Парадокс Рассела: различия между версиями
СВ (обсуждение | вклад) (Новая страница: «Можно предположить существование множеств, которые принадлежат сами себе в качестве эл...») |
СВ (обсуждение | вклад) |
||
| (не показаны 2 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
Можно предположить существование множеств, которые принадлежат сами себе в качестве элемента, и множеств, которые собственными элементами не являются. | Можно предположить существование множеств, которые принадлежат сами себе в качестве элемента, и множеств, которые собственными элементами не являются. | ||
Рассмотрим множество $A$ всех таких множеств $X$, которые не являются элементами $X$ (самих себя): | Рассмотрим множество $A$ всех таких множеств $X$, которые не являются элементами $X$ (самих себя): <math>A= \{X | X\notin X\}</math>. | ||
Принадлежит ли $A$ само себе как элемент? | Принадлежит ли $A$ само себе как элемент? | ||
| Строка 10: | Строка 10: | ||
В любом случае получается, что $A\in A$ и $A\not\in A$ {{---}} противоречие. | В любом случае получается, что $A\in A$ и $A\not\in A$ {{---}} противоречие. | ||
[[Файл:p07-01-russell-paradox.svg|frame|none|800px|alt=Схема парадокса Рассела: из A ∈ A следует A ∉ A, и наоборот, оба варианта дают противоречие|Рис. 1. Если <math>A \in A</math>, то по определению <math>A \notin A</math>; если <math>A \notin A</math>, то <math>A \in A</math>. Оба варианта дают противоречие, поэтому такого множества в наивной теории нет.]] | |||
Конспект: [[Дискретная математика]] | |||
Текущая версия на 12:32, 24 октября 2026
Можно предположить существование множеств, которые принадлежат сами себе в качестве элемента, и множеств, которые собственными элементами не являются.
Рассмотрим множество $A$ всех таких множеств $X$, которые не являются элементами $X$ (самих себя): [math]\displaystyle{ A= \{X | X\notin X\} }[/math].
Принадлежит ли $A$ само себе как элемент?
Если $A\in A$, то по определению этого множества получим $A\notin A$.
Если предположить, что $A\notin A$, то оказывается $A\in A$.
В любом случае получается, что $A\in A$ и $A\not\in A$ — противоречие.
Рис. 1. Если [math]\displaystyle{ A \in A }[/math], то по определению [math]\displaystyle{ A \notin A }[/math]; если [math]\displaystyle{ A \notin A }[/math], то [math]\displaystyle{ A \in A }[/math]. Оба варианта дают противоречие, поэтому такого множества в наивной теории нет.
Конспект: Дискретная математика