа]]		[[Категория:Комплексные числа]]

СВ в 22:47, 23 октября 2021

2021-10-23T22:47:26Z

← Предыдущая		Версия 22:47, 23 октября 2021
Строка 1:		Строка 1:
	Для любого комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма\|тригонометрической форме]]) и любого целого $n$:		Для любого комплексного числа <math>\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)</math> (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма\|тригонометрической форме]]) и любого целого $n$:

	$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$		$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$

СВ в 22:46, 23 октября 2021

2021-10-23T22:46:53Z

← Предыдущая		Версия 22:46, 23 октября 2021
Строка 3:		Строка 3:
	$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$		$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$

	По [[Комплексные числа#col2\|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m>0$. Тогда		По [[Комплексные числа#col2\|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m > 0$. Тогда

	$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m }		$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m }

СВ в 09:22, 22 октября 2021

2021-10-22T09:22:41Z

← Предыдущая		Версия 09:22, 22 октября 2021
Строка 1:		Строка 1:
	Для любого комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма\|тригонометрической форме]]) и любого целого $n$.		Для любого комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма\|тригонометрической форме]]) и любого целого $n$:

	$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$		$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$

СВ в 09:13, 22 октября 2021

2021-10-22T09:13:25Z

← Предыдущая		Версия 09:13, 22 октября 2021
Строка 4:		Строка 4:
	По [[Комплексные числа#col2\|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m>0$. Тогда		По [[Комплексные числа#col2\|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m>0$. Тогда

	$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =		$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m }
	r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$		= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^m }{ (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^m } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos(-m)\varphi + i \sin(-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$

	[[Категория:Алгебра и геометрия]]		[[Категория:Алгебра и геометрия]]
	[[Категория:Комплексные числа]]		[[Категория:Комплексные числа]]

СВ в 09:09, 22 октября 2021

2021-10-22T09:09:01Z

← Предыдущая		Версия 09:09, 22 октября 2021
Строка 4:		Строка 4:
	По [[Комплексные числа#col2\|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m>0$. Тогда		По [[Комплексные числа#col2\|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m>0$. Тогда

	$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} =\frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =		$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =
	r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$		r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$

	[[Категория:Алгебра и геометрия]]		[[Категория:Алгебра и геометрия]]
	[[Категория:Комплексные числа]]		[[Категория:Комплексные числа]]

СВ: Новая страница: «Для любого комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ (в Комплексные числа#Тригонометр...»

2021-10-22T09:07:48Z

Новая страница: «Для любого комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ (в Комплексные числа#Тригонометр...»

Новая страница

Для любого комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма|тригонометрической форме]]) и любого целого $n$.
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$

По [[Комплексные числа#col2|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m>0$. Тогда

$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} =\frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =
r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$

[[Категория:Алгебра и геометрия]]
[[Категория:Комплексные числа]]