Ортогональные матрицы

Определение:

Квадратная матрица $A$ с вещественными элементами называется ортогональной, если ее обратная матрица совпадает с транспонированной, то есть $A^{-1} =A^{T} $.

Пусть произвольная квадратная матрица $A=\{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{n,n} $ является ортогональной. Соответствующая транспонированная матрица $A^{T} =\{ \delta_{jk} \}_{j,k=1}^{n,n}$, причем по определению $\delta_{jk} =\alpha_{kj} $. Вычислим произведение $AA^{T} =\left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \delta_{jk} \right\}_{i,k=1}^{n,n} = \left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \alpha_{kj} \right\}_{i,k=1}^{n,n} $. Поскольку $A$ является ортогональной матрицей, то $AA^{T} =AA^{-1} =E$. Сравнивая поэлементно матрицы $AA^{T} $ и $E$, получаем, что если $i\ne k$, то $\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \alpha_{kj} = 0$, а в случае $i=k$, имеем $\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij}^{2} =1$.

Таким образом, у ортогональной матрицы сумма квадратов элементов одной строки равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух разных строк равна нулю. Если $a_{i} $ есть $i$-я строка матрицы $A=[a_1, a_2, ..., a_n ]$, то условие $AA^{T} =E$ эквивалентно соотношению $a_{i} a_{j}^{T} = \left[\begin{array}{l} {1, i=j;} \\ {0, i\ne j.} \end{array}\right. $

Рис. 1. [math]\displaystyle{ AA^{T}=E }[/math]: скалярное произведение разных строк равно [math]\displaystyle{ 0 }[/math], квадрат длины каждой строки равен [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. Те же равенства выполняются для столбцов, поэтому [math]\displaystyle{ A^{-1}=A^{T} }[/math].

Определение:

Строка матрицы $A$ называется нормированной, если $a_{i} a_{i}^{T} =1$.

Определение:

Две строки матрицы $A$ называются ортогональными, если $a_{i} a_{j}^{T} =0$.

Таким образом, у ортогональной матрицы все строки нормированные и попарно ортогональные между собой.

По определению ортогональной матрицы $A^{-1} =A^{T}$, следовательно, $A^{T} A=E$. Поэтому, если $a^{i} $ — $i$-й столбец матрицы $A$, $i=\overline{1,n}$, то $\left(a^{i} \right)^{T} a^{j} =\left[\begin{array}{l} {1, i=j;} \\ {0, i\ne j.} \end{array}\right.$

Таким образом, у ортогональной матрицы все столбцы нормированные и попарно ортогональные между собой.

Очевидно, что если матрица $A$ ортогональная, то и транспонированная матрица $A^{T}$ также является ортогональной матрицей.

Простейшим примером ортогональной матрицы служит единичная матрица $E$, так как $EE^{T} =E^{T} E=E$.

Теорема:

Пусть $A$ — ортогональная матрица. Тогда обратная матрица $A^{-1}$ являются ортогональной матрицей.

Доказательство:

По условию матрица $A$ является ортогональной, следовательно, матрица $A^{T}$ — ортогональная. По определению $A^{T} =A^{-1}$, поэтому $A^{-1}$ — ортогональная матрица.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Теорема:

Пусть $A_1$, $A_2 $ — ортогональные матрицы. Тогда ортогональной матрицей является произведение $A_1 A_2$.

Доказательство:

Рассмотрим произведение $A_1 A_2 \left(A_1 A_2 \right)^{T}$, имеем $A_1 A_2 (A_1 A_2)^{T} =A_1 A_2 A_2^{T} A_1^{T} =A_1 EA_1^{T} =A_1 A_1^{T} =E, $ поэтому $A_1 A_2 $ — ортогональная матрица.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Теорема:

Квадрат определителя ортогональной матрицы равен единице.

Доказательство:

Пусть $A$ является ортогональной матрицей. По определению ортогональной матрицы $AA^{T} = E$, то $\det \left(AA^{T} \right)=\det E$, отсюда $\det A\det A^{T} =1$, поэтому окончательно имеем $\left(\det A\right)^{2} =1$.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Рис. 2. Ортогональная матрица переводит [math]\displaystyle{ e_1,e_2 }[/math] в единичные перпендикулярные [math]\displaystyle{ a^1,a^2 }[/math]: квадрат поворачивается, но его площадь остаётся [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. Поэтому [math]\displaystyle{ |\det A|=1 }[/math].

---

Конспект: Алгебра и геометрия