St001214: Новая страница: «== Бетта-функция == {{Определение |definition= Функция вида $B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx$ называет...»

2021-11-05T09:46:06Z

Новая страница: «== Бетта-функция == {{Определение |definition= Функция вида <math>B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx</math> называет...»

Новая страница

== Бетта-функция ==
{{Определение
|definition=
Функция вида <math>B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx</math> называется '''Бетта-функцией''' или '''Эйлеровым интегралом первого рода'''.
}}
Этот интеграл сходится при <math>a \gt 0</math>, <math>b \gt 0</math> (если <math>a \geq 1</math> и <math>b \geq 1</math>, то интеграл будет собственным, в противном случае, возникнет несобственность второго рода в точках
<math>x=0</math> и/или <math>x=1</math>). Заметим, что подынтегральное выражение представляет собой дифференциальный бином. Следовательно, согласно [[Теорема Чебышева|теореме Чебышева]], если хотя бы одно из чисел
<math>a</math>, <math>b</math>, <math>a+b</math> является целым, то "Бетта-функция" задается "берущимся" интегралом, и ее можно записать в явном виде с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Если ни одно из указанных чисел не целое, то рассматриваемый интеграл {{---}} "неберущийся".

=== Свойства Бетта-функции ===
* <math>B(a,b)=B(b,a)</math>
* если <math>b \gt 1</math>, то <math>B(a,b)=\frac{b-1}{a+b-1}B(a,b-1)</math>.

Применяя свойства, получаем, что если <math>b \gt n</math>, <math>a \gt m</math> (<math>m,n\in\mathbb{N}</math>), то
: <math>B(a,b)=\frac{b-1}{a+b-1}\ldots \frac{b-n}{a+b-n}B(a,b-n)</math>,
: <math>B(a,b)=\frac{a-1}{a+b-1}\ldots \frac{a-m}{a+b-m}B(a-m,b)</math>.

Таким образом, без потери общности, Бетта-функцию достаточно рассматривать при значениях параметров <math>a\in(0,1]</math>, <math>b\in(0,1]</math>.

== Гамма-функция ==
{{Определение
|definition=
Функция вида <math>\Gamma(a)=\int_0^{+\infty}x^{a-1}e^{-x}\,dx </math>
называется '''Гамма-функцией''' или '''Эйлеровым интегралом второго рода'''.
}}
Этот интеграл сходится при <math>a \gt 0</math> (если <math>a \geq 1</math>, то имеется только несобственность первого рода, при <math>a \lt 1</math> возникает еще несобственность второго рода в точке <math>x=0</math>).

=== Свойства Гамма-функции ===
* <math>\Gamma^{(n)}(a)=\int_0^{+\infty}x^{a-1}\,\ln^{n}x\,e^{-x}\,dx</math>
* <math>\Gamma(a+1)=a\Gamma(a)</math> (как следствие, достаточно рассматривать "Гамма-функцию" при <math>a\in(0,1]</math>, более того, используя данную рекуррентную формулу, можно доопределить
"Гамма-функцию" при <math>a \lt 0</math>)
* <math>\Gamma(n+1)=n!</math>, <math>n=0,1,\ldots</math>
* существует <math>c\in(1,2)</math>, такое что Гамма-функция убывает на интервале <math>(0,c]</math> и возрастает на интервале <math>[c,+\infty)</math>, при этом
<math>\lim\limits_{a\to+0}\Gamma(a)=+\infty</math> и <math>\lim\limits_{a\to+\infty}\Gamma(a)=+\infty</math>
* <math>B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}</math>
* <math>\Gamma(a)\Gamma(1-a)=\frac{\pi}{\sin a\pi}</math> при <math>a\in(0,1]</math> (формула дополнения)
* <math>\Gamma(a)\Gamma(a+\frac12)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2a-1}}\Gamma(2a)</math> при <math>a \gt 0</math> (формула Лежандра)

Эйлеровы интегралы - История изменений

St001214: Новая страница: «== Бетта-функция == {{Определение |definition= Функция вида B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx называет...»

St001214: Новая страница: «== Бетта-функция == {{Определение |definition= Функция вида $B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx$ называет...»