Блочные матрицы

Возьмем произвольную матрицу $T=\{ \tau_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} =[m\times n]$. Разобьем эту матрицу на клетки с помощью горизонтальных и вертикальных линий. Перенумеруем полученные блоки, где первый индекс будет означать номер ряда, а второй — номер колонки, в которой стоит этот блок. Тогда [math]\displaystyle{ T = \{ T_{kr} \}_{k,r=1}^{p,q} =\left(\begin{array}{c|c|c} {T_{11} } & {\cdots } & {T_{1q} } \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline {T_{p1} } & {\cdots } & {T_{pq} } \end{array}\right), }[/math] где блок $T_{kr} $ является матрицей размера $[m_k \times n_{r} ]$. Ясно, что $m_1 + m_2 + \cdots + m_{p} = m$, $n_1 + n_2 +\cdots + n_{q} = n$.

Определение:

Матрицу, разбитую на клетки, называют блочной матрицей.

Из данного определения следует, что блочная матрица является матрицей, у которой элементами служат матрицы соответствующих размерностей.

Понятно, что если $S=\{ S_{jk} \}_{j,k=1}^{p,q} =[m\times n]$, $T=\{ T_{jk} \}_{j,k=1}^{p,q} =[m\times n]$ — матрицы одного размера, одинаково разбитые на блоки, то сумма [math]\displaystyle{ S+T = \{ S_{jk} +T_{jk} \}_{j,k=1}^{p,q}, }[/math] т. е. элементами суммы двух блочных матриц являются суммы соответствующих блоков. Очевидно, что умножение блочной матрицы на число эквивалентно умножению каждого ее блока на данное число, таким образом, $\gamma S=\{ \gamma S_{jk} \}_{j,k=1}^{p,q}$.

Рассмотрим две блочные матрицы $S=\{ S_{jk} \}_{j,k=1}^{p,q} =[m\times n]$, $T=\{ T_{kl} \}_{k,l=1}^{q,t} =[n\times r]$, причем блоки этих матриц [math]\displaystyle{ S_{jk} =[m_{j} \times n_k ], T_{kl} =[n_k \times r_l ], }[/math] где $m_1 + m_2 +\cdots + m_{p} = m$, $n_1 + n_2 +\cdots + n_{q} = n$, $r_1 +r_2 +\cdots +r_{t} = r$.

Теорема:

Произведение блочных матриц равно сумме произведений соответствующих блоков сомножителей, то есть [math]\displaystyle{ \begin{equation}\tag{1} ST = \left\{\sum_{k=1}^{q}S_{jk} T_{kl} \right\}_{j,l=1}^{p,t}. \end{equation} }[/math]

Доказательство:

Сначала разобьем матрицу $S$ на блоки горизонтальными линиями, а матрицу $Т$ — вертикальными, получаем две блочные матрицы [math]\displaystyle{ S=\left(\begin{array}{c} {S_{11} } \\ \hline {S_{21} } \\ \hline \vdots \\ \hline {S_{p1} } \end{array}\right), T=\left(\begin{array}{c|c|c|c} {T_{11} } & {T_{12} } & {\ldots } & {T_{1t} } \end{array}\right). }[/math] Произведение $ST$ является блочной матрицей, блоками которой являются произведения $S_{j1} T_{1l}$, то есть [math]\displaystyle{ \begin{equation}\tag{2} ST = \left\{S_{j1} T_{1l} \right\}_{j,l=1}^{p,t}. \end{equation} }[/math]

Допустим теперь, что матрица $S$ разбита вертикальными линиями, а $T$ — горизонтальными, получаем [math]\displaystyle{ S=\left(\begin{array}{c|c|c|c} {S_{11} } & {S_{12} } & {\ldots } & {S_{1q} } \end{array}\right), T=\left(\begin{array}{c} {T_{11} } \\ \hline {T_{21} } \\ \hline \vdots \\ \hline {T_{q1} } \end{array}\right). }[/math]

В этом случае, очевидно, что произведение $ST=\{ \gamma_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $ не является блочной матрицей, причем $\gamma_{ij} =s_{i} t^{j}$, где $s_{i} $ — строка матрицы $S$, а $t^{j} $ — столбец матрицы $Т$, поэтому

[math]\displaystyle{ \begin{equation}\tag{3} ST=S_{11} T_{11} +S_{12} T_{21} +\cdots +S_{1q} T_{q1}. \end{equation} }[/math]

Если теперь в формуле (2) каждую матрицу $S_{j1} $ разбить вертикальными линиями, а каждый блок $T_{1l} $ — горизонтальными линиями на $q$ блоков, то, применив формулу (3), окончательно получаем формулу (1).

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Если $S=\{ \sigma_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$, а $T=[t_1, t_2, ...,t_n ]$, где $t_k $ — $k$-я строка матрицы $Т$, то согласно (1) [math]\displaystyle{ ST=\left[\sum_{k=1}^{n}\sigma_{1k} t_k, \sum_{k=1}^{n}\sigma_{2k} t_k, ...,\sum_{k=1}^{n}\sigma_{mk} t_k \right], }[/math] то есть каждая строка произведения равна линейной комбинации строк матрицы $T$.

Аналогично, если $S=[s^{1}, s^{2}, ...,s^{n} ]$, где $s^{k} $— $k$-й столбец матрицы $S$, $T=\{ \tau_{ij} \}_{i,j=1}^{n,p}$, то произведение [math]\displaystyle{ ST=\left[\sum_{k=1}^{n}\tau_{k1} s^{k}, \sum_{k=1}^{n}\tau_{k2} s^{k}, ...,\sum_{k=1}^{n}\tau_{kp} s^{k} \right]. }[/math] Следовательно, каждый столбец произведения равен линейной комбинации столбцов матрицы $S$.

Рис. 1. Блок [math]\displaystyle{ (2,1) }[/math] произведения равен [math]\displaystyle{ S_{21}T_{11}+S_{22}T_{21} }[/math]: блоки перемножаются и складываются как числа. Размеры согласованы: [math]\displaystyle{ S_{jk} }[/math] — [math]\displaystyle{ m_j\times n_k }[/math], [math]\displaystyle{ T_{kl} }[/math] — [math]\displaystyle{ n_k\times r_l }[/math], поэтому [math]\displaystyle{ C_{jl} }[/math] — [math]\displaystyle{ m_j\times r_l }[/math].

---

Конспект: Алгебра и геометрия