St001214: Новая страница: «{{Определение |definition=Эрмитовой формой называется многочлен от комплексных элементов $...»$

2021-12-10T14:03:06Z

Новая страница: «{{Определение |definition=Эрмитовой формой называется многочлен от комплексных элементов <math>...»

Новая страница

{{Определение
|definition=Эрмитовой формой называется многочлен от комплексных элементов <math>\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n </math> и сопряженных переменных <math>\bar \xi_1, \bar \xi_2, ..., \bar \xi_n </math> вида <math>g(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n ) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {\alpha_{ij} \xi_i \bar {\xi}_j} }, \alpha_{ji} = \bar \alpha_{ij}.</math>
}}

В матричной записи эрмитова форма имеет вид
<math>g({\rm {\bf z}}) = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf Az}}</math>,
где <math>{\rm {\bf z}}^\ast = (\bar \xi_1, \bar \xi_2, ..., \bar \xi_n)</math>, причем матрица <math>{\rm {\bf A}} = {\rm {\bf A}}^\ast</math>.

Заметим, что все диагональные коэффициенты (когда <math>i=j</math>) у эрмитовой формы всегда являются вещественными числами.

{{Определение
|definition=Матрицы, совпадающие со своими сопряженными матрицами, называются эрмитовыми.
}}

Будем предполагать, что если <math>{\rm {\bf z}} = {\rm {\bf Bu}}, \det {\rm {\bf B}} \ne 0</math>, то сопряженные переменные преобразуются
по формулам <math>{\rm {\bf \bar {z}}} = {\rm {\bf \bar {B}\bar {u}}}, \det {\rm {\bf \bar {B}}} \ne 0</math>, следовательно,
<math>{\rm {\bf z}}^\ast = {\rm {\bf u}}^\ast {\rm {\bf B}}^\ast </math>. Поэтому эрмитова форма в результате невырожденного преобразования приводится к виду
<math>
h({\rm {\bf u}}) = {\rm {\bf u}}^\ast {\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf ABu}} = {\rm {\bf u}}^\ast {\rm {\bf Cu}}.
</math>

Покажем, что матрица <math>\bf C</math> является эрмитовой. С этой целью воспользуемся определением, получаем
<math>
{\rm {\bf C}}^\ast = ({\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf AB}})^\ast = {\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf A}}^\ast {\rm {\bf B}}^{\ast \ast } = {\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf AB}} = {\rm {\bf C}}.
</math>

Обратим внимание на то, что для любого <math>{\rm {\bf z}}</math> эрмитова форма принимает вещественные значения. Действительно, допустим, что <math>{\rm {\bf z}}</math> произвольный столбец с комплексными элементами. Тогда, если <math>g({\rm {\bf z}}) = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf Az}}</math>, <math>{\rm {\bf A}} = {\rm {\bf A}}^\ast </math>, то <math>\overline {g({\rm {\bf z}})} = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf A}}^\ast {\rm {\bf z}}^{\ast \ast } = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf Az}} = g({\rm {\bf z}})</math>, что и требовалось доказать.

Определитель эрмитовой матрицы также является вещественным числом, поскольку
<math>
\overline {\det {\rm {\bf A}}} = \det {\rm {\bf \bar {A}}} = \det {\rm {\bf A}}^\ast = \det {\rm {\bf A}}.
</math>

{{Определение
|definition=
Говорят, что эрмитова форма имеет канонический вид, если ее матрица является диагональной, т. е.
<math>
g({\rm {\bf z}}) = {\rm {\bf z}}^\ast diag(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n ){\rm {\bf z}} = \lambda_1 \xi_1 \bar \xi_1 + \lambda_2 \xi_2 \bar \xi_2 + \cdots + \lambda_n \xi_n \bar \xi_n = \lambda_1 \vert \xi_1 \vert ^2 + \lambda_2 \vert \xi_2 \vert ^2 + \cdots + \lambda_n \vert \xi_n \vert ^2,
</math>
где <math>\lambda_i </math>, <math>i = \overline {1,n}</math> вещественные числа.
</div>
}}

Приведем без доказательства основные свойства эрмитовых форм, каждое из которых имеет соответствующий аналог среди свойств вещественных квадратичных форм.

{{Теорема
|statement=Эрмитова форма приводится к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования с комплексной матрицей.
}}
{{Теорема
|statement=Ранг эрмитовой формы совпадает с рангом ее матрицы и, в свою очередь, равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.
}}
{{Теорема
|statement=Для того чтобы эрмитова форма была положительно определена необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты в ее каноническом виде были строго положительны.
}}
{{Теорема
|statement=Для того чтобы эрмитова форма с невырожденной матрицей приводилась к каноническому виду с помощью унитреугольного преобразования необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры <math>\det {\rm {\bf A}}_i </math>, <math>i = \overline {1,n}</math>, были отличны от нуля. При этом коэффициенты канонического вида этой эрмитовой формы равны
<math>
\lambda_1 = \det {\rm {\bf A}}_1, \,\lambda_2 = \frac{\det {\rm {\bf A}}_2 }{\det {\rm {\bf A}}_1 }, ..., \lambda_n = \frac{\det {\rm {\bf A}}_n }{\det {\rm {\bf A}}_{n - 1} }.
</math>
}}
{{Теорема
|statement=Эрмитова форма положительно определена тогда и только тогда, когда <math>\det {\rm {\bf A}}_i > 0</math>, <math>i = \overline {1,n}</math>.
}}
{{Теорема
|statement=
Число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде эрмитовой формы не зависит от выбора преобразования.
}}
{{Теорема
|statement=Все собственные значения эрмитовой матрицы являются вещественными.
}}
{{Теорема
|statement=Любая эрмитова форма с помощью унитарного преобразования приводится к каноническому виду, в котором коэффициенты совпадают с собственными значениями эрмитовой матрицы, а столбцы матрицы преобразования равны собственным векторам этой матрицы.
}}
{{Теорема
|statement=Две эрмитовы формы, одна из которых является положительно определенной, приводятся к каноническому виду одним и тем же преобразованием.
}}

Эрмитовы формы - История изменений

St001214: Новая страница: «{{Определение |definition=Эрмитовой формой называется многочлен от комплексных элементов ...»

St001214: Новая страница: «{{Определение |definition=Эрмитовой формой называется многочлен от комплексных элементов $...»$