Сочетания

Определение:

Сочетанием из [math]\displaystyle{ n }[/math] элементов по [math]\displaystyle{ k }[/math] называется неупорядоченная выборка без повторений объема [math]\displaystyle{ k }[/math] из [math]\displaystyle{ n }[/math]-элементного множества.

Не умаляя общности, можно называть сочетанием из [math]\displaystyle{ n }[/math] элементов по [math]\displaystyle{ k }[/math] неупорядоченный набор из [math]\displaystyle{ k }[/math] различных чисел, принадлежащих множеству [math]\displaystyle{ \{1, ..., n\} }[/math].

Количество различных сочетаний из [math]\displaystyle{ n }[/math] по [math]\displaystyle{ k }[/math] обозначают [math]\displaystyle{ C_n^k }[/math] или [math]\displaystyle{ \binom{n}{k} }[/math].

Пример 1

{{{content}}}

Пример 2

{{{content}}}

Утверждение:

Пусть [math]\displaystyle{ k,n\in\mathbb{N} }[/math] и [math]\displaystyle{ 1 \leq k \leq n }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} }[/math].

Доказательство:

Действительно, каждому сочетанию из [math]\displaystyle{ n }[/math] по [math]\displaystyle{ k }[/math] соответствует [math]\displaystyle{ k! }[/math] различных размещений из [math]\displaystyle{ n }[/math] по [math]\displaystyle{ k }[/math] с различным порядком следования элементов. Тогда [math]\displaystyle{ \binom{n}{k} = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} }[/math].

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]