СВ в 13:50, 25 октября 2026

2026-10-25T13:50:35Z

← Предыдущая		Версия 13:50, 25 октября 2026
Строка 10:		Строка 10:
	}}		}}
	Если $f(\lambda )=\det (\lambda E-A)=\lambda ^{n} +\beta_1 \lambda ^{n-1} +\cdots +\beta_{n-1} \lambda +\beta_n$, то $f(0)=\det (-A)=(-1)^{n} \det A$, отсюда $\beta_n =(-1)^{n} \det A$. Очевидно, что $\beta_1 =-(\alpha_{11} +\alpha_{22} +\cdots +\alpha_{nn} )$.		Если $f(\lambda )=\det (\lambda E-A)=\lambda ^{n} +\beta_1 \lambda ^{n-1} +\cdots +\beta_{n-1} \lambda +\beta_n$, то $f(0)=\det (-A)=(-1)^{n} \det A$, отсюда $\beta_n =(-1)^{n} \det A$. Очевидно, что $\beta_1 =-(\alpha_{11} +\alpha_{22} +\cdots +\alpha_{nn} )$.

			[[Файл:p02-11-01-characteristic-polynomial.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Матрица A, характеристическая матрица λE−A и полином λ²−5λ+6 с корнями 2 и 3\|Рис. 1. <math>\det(\lambda E-A)=(\lambda-2)(\lambda-3)=\lambda^2-5\lambda+6</math>. Свободный член <math>6=\det A</math>, коэффициент при <math>\lambda</math> равен <math>-5=-\operatorname{Sp}A</math>, а корни 2 и 3 — собственные значения.]]

	{{Определение		{{Определение
Строка 49:		Строка 51:
	$0=A^{n} +\beta_1 A^{n-1} +\beta_2 A^{n-2} +\cdots +\beta_{n-1} A+\beta_n E$, то есть $f(A)=0$.		$0=A^{n} +\beta_1 A^{n-1} +\beta_2 A^{n-2} +\cdots +\beta_{n-1} A+\beta_n E$, то есть $f(A)=0$.
	}}		}}

			[[Файл:p02-11-02-hamilton-cayley.svg\|frame\|none\|800px\|alt=Подстановка матрицы A в полином: A² − 5A + 6E равно нулевой матрице\|Рис. 2. Подстановка <math>A</math> в <math>f(\lambda)=\lambda^2-5\lambda+6</math> даёт <math>A^2-5A+6E=0</math>: все четыре элемента нулевые. Это теорема Гамильтона — Кэли.]]

	----		----

	Конспект: [[Алгебра и геометрия]]		Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

СВ: Новая страница: «{{Определение |definition=Матрица $\lambda E-A$, где $A=[n\times n]$, $\lambda $ {{---}} произвольный параметр, назы...»

2026-10-12T16:46:33Z

Новая страница: «{{Определение |definition=Матрица $\lambda E-A$, где $A=[n\times n]$, $\lambda $ {{---}} произвольный параметр, назы...»

Новая страница

{{Определение
|definition=Матрица $\lambda E-A$, где $A=[n\times n]$, $\lambda $ {{---}} произвольный параметр, называется \textit{характеристической матрицей} для матрицы$A$.
}}
{{Определение
|definition=Определитель характеристической матрицы $\det (\lambda E-A)$ называется \textit{характеристическим полиномом} матрицы $A$.
}}
{{Теорема
|statement=Степень характеристического полинома квадратной матрицы $A=[n\times n]$ равна $n$.
|proof=Пусть характеристический полином $f(\lambda )=\det (\lambda E-A)$. Как известно, определитель равен сумме произведений элементов характеристической матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Очевидно, что все указанные слагаемые являются полиномами от параметра $\lambda$. При этом наивысшую степень имеет слагаемое $\prod_{i=1}^{n}(\lambda -\alpha_{ii})$, поскольку все остальные слагаемые не будут содержать, по крайней мере, двух элементов, стоящих на главной диагонали матрицы $\lambda E-A$, а их степень не превосходит $n-2$. Поэтому имеем $\deg f(\lambda )=n$.
}}
Если $f(\lambda )=\det (\lambda E-A)=\lambda ^{n} +\beta_1 \lambda ^{n-1} +\cdots +\beta_{n-1} \lambda +\beta_n$, то $f(0)=\det (-A)=(-1)^{n} \det A$, отсюда $\beta_n =(-1)^{n} \det A$. Очевидно, что $\beta_1 =-(\alpha_{11} +\alpha_{22} +\cdots +\alpha_{nn} )$.

{{Определение
|definition=Сумма элементов, стоящих по главной диагонали матрицы $A$, называется следом этой матрицы и обозначается $\mbox{Sp}A$, то есть $\mbox{Sp}A=\alpha_{11} +\alpha_{22} +\cdots +\alpha_{nn} $.
}}
{{Определение
|definition=Корни полинома $f(\lambda )=\det (\lambda E-A)$ называются \textit{собственными значениями матрицы} $A$.
}}
Заметим, что в соответствии с теоремой Виета сумма собственных значений матрицы $A$ равна $\mbox{Sp}A$.
Пусть $g(\lambda )=\lambda ^{m} +\gamma_1 \lambda ^{m-1} +\cdots +\gamma_{m-1} \lambda +\gamma_{m} $ {{---}} произвольный полином степени $m$.
{{Определение
|definition=Под записью $g(A)$, где $A$ {{---}} квадратная матрица, в дальнейшем будем понимать матрицу
<math>g(A)=A^{m} +\gamma_1 A^{m-1} +\cdots +\gamma_{m-1} A+\gamma_{m} E.</math>
}}
{{Определение
|definition=Матрица $A$ называется аннулирующей для полинома $g(\lambda )$, если $g(A)=0$.
}}
{{Теорема
|author=Теорема Гамильтона-Кэли
|statement=Любая квадратная матрица является аннулирующей для своего характеристического полинома.
|proof=Пусть $f(\lambda )=\det (\lambda E-A)=\lambda ^{n} +\beta_1 \lambda ^{n-1} +\cdots +\beta_{n-1} \lambda +\beta_n$. Обозначим через $P$ присоединенную матрицу к характеристической матрице $\lambda E-A$. Элементами матрицы $P$ служат алгебраические дополнения элементов матрицы $\lambda E-A$, при этом с точностью до знака они совпадают с минорами порядка $n-1$. Поэтому каждый элемент $P$ есть полином, степень которого не превосходит $n-1$. Следовательно,
<math>P=P_1 \lambda ^{n-1} +P_2 \lambda ^{n-2} +\cdots +P_{n-1} \lambda +P_n,</math>
где $P_{i}$, $i=\overline{1,n}$ {{---}} постоянные матрицы.
Вычислим произведение двух матриц $P(\lambda E-A)$, получаем
<math>P(\lambda E-A)=(P_1 \lambda ^{n-1} +P_2 \lambda ^{n-2} +\cdots +P_{n-1} \lambda +P_n )(\lambda E-A)=</math>
<math>=P_1 \lambda ^{n} +(P_2 -P_1 A)\lambda ^{n-1} +(P_3 -P_2 A)\lambda ^{n-2} +\cdots +(P_n -P_{n-1} A)\lambda -P_n A.</math>
С другой стороны, так как $P$ присоединенная матрица, то $P(\lambda E-A)=\det (\lambda E-A)E$, то есть $P(\lambda E-A)=f(\lambda )E=E\lambda ^{n} +\beta_1 E\lambda ^{n-1} +\cdots +\beta_{n-1} E\lambda +\beta_n E$. Сравнивая матрицы при одинаковых степенях параметра $\lambda$, получаем следующие матричные соотношения:
<math>\lambda^{n}: P_1 =E,</math>
<math>\lambda^{n-1}: P_2 - P_1 A=\beta_1 E,</math>
<math>\lambda^{n-2}: P_3 - P_2 A=\beta_2 E,</math>
<math>...</math>
<math>\lambda^{1}: P_n - P_{n-1} A=\beta_{n-1} E,</math>
<math>\lambda^{0}: -P_n A=\beta_n E.</math>

Умножим обе части первого равенства на $A^{n}$, второго {{---}} на $A^{n-1}$, третьего {{---}} на $A^{n-2} $ и так далее, а затем, складывая все вновь полученные равенства, имеем равенство
<math>P_1 A^{n} +(P_2 -P_1 A)A^{n-1} +(P_3 -P_2 A)A^{n-2} +\cdots +(P_n -P_{n-1} A)A-P_n AE=</math>
<math>=EA^{n} +\beta_1 EA^{n-1} +\beta_2 EA^{n-2} +\cdots +\beta_{n-1} EA+\beta_n EE.</math>
Производя сокращения в левой части последнего матричного соотношения, получаем
$0=A^{n} +\beta_1 A^{n-1} +\beta_2 A^{n-2} +\cdots +\beta_{n-1} A+\beta_n E$, то есть $f(A)=0$.
}}

----

Конспект: [[Алгебра и геометрия]]

Характеристический полином матрицы - История изменений

СВ в 13:50, 25 октября 2026

СВ: Новая страница: «{{Определение |definition=Матрица $\lambda E-A$, где $A=[n\times n]$, $\lambda $ {{---}} произвольный параметр, назы...»