Полиномы с вещественными коэффициентами

Лемма:

Для произвольного полинома $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n-1} x + a_{n}$ с вещественными коэффициентами и любого комплексного числа $\alpha$ справедливо равенство $\overline{f(\alpha)}=f(\bar{\alpha})$.

Доказательство:

Подставим в полином $f(x)$ вместо $x$ произвольное комплексное число $\alpha =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, получаем [math]\displaystyle{ f( \alpha ) = a_{0} r^{n} ( \cos n \varphi + i \sin n \varphi ) + a_{1} r^{n-1} (\cos (n-1)\varphi + i \sin (n-1)\varphi ) +...+ a_{n-1} r (\cos \varphi +i\sin \varphi ) + a_{n} }[/math] [math]\displaystyle{ = ( a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} ) + i ( a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ). }[/math]

Очевидно, что [math]\displaystyle{ \overline{f(\alpha )}=(a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} )- i ( a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ). }[/math]

С другой стороны, $\bar{\alpha }=r(\cos \varphi -i\sin \varphi )=r(\cos (-\varphi )+i\sin (-\varphi ))$, поэтому с учетом нечетности синуса и четности косинуса получаем [math]\displaystyle{ f(\bar{\alpha })=(a_{0} r^{n} \cos n\varphi +a_{1} r^{n-1} \cos (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\cos \varphi +a_{n} ) - i (a_{0} r^{n} \sin n\varphi +a_{1} r^{n-1} \sin (n-1)\varphi +...+a_{n-1} r\sin \varphi ), }[/math] то есть $\overline{f(\alpha )}=f(\bar{\alpha })$.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Определение:

Полином с вещественными коэффициентами называется неприводимым, если он не делится нацело на полином с вещественными коэффициентами меньшей степени.

Теорема:

Любой полином $f(x)$ с вещественными коэффициентами однозначно с точностью до порядка сомножителей представляется в виде произведения неприводимых полиномов.

Доказательство:

Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{k}$ — все вещественные корни полинома $f(x)$, а $\beta $ — произвольный комплексный корень. Тогда, очевидно, $f(\beta )=0$, следовательно, $\overline{f(\beta )}=0$, поэтому в соответствии с леммой $f(\bar{\beta })=0$. Таким образом, если комплексное число является корнем полинома с вещественными коэффициентами, то корнем является и комплексно сопряженное число.

Из теоремы 1.3.2 следует, что полином $f(x)$ можно разложить на множители [math]\displaystyle{ f(x)=a_{0} (x-\alpha_{1} )(x-\alpha_{2} )\cdots (x-\alpha_{k} )(x-\beta_{1} )(x-\bar{\beta }_{1} )\cdots (x-\beta_{l} )(x-\bar{\beta }_{l} ). }[/math]

Ясно, что $\varphi_{s} (x)=x-\alpha_{s} $, $s=\overline{1,k}$ — это неприводимые полиномы. Рассмотрим полином $\psi_{m} (x)=(x-\beta_{m} )(x-\bar{\beta }_{m} )=x^{2} -(\beta_{m} +\bar{\beta }_{m} )x+\beta_{m} \bar{\beta }_{m} =x^{2} -\gamma_{m}^{(1)} x+\gamma_{m}^{(2)}$. В силу свойств комплексных чисел $\gamma_{m}^{(1)} $ и $\gamma_{m}^{(2)} $ — это вещественные числа, поэтому $\psi_{m} (x)$, $m=\overline{1,l}$ неприводимы.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Доказанная теорема позволяет утверждать, что в общем случае, когда у полинома $f(x)$ имеются кратные корни, то этот полином представляется в виде $f(x) = p_{1}^{k_{1} } (x)p_{2}^{k_{2} } (x)\cdots p_{l}^{k_{l} } (x)$, где $p_{i}^{k_{i} } (x)$ степень неприводимого полинома $p_{i} (x)$, причем $p_{i} (x)\ne p_{j} (x)$, когда $i\ne j$.

Заметим, что полином нечетной степени с вещественными коэффициентами всегда имеет хотя бы один вещественный корень, в то время как полином четной степени может и не иметь таких корней.

Теорема (Теорема Виета):

Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}$ — корни приведенного полинома $f(x)=x^{n} +a_{1} x^{n-1} +...+a_{n-1} x + a_{n}$. Тогда между коэффициентами этого полинома и его корнями существуют следующие зависимости: [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} \alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{n} =-a_{1},\\ \alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{n-1} \alpha_{n} =a_{2},\\ \alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3} +\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{4} +...+\alpha_{n-2} \alpha_{n-1} \alpha_{n} =-a_{3},\\ ... \\ \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n} =(-1)^{n} a_{n} . \end{array} }[/math]

Доказательство:

Доказательство проведем методом математической индукции. При $n=1$ формулы очевидны, а при $n=2$ превращаются в хорошо знакомые формулы Виета для квадратного трехчлена. Допустим, что формулы справедливы при $n=k$. Докажем их справедливость для случая $n=k+1$.

В силу индукционного предположения любой полином $k$-й степени, имеющий корни $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{k}$, представим в виде [math]\displaystyle{ f(x)=x^{k} -(\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{k} )x^{k-1} +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k-1} \alpha_{k} )x^{k-2} +...+(-1)^{k} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k} . }[/math]

Если $\alpha_{k+1}$ корень полинома степени $k+1$, то для этого полинома справедливо: [math]\displaystyle{ f(x)=[x^{k} -(\alpha_{1} +\alpha_{2} +...+\alpha_{k} )x^{k-1} + }[/math] [math]\displaystyle{ +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k-1} \alpha_{k} )x^{k-2} +...+(-1)^{k} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k} ](x-\alpha_{k+1} )= }[/math] [math]\displaystyle{ f(x)=x^{k+1} -(\alpha_{1} +...+\alpha_{k} +\alpha_{k+1} )x^{k} +(\alpha_{1} \alpha_{2} +\alpha_{1} \alpha_{3} +...+\alpha_{k} \alpha_{k+1} )x^{k-1} +...+(-1)^{k+1} \alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{k+1}, }[/math] что и требовалось доказать.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]