Скалярное произведение векторов

Определение:

Углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол между векторами $\vec{a'}$ и $\vec{b'}$, равными соответственно $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и имеющими общее начало.

Если ненулевые векторы сонаправлены, то угол между ними полагают равным $0$, если ненулевые векторы противоположно направлены, то угол между ними считают равным $\pi$.

Определение:

Скалярным произведением $\vec{a}\cdot \vec{b}$ двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется произведение их модулей и косинуса угла между ними, то есть [math]\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{b}= |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos \varphi . }[/math]

Непосредственно из определения следует, что [math]\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{a}= |\vec{a}|^{2} }[/math], поэтому [math]\displaystyle{ \left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\cdot \vec{a} } }[/math], причем [math]\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{a}\gt 0 }[/math], если [math]\displaystyle{ \vec{a} \ne \vec{0} }[/math].

Число $\vec{a}\cdot \vec{a}=\vec{a}^{2} $ называется скалярным квадратом вектора $\vec{a}$.

Пусть орт вектора $\vec{a}$ равен [math]\displaystyle{ \vec{g}=\frac{\vec{a} }{|\vec{a}|} }[/math], а [math]\displaystyle{ \vec{q}=\frac{\vec{b} }{|\vec{b}|} }[/math] — орт вектора $\vec{b}$. Тогда в соответствии с теоремой имеем [math]\displaystyle{ Apr_{\vec{g} } \vec{b}= |\vec{b}|\cos \varphi }[/math], [math]\displaystyle{ Apr_{\vec{q} } \vec{a}= |\vec{a}|\cos \varphi }[/math], а в силу определения скалярного произведения получаем [math]\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{b}= |\vec{a}|Apr_{\vec{g} } \vec{b} = |\vec{b}| Apr_{\vec{q} } \vec{a} }[/math].

Рис. 1. Знак [math]\displaystyle{ \vec a\cdot\vec b }[/math] определяется углом: при остром угле проекция [math]\displaystyle{ b }[/math] на [math]\displaystyle{ a }[/math] положительна, при прямом равна нулю, при тупом направлена против [math]\displaystyle{ a }[/math] и произведение отрицательно. Везде [math]\displaystyle{ \vec a\cdot\vec b=|\vec a| |\vec b|\cos\varphi }[/math].

Понятие скалярного произведения векторов впервые появились в механике. Если вектор $\vec{a}$ изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора $\vec{b}$, то работа A указанной силы определяется равенством $A= |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos \varphi$.

Теорема (свойства скалярного произведения):

Для любых трех векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ и произвольного числа $\lambda$ справедливы следующие свойства:

• $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$ (коммутативность);
• $\lambda (\vec{a}\cdot \vec{b})=(\lambda \vec{a})\cdot \vec{b}$ (ассоциативность относительно числового множителя);
• $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$ (дистрибутивность относительно суммы векторов);
• $\vec{a}\cdot \vec{a}>0$, если $\vec{a}$ — ненулевой вектор; $\vec{a}\cdot \vec{a}=0$, если $\vec{a}$ — нулевой вектор.

Доказательство:

Первое свойство непосредственно вытекает из определения скалярного произведения. Для второго и третьего свойств имеем [math]\displaystyle{ (\lambda \vec{a})\cdot \vec{b}= |\vec{b}|Apr_{\vec{q} } (\lambda \vec{a})=\lambda |\vec{b}|Apr_{\vec{q} } (\vec{a})=\lambda (\vec{a}\cdot \vec{b}), }[/math] [math]\displaystyle{ (\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}= |\vec{c}|Apr_{\vec{e} } (\vec{a}+\vec{b})= |\vec{c}|Apr_{\vec{e} } \vec{a}+ |\vec{c}|Apr_{\vec{e} } \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}, }[/math] где орт [math]\displaystyle{ \vec{e}=\frac{\vec{c} }{|\vec{c}|} }[/math]. Наконец, четвертое свойство вытекает непосредственно из определения.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Теорема:

Скалярное произведение двух векторов, заданных в произвольной аффинной системе координат $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} \vec{e}_{3} $ своими координатами $\vec{a}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} )$ и $\vec{b}(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} )$, находится по формуле [math]\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{b}=\alpha_{1} \beta_{1} (\vec{e}_{1} \cdot \vec{e}_{1} )+(\alpha_{1} \beta_{2} +\alpha_{2} \beta_{1} )(\vec{e}_{1} \cdot \vec{e}_{2} )+\alpha_{2} \beta_{2} (\vec{e}_{2} \cdot \vec{e}_{2} )+(\alpha_{1} \beta_{3} +\alpha_{3} \beta_{1} )(\vec{e}_{1} \cdot \vec{e}_{3} )+(\alpha_{2} \beta_{3} +\alpha_{3} \beta_{2} )(\vec{e}_{2} \cdot \vec{e}_{3} )+\alpha_{3} \beta_{3} (\vec{e}_{3} \cdot \vec{e}_{3} ). }[/math]

Доказательство:

Формула получается с помощью простых вычислений, если воспользоваться представлениями заданных векторов через базис $\vec{a}=\alpha_{1} \vec{e}_{1} +\alpha_{2} \vec{e}_{2} +\alpha_{3} \vec{e}_{3}$, $\vec{b}=\beta_{1} \vec{e}_{1} +\beta_{2} \vec{e}_{2} +\beta_{3} \vec{e}_{3} $ и свойствами скалярного произведения.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Величины $g_{ij} $=$\vec{e}_{i} \cdot \vec{e}_{j} $ называются метрическими коэффициентами системы координат $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} \vec{e}_{3} $. Таким образом, для вычисления скалярного произведения двух векторов в аффинной системе координат необходимо знать координаты этих векторов и метрические коэффициенты системы координат.

Модуль произвольного вектора $\vec{a}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} )$ в произвольной аффинной системе координат $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} \vec{e}_{3} $ вычисляется по формуле [math]\displaystyle{ |\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot \vec{a} } =\sqrt{\alpha_{1}^{2} g_{11} +\alpha_{2}^{2} g_{22} +\alpha_{3}^{2} g_{33} +2\alpha_{1} \alpha_{2} g_{12} +2\alpha_{1} \alpha_{3} g_{13} +2\alpha_{2} \alpha_{3} g_{23} } }[/math].

Угол $\varphi$ между двумя векторами $\vec{a}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} )$ и $\vec{b}(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} )$ в аффинной системе координат $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} \vec{e}_{3} $ находится по формуле [math]\displaystyle{ \varphi = \arccos \frac{\vec{a}\cdot \vec{b} }{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} }[/math].

Для векторов, заданных своими координатами в ДПСК, справедливы формулы

• $n=3$: $\vec{a}=\alpha_{x} \vec{i}+\alpha_{y} \vec{j}+\alpha_{z} \vec{k}$, $\vec{b}=\beta_{x} \vec{i}+\beta_{y} \vec{j}+\beta_{z} \vec{k}$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=\alpha_{x} \beta_{x} +\alpha_{y} \beta_{y} +\alpha_{z} \beta_{z}$, [math]\displaystyle{ |\vec{a}|$=$\sqrt{\alpha_{x}^{2} +\alpha_{y}^{2} +\alpha_{z}^{2} } }[/math], [math]\displaystyle{ \varphi=\angle (\vec{a},\vec{b})=\arccos \frac{\alpha_{x} \beta_{x} +\alpha_{y} \beta_{y} +\alpha_{z} \beta_{z} }{\sqrt{\alpha_{x}^{2} +\alpha_{y}^{2} +\alpha_{z}^{2} } \cdot \sqrt{\beta_{x}^{2} +\beta_{y}^{2} +\beta_{z}^{2} } } }[/math];
• $n=2$: $\vec{a}=\alpha_{x} \vec{i}+\alpha_{y} \vec{j}$, $\vec{b}=\beta_{x} \vec{i}+\beta_{y} \vec{j}$,

$\vec{a}\cdot \vec{b}=\alpha_{x} \beta_{x} +\alpha_{y} \beta_{y}, |\vec{a}|=\sqrt{\alpha_{x}^{2} +\alpha_{y}^{2} }$, $\varphi =\angle (\vec{a},\vec{b})=\arccos \frac{\alpha_{x} \beta_{x} +\alpha_{y} \beta_{y} }{\sqrt{\alpha_{x}^{2} +\alpha_{y}^{2} } \cdot \sqrt{\beta_{x}^{2} +\beta_{y}^{2} } } $;

• $n=1$: $\vec{a}=\alpha_{x} \vec{i}, \vec{b}=\beta_{x} \vec{i},$ [math]\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{b}=\alpha_{x} \beta_{x} }[/math], [math]\displaystyle{ |\vec{a}| = |\alpha_{x} |, \varphi =\angle (\vec{a},\vec{b})=\arccos \frac{\alpha_{x} \beta_{x} }{|\alpha_{x} ||\beta_{x} |} }[/math].

Поскольку расстояние между двумя точками $A(x_{A}, y_{A}, z_{A} )$ и $B(x_{B}, y_{B}, z_{B} )$ в трехмерном пространстве равно модулю вектора $\overrightarrow{AB} (x_{B} -x_{A}, y_{B} -y_{A}, z_{B} -z_{A} )$, то получаем следующую формулу для нахождения расстояния между названными точками в заданной ДПСК: [math]\displaystyle{ d(A,B)=\sqrt{(x_{B} -x_{A} )^{2} +(y_{B} -y_{A} )^{2} +(z_{B} -z_{A} )^{2} } }[/math].

Аналогично расстояние между двумя точками $A(x_{A}, y_{A} )$ и $B(x_{B}, y_{B})$ на плоскости находятся по формуле [math]\displaystyle{ d(A,B)=\sqrt{(x_{B} -x_{A} )^{2} +(y_{B} -y_{A} )^{2} } }[/math], а расстояние между двумя точками $A(x_{A} )$ и $B(x_{B} )$ на прямой соответственно по формуле [math]\displaystyle{ d(A,B)=|x_{B} -x_{A} | }[/math].

Теорема:

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух ненулевых векторов в трехмерном пространстве $\vec{a}(\alpha_{x}, \alpha_{y}, \alpha_{z} )$ и $\vec{b}(\beta_{x}, \beta_{y}, \beta_{z} )$, заданных в ДПСК своими координатами, является равенство [math]\displaystyle{ \label{GrindEQ__3_16_14_} \alpha_{x} \beta_{x} +\alpha_{y} \beta_{y} +\alpha_{z} \beta_{z} = 0. }[/math]

Доказательство непосредственно следует из определения скалярного произведения.

Теорема:

Декартовы прямоугольные координаты вектора $\vec{a}(\alpha_{x}, \alpha_{y}, \alpha_{z} )$ равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие базисные векторы, то есть [math]\displaystyle{ \alpha_{x} =\vec{a}\cdot \vec{i}, \alpha_{y} =\vec{a}\cdot \vec{j}, \alpha_{z} =\vec{a}\cdot \vec{k}. }[/math]

Доказательство:

Пусть $\vec{i}$,$\vec{j}$,$\vec{k}$ — ортонормированный базис. Тогда $\vec{a}=\alpha_{x} \vec{i}+\alpha_{y} \vec{j}+\alpha_{z} \vec{k}$, причем [math]\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{i}=\alpha_{x} \vec{i}\cdot \vec{i}+\alpha_{y} \vec{j}\cdot \vec{i}+\alpha_{z} \vec{k}\cdot \vec{i}=\alpha_{x} }[/math]; [math]\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{j}=\alpha_{x} \vec{i}\cdot \vec{j}+\alpha_{y} \vec{j}\cdot \vec{j}+\alpha_{z} \vec{k}\cdot \vec{j}=\alpha_{y} }[/math]; [math]\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{k}=\alpha_{x} \vec{i}\cdot \vec{k}+\alpha_{y} \vec{j}\cdot \vec{k}+\alpha_{z} \vec{k}\cdot \vec{k}=\alpha_{z} }[/math].

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Рис. 2. В ДПСК координаты вектора — это его проекции на орты, поэтому [math]\displaystyle{ \alpha_x=\vec a\cdot\vec i }[/math] и т. д. Отсюда [math]\displaystyle{ \vec a\cdot\vec b=\alpha_x\beta_x+\alpha_y\beta_y+\alpha_z\beta_z }[/math], [math]\displaystyle{ |\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a} }[/math], а перпендикулярность означает [math]\displaystyle{ \vec a\cdot\vec b=0 }[/math].

Рассмотрим в ДПСК $O\vec{i} \vec{j}\vec{k}$ вектор $\overrightarrow{OM}$, приведенный в начало $O$, и его орт $\vec{e}$. Пусть $\alpha =\angle (\vec{e},\vec{i}), \beta =\angle (\vec{e},\vec{j}), \gamma =\angle (\vec{e},\vec{k})$.

Определение:

Косинусы $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ называются направляющими косинусами вектора $\overrightarrow{OM} $.

Теорема:

Направляющие косинусы вектора являются декартовыми координатами орта данного вектора.

Доказательство:

Пусть $\vec{e}$ — орт вектора $\overrightarrow{OM}$, причем $\vec{e}=e_{x} \vec{i}+e_{y} \vec{j}+e_{z} \vec{k}$. Тогда в силу теоремы 3.16.4 и определения скалярного произведения имеем [math]\displaystyle{ e_{x} = \vec{e}\cdot \vec{i} = |\vec{e}||\vec{i}|\cos \alpha = \cos \alpha, }[/math] [math]\displaystyle{ e_{y} = \vec{e}\cdot \vec{j} = |\vec{e}||\vec{j}|\cos \beta = \cos \beta, }[/math] [math]\displaystyle{ e_{z} = \vec{e}\cdot \vec{k} = |\vec{e}||\vec{k}|\cos \gamma = \cos \gamma, }[/math] что и требовалось доказать.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Для направляющих косинусов справедливо соотношение [math]\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha +\cos ^{2} \beta +\cos ^{2} \gamma =1 }[/math].

---

Конспект: Алгебра и геометрия