Определители второго и третьего порядка

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} \alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 = \beta_{1}, \\ \alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 = \beta_2, \end{array}\right. \end{equation} где $\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \beta_{1}, \beta_2$ — заданные числа. В матричной записи систему можно представить в виде ${\bf A}x={\bf b}$, где \begin{equation} {\bf A} = \left(\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \alpha_{12} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} \end{array}\right), x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \end{array}\right), b = \left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_2 \end{array}\right). \end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22}$, а второе — на $(-\alpha_{12})$. Складывая полученные равенства, получи $(\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} ) \xi_{1} = (\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12}).$

Предположим, что $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} \ne 0$, тогда \begin{equation} \xi_{1} = \frac{\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }. \end{equation}

Аналогично, умножая первое равенство на $(-\alpha_{21})$, второе — на $\alpha_{11}$, и складывая, получаем \begin{equation} \xi_2 =\frac{\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }. \end{equation}

Полученные $\xi_{1}$ и $\xi_2$ являются решением исходной системы уравнений.

Определение:

Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется определителем второго порядка матрицы ${\bf A}$.

Определитель второго порядка матрицы ${\bf А}$ обозначается $\det {\bf A}$ или $\left| \begin{array}{cc} \alpha_{11} & \alpha_{12} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} \end{array}\right|$.

Заметим, что $\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} = \left|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right|$, $\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} = \left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right|$. Поэтому соотношения для $\xi_{1}$ и $\xi_2$ можно представить в виде \begin{equation} \xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right|} {\det {\bf A}}, \xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right|} {\det {\bf A}}. \end{equation} Эти формулы называются формулами Крамера для решения системы уравнений.

Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} \alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 + \alpha_{13} \xi_3 = \beta_{1},\\ \alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 + \alpha_{23} \xi_3 = \beta_2,\\ \alpha_{31} \xi_{1} + \alpha_{32} \xi_2 + \alpha_{33} \xi_3 = \beta_3. \end{array}\right. \end{equation} В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где \begin{equation} A = \left(\begin{array}{ccc} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\ \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{array}\right), x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \\ \xi_3 \end{array}\right), b = \left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{array}\right). \end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}$, второе — на $\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}$, третье — на $\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}$. Складывая полученные равенства, имеем \begin{equation} [\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})]\xi_{1} = \beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}). \end{equation}

Если выражение \begin{equation} \alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} -\alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}) = \alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} \end{equation} не равно нулю, то \begin{equation} \xi_{1} = \frac{\beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }. \end{equation}

Аналогично находим \begin{equation} \xi_2 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{21} \alpha_{33}) + \beta_2 (\alpha_{11} \alpha_{33} - \alpha_{13} \alpha_{31}) + \beta_3 (\alpha_{13} \alpha_{21} - \alpha_{11} \alpha_{23})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }, \end{equation} а затем \begin{equation} \xi_3 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{22} \alpha_{31}) + \beta_2 (\alpha_{12} \alpha_{31} - \alpha_{11} \alpha_{32}) + \beta_3 (\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }. \end{equation}

Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок \begin{equation} \left|\begin{array}{ccc} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\ \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{array}\right|. \end{equation}

Для решения системы с тремя неизвестными также справедливы формулы Крамера \begin{equation} \xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{ccc} \beta_{1} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \beta_2 & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\ \beta_3 & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{array}\right|}{\det {\bf A}}, \xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{ccc} \alpha_{11} & \beta_{1} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & \beta_2 & \alpha_{23} \\ \alpha_{31} & \beta_3 & \alpha_{33} \end{array}\right|}{\det {\bf A}}, \xi_3 = \frac{\left|\begin{array}{ccc} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \beta_2 \\ \alpha_{31} & \alpha_{32} & \beta_3 \end{array}\right|}{\det {\bf A}}. \end{equation}