|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
| |
| \begin{equation}
| |
| \left\{\begin{array}{l}
| |
| \alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 = \beta_{1}, \\
| |
| \alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 = \beta_2,
| |
| \end{array}\right.
| |
| \end{equation}
| |
| где $\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \beta_{1}, \beta_2$ — заданные числа. В матричной записи систему можно представить в виде ${\bf A}x={\bf b}$, где
| |
| \begin{equation}
| |
| {\bf A} = \left(\begin{array}{cc}
| |
| \alpha_{11} & \alpha_{12} \\
| |
| \alpha_{21} & \alpha_{22}
| |
| \end{array}\right),
| |
| x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \end{array}\right),
| |
| b = \left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_2 \end{array}\right).
| |
| \end{equation}
| |
|
| |
| Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22}$, а второе — на $(-\alpha_{12})$. Складывая полученные равенства, получи
| |
| $(\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} ) \xi_{1} = (\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12}).$
| |
|
| |
| Предположим, что $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} \ne 0$, тогда
| |
| \begin{equation}
| |
| \xi_{1} = \frac{\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
| |
| \end{equation}
| |
|
| |
| Аналогично, умножая первое равенство на $(-\alpha_{21})$, второе — на $\alpha_{11}$, и складывая, получаем
| |
| \begin{equation}
| |
| \xi_2 =\frac{\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
| |
| \end{equation}
| |
|
| |
| Полученные $\xi_{1}$ и $\xi_2$ являются решением исходной системы уравнений.
| |
|
| |
| {{Определение | | {{Определение |
| |definition= | | |definition= |
| Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$. | | Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$. |
| }} | | }} |
|
| |
| <p>Определитель второго порядка матрицы ${\bf А}$ обозначается $\det {\bf A}$ или
| |
| $\left| \begin{array}{cc}
| |
| \alpha_{11} & \alpha_{12} \\
| |
| \alpha_{21} & \alpha_{22}
| |
| \end{array}\right|$.
| |
| </p>
| |
|
| |
| <p>Заметим, что $\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} = \left|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right|$, $\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} = \left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right|$.
| |
| Поэтому соотношения для $\xi_{1}$ и $\xi_2$ можно представить в виде
| |
| \begin{equation}
| |
| \xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{cc} \beta_{1} & \alpha_{12} \\ \beta_2 & \alpha_{22} \end{array}\right|} {\det {\bf A}},
| |
| \xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} & \beta_{1} \\ \alpha_{21} & \beta_2 \end{array}\right|} {\det {\bf A}}.
| |
| \end{equation}
| |
| Эти формулы называются ''формулами Крамера'' для решения системы уравнений.
| |
| </p>
| |
|
| |
| Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
| |
| \begin{equation}
| |
| \left\{\begin{array}{l}
| |
| \alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 + \alpha_{13} \xi_3 = \beta_{1},\\
| |
| \alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 + \alpha_{23} \xi_3 = \beta_2,\\
| |
| \alpha_{31} \xi_{1} + \alpha_{32} \xi_2 + \alpha_{33} \xi_3 = \beta_3.
| |
| \end{array}\right.
| |
| \end{equation}
| |
| В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где
| |
| \begin{equation}
| |
| A = \left(\begin{array}{ccc}
| |
| \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
| |
| \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
| |
| \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
| |
| \end{array}\right),
| |
| x = \left(\begin{array}{c}
| |
| \xi_{1} \\ \xi_2 \\ \xi_3
| |
| \end{array}\right),
| |
| b = \left(\begin{array}{c}
| |
| \beta_{1} \\ \beta_2 \\ \beta_3
| |
| \end{array}\right).
| |
| \end{equation}
| |
|
| |
| Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}$, второе — на $\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}$, третье — на $\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}$. Складывая полученные равенства, имеем
| |
| \begin{equation}
| |
| [\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})]\xi_{1}
| |
| = \beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}).
| |
| \end{equation}
| |
|
| |
| Если выражение
| |
| \begin{equation}
| |
| \alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} -\alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})
| |
| = \alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31}
| |
| \end{equation}
| |
| не равно нулю, то
| |
| \begin{equation}
| |
| \xi_{1} = \frac{\beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
| |
| \end{equation}
| |
|
| |
| Аналогично находим
| |
| \begin{equation}
| |
| \xi_2 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{21} \alpha_{33}) + \beta_2 (\alpha_{11} \alpha_{33} - \alpha_{13} \alpha_{31}) + \beta_3 (\alpha_{13} \alpha_{21} - \alpha_{11} \alpha_{23})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} },
| |
| \end{equation}
| |
| а затем
| |
| \begin{equation}
| |
| \xi_3 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{22} \alpha_{31}) + \beta_2 (\alpha_{12} \alpha_{31} - \alpha_{11} \alpha_{32}) + \beta_3 (\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
| |
| \end{equation}
| |
|
| |
| Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок
| |
| \begin{equation}
| |
| \left|\begin{array}{ccc}
| |
| \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
| |
| \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
| |
| \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
| |
| \end{array}\right|.
| |
| \end{equation}
| |
|
| |
| Для решения системы с тремя неизвестными также справедливы формулы Крамера
| |
| \begin{equation}
| |
| \xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
| |
| \beta_{1} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
| |
| \beta_2 & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
| |
| \beta_3 & \alpha_{32} & \alpha_{33}
| |
| \end{array}\right|}{\det {\bf A}},
| |
| \xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
| |
| \alpha_{11} & \beta_{1} & \alpha_{13} \\
| |
| \alpha_{21} & \beta_2 & \alpha_{23} \\
| |
| \alpha_{31} & \beta_3 & \alpha_{33}
| |
| \end{array}\right|}{\det {\bf A}},
| |
| \xi_3 = \frac{\left|\begin{array}{ccc}
| |
| \alpha_{11} & \alpha_{12} & \beta_{1} \\
| |
| \alpha_{21} & \alpha_{22} & \beta_2 \\
| |
| \alpha_{31} & \alpha_{32} & \beta_3
| |
| \end{array}\right|}{\det {\bf A}}.
| |
| \end{equation}
| |