Матрицы и операции с ними

Определение:

Матрицей называется таблица элементов, состоящая из [math]\displaystyle{ m }[/math] строк и [math]\displaystyle{ n }[/math] столбцов.

Элементы матриц часто обозначают одной буквой с двумя индексами $\alpha_{ij}$, первый из которых обозначает номер строки, а второй — номер столбца. Таким образом, матрица \begin{equation} A = \left( \begin{array}{cccc} \alpha_{11} & \alpha_{12} & ... & \alpha_{1n} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & ... & \alpha_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ \alpha_{m1} & \alpha_{m2} & ... & \alpha_{mn} \end{array} \right) = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}. \end{equation}

Если строки матриц обозначить латинской буквой с индексом внизу $a_{i}$, $i=\overline{1,m}$, а столбцы — с индексом вверху $a^{j}$, $j=\overline{1,n}$, то матрицу $A$ можно записать как $A = [a_{1}, a_2, ..., a_{m} ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$.

Если необходимо подчеркнуть размер матрицы, то пишут $A=[m\times n]$.

Определение:

Матрица называется квадратной, если число ее строк $m$ равно числу столбцов $n$.

Определение:

Диагональ квадратной матрицы $\alpha_{11}, \alpha_{22}, ..., \alpha_{nn}$ называется главной.

Определение:

Квадратная матрица называется диагональной, если все отличные от нуля элементы этой матрицы стоят на главной диагонали.

\begin{equation} A = \left(\begin{array}{cccc} \alpha_{11} & 0 & ... & 0 \\ 0 & \alpha_{22} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & \alpha_{nn} \end{array}\right) = diag\{ \alpha_{11}, \alpha_{22}, ..., \alpha_{nn} \} . \end{equation}

Определение:

Матрица $E=diag\{ 1, 1, ..., 1\} $ называется единичной.

Определение:

Квадратная матрица, у которой все элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю, называется нижней (верхней) треугольной.

Определение:

Две матрицы $A = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $, $B = \{ \beta_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $ одного и того же размера называются равными и обозначаются ${\bf A} = {\bf B}$, если у них равны соответствующие элементы, то есть $\alpha_{ij} = \beta_{ij}$, $i=\overline{1,m}$, $j=\overline{1,n}$.

Определение:

Произведением матрицы ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $ на число $\gamma$ называется матрица $\gamma {\bf A} = \{ \gamma \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$.

Определение:

Суммой двух матриц одного и того же размера называется матрица, каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов слагаемых.

Таким образом, если ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$, ${\bf B} = \{ \beta_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$, то сумма ${\bf A} + {\bf B} = \{ \alpha_{ij} + \beta_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$.

Свойства суммы матриц и произведения матрицы на число

1. ${\bf A} + {\bf B} = {\bf B} + {\bf A}$
2. $({\bf A} + {\bf B}) + {\bf C} = {\bf A} + ({\bf B} + {\bf C})$
3. Матрица ${\bf 0}$, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и играет роль нуля: ${\bf A} + {\bf 0} = {\bf A}$
4. Для любой матрицы ${\bf А}$ существует противоположная $-{\bf A} = (-1){\bf A}$, то есть ${\bf A}+(-{\bf A})=0$
5. $(\gamma_{1} +\gamma_2 ){\bf A} = \gamma_{1} {\bf A} + \gamma_2 {\bf A}$
6. $\gamma ({\bf A} + {\bf B}) = \gamma {\bf A} + \gamma {\bf B}$
7. $\gamma_{1} (\gamma_2 {\bf A}) = (\gamma_{1} \gamma_2) {\bf A}$
8. $1\cdot {\bf A} = {\bf A}$.

Определение:

Произведением двух матриц ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $, ${\bf B} = \{ \beta_{jk} \}_{j,k=1}^{n,p}$ называется матрица ${\bf C} = \{ \gamma_{ik} \}_{i,k=1}^{m,p} = {\bf AB}$, где $\gamma_{ik} = \sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \beta_{jk}$.

Непосредственно из данного определения следует, что $\gamma_{ik} = a_{i} b^{k} = (\alpha_{i1} \alpha_{i2} ... \alpha_{in} ) \left(\begin{array}{c} \beta_{1k} \\ \beta_{2k} \\ \vdots \\ \beta_{nk} \end{array}\right) = \alpha_{i1} \beta_{1k} + \alpha_{i2} \beta_{2k} + \cdots + \alpha_{in} \beta_{nk}.$

Замечание

Для существования произведения двух матриц их размеры должны быть согласованы: количество столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.

Замечание

Произведение матриц не обладает свойством коммутативности, поскольку даже для квадратных матриц в общем случае ${\bf AB} \ne {\bf BA}$.

Определение:

Матрицы ${\bf A}$ и ${\bf B}$, для которых ${\bf AB} = {\bf BA}$ называются коммутирующими.

Заметим, что если ${\bf A} = [a_{1}, a_2, ..., a_{m} ] = [m \times n]$, ${\bf B} = [b^{1}, b^{2}, ..., b^{p} ] = [n \times p]$, то произведение ${\bf AB} = {\bf A}[b^{1}, b^{2}, ..., b^{p}] = [{\bf A}b^{1}, {\bf A}b^{2}, ..., {\bf A}b^{p}], {\bf AB} = [a_{1}, a_2, ..., a_{m}]{\bf B} = [a_{1} {\bf B}, a_2 {\bf B}, ..., a_{m} {\bf B}].$

Пусть неизвестные $\xi_{1}, \xi_2, ..., \xi_{m}$ связаны с системой неизвестных $\eta_{1}, \eta_2, ..., \eta_n$ с помощью линейных соотношений \begin{equation} \left\{\begin{array}{c} \xi_{1} = \alpha_{11} \eta_{1} + \alpha_{12} \eta_2 + \cdots \alpha_{1n} \eta_n, \\ \xi_2 = \alpha_{21} \eta_{1} + \alpha_{22} \eta_2 + \cdots \alpha_{2n} \eta_n, \\ \cdots \cdots \cdots \\ \xi_{m} = \alpha_{m1} \eta_{1} + \alpha_{m2} \eta_2 + \cdots \alpha_{mn} \eta_n, \end{array}\right. \end{equation} где $\alpha_{ij} $ некоторые числа, $i=\overline{1,m}$, $j=\overline{1,n}$.

Переход от $\xi_{1}, \xi_2, ..., \xi_{m}$ к $\eta_{1}, \eta_2, ..., \eta_n$ по приведенным формулам называется линейным преобразованием неизвестных.

Введем матрицу ${\bf A} = [a_{1}, a_2, ..., a_{m} ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ] = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $ и столбцы $x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \\ \vdots \\ \xi_{m} \end{array}\right)$, $y = \left(\begin{array}{c} \eta_{1} \\ \eta_2 \\ \vdots \\ \eta_n \end{array}\right)$. Тогда в матричной записи линейные преобразования можно представить в виде \begin{equation} x = {\bf A}y \Leftrightarrow \xi_{i} = \sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \eta_{j}, i=\overline{1,m} \Leftrightarrow \xi_{i} = a_{i} y, i=\overline{1,m} \Leftrightarrow x = \sum_{j=1}^{n}a^{j} \eta_{j}. \end{equation}

Лемма:

Пусть $x={\bf A}y$, $y={\bf B}z$ — два последовательных линейных преобразования переменных. Тогда матрица линейного преобразования переменных $x$ к переменным $z$ равна произведению матриц преобразований.

Доказательство:

С одной стороны, очевидно, что $x={\bf A}({\bf B}z)$. С другой стороны, $\xi_{i} = \sum_{k=1}^{n} {\alpha_{ik} \eta_{k} } = \sum_{k=1}^{n}\alpha_{ik} \left( \sum_{j=1}^{p}\beta_{kj} \zeta_{j} \right) = \sum_{j=1}^{p}\left( \sum_{k=1}^{n}\alpha_{ik} \beta_{kj} \right) \zeta_{j} = \sum_{j=1}^{p}\gamma_{ij} \zeta_{j}, i=\overline{1,m}$, где $\beta_{kj}$ — элемент матрицы ${\bf B} = [n \times p]$, $\zeta_{j}$ — элемент столбца $z$, $j=\overline{1,p}$.

По определению произведения матриц $\gamma_{ij}$ является элементом матрицы ${\bf AB}$, то есть $x=({\bf AB})z$. Таким образом, для любого столбца $z$ справедливо равенство $x={\bf A}({\bf B}z)=({\bf AB})z$.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Свойства операции произведения матриц

1. $({\bf A}+{\bf B}){\bf C} = {\bf AC} + {\bf BC}$, ${\bf A}=[m\times n]$, ${\bf B}=[m\times n]$, ${\bf C}=[n\times p]$
2. ${\bf A} ({\bf B}+{\bf C} ) = {\bf AB} + {\bf AC}$, ${\bf A}=[m\times n]$, ${\bf B}=[n\times p]$, ${\bf C}=[n\times p]$
3. $({\bf AB}){\bf C}={\bf A}({\bf BC})$, ${\bf A}=[m\times n]$, ${\bf B}=[n\times p]$, ${\bf C}=[p\times s]$
4. Если ${\bf E}_n =[n\times n]$, ${\bf E}_{m} =[m\times m]$ две единичные матрицы, то для любой ${\bf A}=[m\times n]$ справедливы равенства ${\bf AE}_n = {\bf E}_{m} {\bf A} = {\bf A}$.

Определение:

Произведение матриц $\underbrace{{\bf A}\cdot {\bf A}\cdots {\bf A}}_{k} = {\bf A}^{k}$ называется $k$-й степенью матрицы ${\bf A}$, причем ${\bf A}^{0} = {\bf E}$.

Определение:

Транспонированием матрицы называется замена ее столбцов строками, а строк — столбцами.

Таким образом, если матрица \begin{equation} {\bf A} = \left(\begin{array}{cccc} \alpha_{11} & \alpha_{12} & ... & \alpha_{1n} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & ... & \alpha_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ \alpha_{m1} & \alpha_{m2} & ... & \alpha_{mn} \end{array}\right) = [m\times n], \end{equation} то транспонированная матрица \begin{equation} {\bf A}^{T} = \left(\begin{array}{cccc} \alpha_{11} & \alpha_{21} & ... & \alpha_{m1} \\ \alpha_{12} & \alpha_{22} & ... & \alpha_{m2} \\ ... & ... & ... & ... \\ \alpha_{1n} & \alpha_{2n} & ... & \alpha_{nm} \end{array}\right) = [n\times m]. \end{equation} Следовательно, если ${\bf A}^{T} = \{ \delta_{ks} \}_{k,s=1}^{n,m} $, то $\delta_{ks} =\alpha_{sk} $, $s=\overline{1,m}$, $k=\overline{1,n}$.

Непосредственно из определения следует, что $\left({\bf A}^{T} \right)^{T} = {\bf A}$, $({\bf A}+{\bf B})^{T} = {\bf A}^{T} + {\bf B}^{T}$, $(\gamma {\bf A})^{T} =\gamma {\bf A}^{T}$.

Определение:

Матрица, равная своей транспонированной матрице, называется симметрической матрицей.

Таким образом, если выполнено равенство ${\bf А} = {\bf А}^{Т}$, то ${\bf А}$ — симметрическая матрица и ее элементы симметричны относительно главной диагонали.

Теорема:

Транспонированное произведение двух матриц равно произведению транспонированных сомножителей, взятых в обратном порядке, то есть $({\bf AB})^{T} = {\bf B}^{T} {\bf A}^{T}$.

Доказательство:

Пусть ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $, ${\bf B} = \{ \beta_{jl} \}_{j,l=1}^{n,p}$. Тогда ${\bf AB} = \left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \beta_{jl} \right\}_{i,l=1}^{m,p} =\left\{\gamma_{il} \right\}_{i,l=1}^{m,p}$. Допустим, что ${\bf B}^{T} = \{ \delta_{lj} \}_{l,j=1}^{p,n} $, ${\bf A}^{T} = \{ \theta_{ji} \}_{j,i=1}^{n,m} $, получаем ${\bf B}^{T} {\bf A}^{T} = \left\{\sum_{j=1}^{n}\delta_{lj} \theta_{ji} \right\}_{l,i=1}^{p,m} = \{ \mu_{li} \}_{l,i=1}^{p,m}$. Но $\mu_{li} = \sum_{j=1}^{n}{\delta_{lj} \theta_{ji} } = \sum_{j=1}^{n}{\beta_{jl} \alpha_{ij} } = \sum_{j=1}^{n} {\alpha_{ij} \beta_{jl} } =\gamma_{il},$ то есть окончательно имеем равенство ${\bf B}^{T} {\bf A}^{T} =({\bf AB})^{T} $.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]