Обратная матрица

Определение:

Правой обратной матрицей для матрицы [math]\displaystyle{ A=[n\times n] }[/math] называется такая матрица $U$, что $AU=E$, где $E$ — единичная матрица.

Определение:

Левой обратной матрицей для матрицы $A=[n\times n]$ называется такая матрица $V$, что $VA=E$, где $E$ — единичная матрица.

Определение:

Матрица $A=[n\times n]$ называется невырожденной, если $\det A\ne 0$, в противном случае, она называется вырожденной.

Определение:

Матрица, одновременно являющаяся как правой, так и левой обратной матрицей, называется обратной матрицей для матрицы $A=[n\times n]$ и обозначается $A^{-1}$, то есть $A^{-1} =U=V$.

Теорема:

Матрица $A=\{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{n,n} $ имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Доказательство:

Необходимость. Допустим, что обратная матрица существует. Тогда существует правая обратная матрица $U$, причем $AU=E$, следовательно, $\det (AU)=\det E = 1$. В силу свойств определителей $\det (AU) = \det A\det U$, отсюда, $\det A\ne 0$, то есть матрица $A$ является невырожденной.

Достаточность. Пусть $\det A\ne 0$. Построим вспомогательную матрицу $\tilde{A}$, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы $A$, следующим образом: \begin{equation} \tilde{A}=\left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & ... & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn} \end{array}\right). \end{equation} Вычисляя произведение матриц $A\tilde{A}$, получаем \begin{equation} A\tilde{A} = \left(\begin{array}{cccc} \alpha_{11} & \alpha_{12} & ... & \alpha_{1n} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & ... & \alpha_{2n} \\ \vdots & \vdots & ... & \vdots \\ \alpha_{n1} & \alpha_{n2} & ... & \alpha_{nn} \end{array}\right) \left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & ... & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{1k} } & {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{2k} } & ... & {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{nk} } \\ {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{1k} } & {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{2k} } & ... & {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{nk} } \\ \vdots & \vdots & ... & \vdots \\ {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{nk} A_{1k} } & {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{nk} A_{2k} } & ... & {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{nk} A_{nk} } \end{array}\right). \end{equation}

В соответствии с теоремой о разложении определителя по элементам какой-либо строки имеем \begin{equation} \sum_{k=1}^{n}\alpha_{ik} A_{jk} = \left[\begin{array}{l} {\det A, i=j;} \\ {0, i\ne j.} \end{array}\right. \end{equation}

Следовательно, произведение $A\tilde{A}=diag\{ \det A,\det A,...,\det A\} =(\det A)E$, поэтому матрица $U=\frac{1}{\det A} \tilde{A}$ является правой обратной матрицей.

Аналогично показывается, что $V=\frac{1}{\det A} \tilde{A}$ является левой обратной матрицей. Таким образом, по определению обратная матрица $A^{-1} = U = V = \frac{1}{\det A} \tilde{A}$.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Определение:

Матрица $\tilde{A}$, построенная в ходе доказательства, называется присоединенной матрицей.

Следствие:

У любой невырожденной матрицы $A$ кроме $A^{-1} $ не существует других левых (правых) обратных матриц.

Доказательство:

Предположим, что у матрицы $A$ имеется правая обратная матрица $U$, для которой $AU=E$. Так как по условию $\det A\ne 0$, то существует матрица $A^{-1}$. Тогда получаем $A^{-1} AU=A^{-1} E$, следовательно, $EU=A^{-1}$, отсюда $U=A^{-1} $. Аналогично показывается, что $V=A^{-1}$.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Следствие:

Обратная матрица правой (левой) унитреугольной матрицы является правой (левой) унитреугольной матрицей.

Доказательство:

Заметим, что определитель унитреугольной матрицы равен единице, поэтому соответствующая обратная матрица совпадает с присоединенной матрицей $\tilde{A}$. Рассмотрим произведение левой унитреугольной матрицы на матрицу $\tilde{A}$. Так как $\alpha_{ij}=0$, $i<j$, то в первая строка произведения $A\tilde{A}$ определяется соотношениями $1 = \sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{1k} = \alpha_{11} A_{11} = A_{11} $, $0 = \sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{2k} = \alpha_{11} A_{21} = A_{21} $, ..., $0 = \sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{nk} = \alpha_{11} A_{n1} = A_{n1}$, то есть имеем $A_{11} = 1$, $A_{k1} = 0$, для любого $k = \overline{2, n}$. Для второй строки имеем $0=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{1k} =\alpha_{21} A_{11} +\alpha_{22} A_{12} =\alpha_{21} +A_{12}$, $1=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{2k} =A_{22}$, $0=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{3k} =\alpha_{21} A_{31} +\alpha_{22} A_{32} =A_{32} $, ..., $0=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{nk} =\alpha_{21} A_{n1} +\alpha_{22} A_{n2} =A_{n2}$, таким образом, $A_{22} =1$, $A_{32} =\cdots =A_{n2} =0$ и так далее.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Теорема:

Для любой невырожденной матрицы $A$ справедливы соотношения:

1. $\det A^{-1} =\frac{1}{\det A}$
2. $\left(A^{-1} \right)^{-1} =A$
3. $\left(A^{T} \right)^{-1} =\left(A^{-1} \right)^{T}$.

Доказательство:

1. По определению $AA^{-1} =E$, поэтому $\det \left(AA^{-1} \right)=\det E$, следовательно, имеем $\det A\det A^{-1} =1$.

2. Очевидно, что справедливо соотношение $\left(A^{-1} \right)^{-1} A^{-1} = E$. Умножим это равенство справа на матрицу $A$, получаем $\left(A^{-1} \right)^{-1} A^{-1} A=EA$, отсюда $\left(A^{-1} \right)^{-1} E=A$, следовательно, $\left(A^{-1} \right)^{-1} = A$.

3. Поскольку $AA^{-1} =E$, то $\left(AA^{-1} \right)^{T} =E^{T} =E$. В соответствии с теоремой 2.1.1 $\left(AA^{-1} \right)^{T} =\left(A^{-1} \right)^{T} A^{T}$, таким образом, $\left(A^{-1} \right)^{T} A^{T} =E$. Умножим обе части последнего равенства справа на матрицу $\left(A^{T} \right)^{-1}$, имеем $\left(A^{-1} \right)^{T} A^{T} \left(A^{T} \right)^{-1} =E\left(A^{T} \right)^{-1} $. Отсюда с учетом соотношения $A^{T} \left(A^{T} \right)^{-1} =E$, окончательно получаем $\left(A^{T} \right)^{-1} =\left(A^{-1} \right)^{T} $.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Теорема:

Для любых невырожденных матриц $A$ и $B$ справедливо равенство $\left(AB\right)^{-1} =B^{-1} A^{-1}$.

Доказательство:

По условию $\det A\ne 0$, $\det B\ne 0$, поэтому $\det (AB)\ne 0$. Следовательно, существует обратная матрица $\left(AB\right)^{-1}$. Возьмем матрицу $B^{-1} A^{-1} $ и, вычисляя произведение $B^{-1} A^{-1} \left(AB\right)$, имеем $B^{-1} A^{-1} \left(AB\right)=B^{-1} A^{-1} AB=B^{-1} EB=B^{-1} B=E$.

Следовательно, $B^{-1} A^{-1} $ является левой обратной матрицей. Аналогично, получаем $\left(AB\right)B^{-1} A^{-1} =ABB^{-1} A^{-1} =AEA^{-1} =AA^{-1} =E$.

Таким образом, матрица $B^{-1} A^{-1} $ одновременно является как правой, так и левой обратной матрицей, поэтому $B^{-1} A^{-1} =\left(AB\right)^{-1}$.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Теорема:

Решение системы линейных уравнений $Ax=b$ с квадратной невырожденной матрицей имеет вид $x=A^{-1} b$.

Доказательство:

Пусть $x^{*}$ — решение системы. Тогда имеем тождество $Ax^{*} \equiv b$. Умножим обе части этого тождества слева на матрицу $A^{-1}$, получаем $A^{-1} Ax^{*} \equiv A^{-1} b$, следовательно, $x^{*} =A^{-1} b$.

С другой стороны, если подставить $x=A^{-1} b$ в систему, получаем равенство $A\left(A^{-1} b\right)=AA^{-1} b=b$, то есть $x=A^{-1} b$ является решением системы.

Найдем формулу построения обратной матрицы для ступенчатой матицы \begin{equation} S=\left(\begin{array}{cc} S_{11} & {\bf 0} \\ S_{21} & S_{22} \end{array}\right), \end{equation} где $S_{11} =[k\times k]$, $S_{22} =[(n-k)\times (n-k)]$, причем $\det S_{11} \ne 0$, $\det S_{22} \ne 0$. Тогда $\det S=\det S_{11} \det S_{22} \ne 0$, поэтому у матрицы $S$ существует обратная матрица.

Допустим, что \begin{equation} S^{-1} =\left(\begin{array}{cc} X & Y \\ Z & T \end{array}\right), \end{equation} причем $X=[k\times k]$, $T=[(n-k)\times (n-k)]$. Тогда в соответствии с правилами умножения блочных матриц, имеем \begin{equation} SS^{-1} =\left(\begin{array}{cc} S_{11} & {\bf 0} \\ S_{21} & S_{22} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} X & Y \\ Z & T \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {S_{11} X} & {S_{11} Y} \\ {S_{21} X+S_{22} Z} & {S_{21} Y+S_{22} T} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {E_k } & {\bf 0} \\ {\bf 0} & E_{n-k} \end{array}\right). \end{equation}

Сравнивая соответствующие блоки матриц, имеем следующие матричные соотношения $S_{11} X=E_k$, $S_{11} Y = 0$, $S_{21} X+S_{22} Z = 0$, $S_{21} Y+S_{22} T=E_{n-k} $. Рассмотрим последовательно данные равенства. Поскольку $\det S_{11} \ne 0$, то из первого соотношения следует, что $X=S_{11}^{-1}$, а из второго — $Y=0$. Но тогда из последнего равенства с учетом невырожденности матрицы $S_{22} $ получаем $T=S_{22}^{-1} $. Рассмотрим третье соотношение. Поскольку $X=S_{11}^{-1}$, то $S_{21} S_{11}^{-1} +S_{22} Z = 0$. Выражая из полученного равенства матрицу $Z$, имеем $Z=-S_{22}^{-1} S_{21} S_{11}^{-1} $. Таким образом, окончательно получаем, что обратная матрица \begin{equation} S^{-1} =\left(\begin{array}{cc} {S_{11}^{-1} } & {\bf 0} \\ {-S_{22}^{-1} S_{21} S_{11}^{-1} } & {S_{22}^{-1} } \end{array}\right). \end{equation}

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]