Алгебраические дополнения и миноры

Наряду с определителем квадратной матрицы $A = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{n,n} $ рассмотрим определитель [math]\displaystyle{ \begin{equation}\tag{1} A_{ij} = \left|\begin{array}{ccccccc} \alpha_{11} & ... & \alpha_{1j-1} & {0} & \alpha_{1j+1} & ... & \alpha_{1n} \\ \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ \alpha_{i-1,1} & ... & \alpha_{i-1,j-1} & 0 & \alpha_{i-1,j+1} & ... & \alpha_{i-1,n} \\ 0 & ... & 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ \alpha_{i+1,1} & ... & \alpha_{i+1,j-1} & 0 & \alpha_{i+1,j+1} & ... & \alpha_{i+1,n} \\ \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ \alpha_{n1} & ... & \alpha_{n,j-1} & 0 & \alpha_{n,j+1} & ... & \alpha_{nn} \end{array}\right|, \end{equation} }[/math] называемый алгебраическим дополнением элемента $\alpha_{ij}$.

Алгебраическое дополнение элемента $\alpha_{ij}$ по построению не зависит от элементов $i$-й строки и $j$-го столбца матрицы $\bf A$.

Рис. 1. Чтобы получить [math]\displaystyle{ A_{23} }[/math], вычёркиваем строку 2 и столбец 3: остаётся минор [math]\displaystyle{ \Delta_{23} }[/math]. Сумма индексов 5 нечётна, поэтому [math]\displaystyle{ A_{23}=-\Delta_{23} }[/math]; знаки в клетках чередуются.

Теорема:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, то есть [math]\displaystyle{ \begin{equation}\tag{2} \det A = \sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} A_{ij}. \end{equation} }[/math]

Доказательство:

В соответствии с ранее установленными свойствами определителей получаем

[math]\displaystyle{ \det A=\left|\begin{array}{ccccc} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1j} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{i1} & \cdots & \alpha_{ij} & \cdots & \alpha_{in} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{n1} & \cdots & \alpha_{nj} & \cdots & \alpha_{nn} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccccc} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1j} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{i1} & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{n1} & \cdots & \alpha_{nj} & \cdots & \alpha_{nn} \end{array}\right| + \cdots + \left|\begin{array}{ccccc} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1j} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & \alpha_{ij} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{n1} & \cdots & \alpha_{nj} & \cdots & \alpha_{nn} \end{array}\right| +\cdots + \left|\begin{array}{ccccc} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1j} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & \alpha_{in} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{n1} & \cdots & \alpha_{nj} & \cdots & \alpha_{nn} \end{array}\right| = }[/math] [math]\displaystyle{ = \alpha_{i1} \left|\begin{array}{ccccc} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1j} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{n1} & \cdots & \alpha_{nj} & \cdots & \alpha_{nn} \end{array}\right| +\cdots +\alpha_{ij} \left|\begin{array}{ccccc} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1j} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{n1} & \cdots & \alpha_{nj} & \cdots & \alpha_{nn} \end{array}\right| + \cdots + \alpha_{in} \left|\begin{array}{ccccc} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1j} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{n1} & \cdots & \alpha_{nj} & \cdots & \alpha_{nn} \end{array}\right| = }[/math] [math]\displaystyle{ = \alpha_{i1} \left|\begin{array}{ccccc} 0 & \cdots & \alpha_{1j} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & \alpha_{nj} & \cdots & \alpha_{nn} \end{array}\right| +\cdots +\alpha_{ij} \left|\begin{array}{ccccc} \alpha_{11} & \cdots & 0 & \cdots & \alpha_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{n1} & \cdots & 0 & \cdots & \alpha_{nn} \end{array}\right| + \cdots + \alpha_{in} \left|\begin{array}{ccccc} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1j} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{n1} & \cdots & \alpha_{nj} & \cdots & 0 \end{array}\right| = }[/math] [math]\displaystyle{ = \alpha_{i1} A_{i1} + \cdots \alpha_{ij} A_{ij} + \cdots \alpha_{in} A_{in} = \sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} A_{ij}. }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Представление определителя матрицы в виде (2) называется разложением определителя по элементам $i$-й строки.

Заметим, что в силу равноправности строк и столбцов матрицы справедливо разложение определителя по элементам $j$-го столбца [math]\displaystyle{ \det A=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{ij} A_{ij}. }[/math]

Очевидно, что для произвольных чисел $\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n $ в соответствии с формулой (2) имеем

[math]\displaystyle{ \begin{equation}\tag{3} \left|\begin{array}{ccccccc} {\alpha_{11} } & ... & {\alpha_{1j-1} } & {\alpha_{1j} } & {\alpha_{1j+1} } & ... & {\alpha_{1n} } \\ \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ {\alpha_{i-1,1} } & ... & {\alpha_{i-1,j-1} } & {\alpha_{i-1,j} } & {\alpha_{i-1,j+1} } & ... & {\alpha_{i-1,n} } \\ {\beta_1 } & ... & {\beta_{j-1} } & {\beta_{j} } & {\beta_{j+1} } & ... & {\beta_n } \\ {\alpha_{i+1,1} } & ... & {\alpha_{i+1,j-1} } & {\alpha_{i+1,j} } & {\alpha_{i+1,j+1} } & ... & {\alpha_{i+1,n} } \\ \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ {\alpha_{n1} } & ... & {\alpha_{n,j-1} } & {\alpha_{nj} } & {\alpha_{n,j+1} } & ... & {\alpha_{nn} } \end{array}\right| = \sum_{j=1}^{n}\beta_{j} A_{ij}. \end{equation} }[/math]

Теорема:

Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.

Доказательство:

Из формулы (3) следует, что сумма произведений элементов строки $a_{j}$ на алгебраические дополнения элементов строки $a_{i}$ равна определителю с двумя одинаковыми строками, равными $a_{j}$. Поэтому [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\alpha_{jk} A_{ik} = 0. }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Рис. 2. Разложение по строке 2 даёт [math]\displaystyle{ \det A }[/math]; те же дополнения [math]\displaystyle{ A_{21},A_{22},A_{23} }[/math] с элементами строки 1 дают нуль, потому что это определитель с двумя одинаковыми строками.

Определение:

Минором порядка $n-1$ называется определитель, который получается из определителя квадратной матрицы $A=[n\times n]$ после вычеркивания одной строки и одного столбца.

Пусть $\Delta_{ij} $ — минор, получающийся после вычеркивания $i$-й строки и $j$-го столбца.

Теорема:

Справедлива формула $A_{ij} = (-1)^{i+j} \Delta_{ij}$.

Доказательство:

Для начала рассмотрим алгебраическое дополнение элемента $\alpha_{11}$, имеем

[math]\displaystyle{ A_{11} = \left|\begin{array}{cccc} {1} & {0} & ... & {0} \\ {0} & {\alpha_{22} } & ... & {\alpha_{2n} } \\ ... & ... & ... & ... \\ {0} & {\alpha_{m2} } & ... & {\alpha_{mn} } \end{array}\right| = \sum_{\{ j_1, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_1, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_1 } \alpha_{2j_2 } \cdots \alpha_{nj_n } = }[/math] [math]\displaystyle{ = \sum_{\{ 1,j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ 1,j_2, ..., j_n \} } \alpha_{11} \alpha_{2j_2 } \cdots \alpha_{nj_n } = \sum_{\{ j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_2, ..., j_n \} } \alpha_{2j_2 } \cdots \alpha_{nj_n } = \left|\begin{array}{ccc} {\alpha_{22} } & ... & {\alpha_{2n} } \\ ... & ... & ... \\ {\alpha_{m2} } & ... & {\alpha_{mn} } \end{array}\right| = \Delta_{11}. }[/math]

Рассмотрим теперь алгебраическое дополнение (1). Поменяем последовательно строку $a_{i} $ с $a_{i-1}$, затем с $a_{i-2} $ и так далее Проделаем аналогичные операции со столбцами: $a^{j} $ меняем местами с $a^{j-1}$, потом с $a^{j-2} $ и так далее Всего местами меняются $(j-1)+(i-1)$ строк и столбцов. Поэтому ровно $i+j-2$ раза будет меняться знак определителя, поэтому

[math]\displaystyle{ A_{ij} =(-1)^{i+j-2} \left|\begin{array}{ccccccc} {1} & {0} & {\ldots } & {0} & {0} & {\ldots } & {0} \\ {0} & {\alpha_{11} } & ... & {\alpha_{1j-1} } & {\alpha_{1j+1} } & ... & {\alpha_{1n} } \\ \vdots & \vdots & {\ldots } & \vdots & \vdots & {\ldots } & \vdots \\ {0} & {\alpha_{i-1,1} } & {\ldots } & {\alpha_{i-1,j-1} } & {\alpha_{i-1,j+1} } & {\ldots } & {\alpha_{i-1,n} } \\ {0} & {\alpha_{i+1,1} } & {\ldots } & {\alpha_{i+1,j-1} } & {\alpha_{i+1,j+1} } & {\ldots } & {\alpha_{i+1,n} } \\ \vdots & \vdots & {\ldots } & \vdots & \vdots & {\ldots } & \vdots \\ {0} & {\alpha_{n1} } & {\ldots } & {\alpha_{n,j-1} } & {\alpha_{n,j+1} } & {\ldots } & {\alpha_{nn} } \end{array}\right| = }[/math] [math]\displaystyle{ = (-1)^{i+j} \left|\begin{array}{cccccc} {\alpha_{11} } & ... & {\alpha_{1j-1} } & {\alpha_{1j+1} } & ... & {\alpha_{1n} } \\ \vdots & {\ldots } & \vdots & \vdots & {\ldots } & \vdots \\ {\alpha_{i-1,1} } & {\ldots } & {\alpha_{i-1,j-1} } & {\alpha_{i-1,j+1} } & {\ldots } & {\alpha_{i-1,n} } \\ {\alpha_{i+1,1} } & {\ldots } & {\alpha_{i+1,j-1} } & {\alpha_{i+1,j+1} } & {\ldots } & {\alpha_{i+1,n} } \\ \vdots & {\ldots } & \vdots & \vdots & {\ldots } & \vdots \\ {\alpha_{n1} } & {\ldots } & {\alpha_{n,j-1} } & {\alpha_{n,j+1} } & {\ldots } & {\alpha_{nn} } \end{array}\right| = (-1)^{i+j} \Delta_{ij}. }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

---

Конспект: Алгебра и геометрия