Теорема Безу

Теорема:

Для того, чтобы полином [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] делился на двучлен [math]\displaystyle{ x - c }[/math], необходимо и достаточно, чтобы [math]\displaystyle{ f(c) = 0 }[/math].

Доказательство:

Необходимость. Пусть [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] делится на [math]\displaystyle{ x - c }[/math], т.е. [math]\displaystyle{ f(x) = (x - c) \cdot h(x) }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ f(c) = 0 }[/math].

Достаточность. Пусть [math]\displaystyle{ f(c) = 0 }[/math], тогда в равенстве [math]\displaystyle{ f(x) = (x - c) \cdot h(x) + r }[/math] $\:$ будет $\:$ [math]\displaystyle{ r = f(c) = 0 }[/math], т.е. [math]\displaystyle{ f(x) = (x - c) \cdot h(x) }[/math].

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Следствие:

Остаток от деления полинома [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] на двучлен [math]\displaystyle{ x - c }[/math] равен [math]\displaystyle{ f(c) }[/math].

Рис. 1. Остаток от деления на [math]\displaystyle{ x-c }[/math] постоянен, поэтому он равен [math]\displaystyle{ f(c) }[/math]. Если [math]\displaystyle{ r=0 }[/math], то [math]\displaystyle{ c }[/math] — корень и [math]\displaystyle{ x-c }[/math] делит [math]\displaystyle{ f }[/math]; если [math]\displaystyle{ r\ne 0 }[/math] — не делит.

Литература

Фадеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие. 4-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2005. — 416 с.

---

Конспект: Алгебра и геометрия