Характеристический полином матрицы
Пусть характеристический полином $f(\lambda )=\det (\lambda E-A)$. Как известно, определитель равен сумме произведений элементов характеристической матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Очевидно, что все указанные слагаемые являются полиномами от параметра $\lambda$. При этом наивысшую степень имеет слагаемое $\prod_{i=1}^{n}(\lambda -\alpha_{ii})$, поскольку все остальные слагаемые не будут содержать, по крайней мере, двух элементов, стоящих на главной диагонали матрицы $\lambda E-A$, а их степень не превосходит $n-2$. Поэтому имеем $\deg f(\lambda )=n$.
Если $f(\lambda )=\det (\lambda E-A)=\lambda ^{n} +\beta_1 \lambda ^{n-1} +\cdots +\beta_{n-1} \lambda +\beta_n$, то $f(0)=\det (-A)=(-1)^{n} \det A$, отсюда $\beta_n =(-1)^{n} \det A$. Очевидно, что $\beta_1 =-(\alpha_{11} +\alpha_{22} +\cdots +\alpha_{nn} )$.
Заметим, что в соответствии с теоремой Виета сумма собственных значений матрицы $A$ равна $\mbox{Sp}A$. Пусть $g(\lambda )=\lambda ^{m} +\gamma_1 \lambda ^{m-1} +\cdots +\gamma_{m-1} \lambda +\gamma_{m} $ — произвольный полином степени $m$.
Пусть $f(\lambda )=\det (\lambda E-A)=\lambda ^{n} +\beta_1 \lambda ^{n-1} +\cdots +\beta_{n-1} \lambda +\beta_n$. Обозначим через $P$ присоединенную матрицу к характеристической матрице $\lambda E-A$. Элементами матрицы $P$ служат алгебраические дополнения элементов матрицы $\lambda E-A$, при этом с точностью до знака они совпадают с минорами порядка $n-1$. Поэтому каждый элемент $P$ есть полином, степень которого не превосходит $n-1$. Следовательно, [math]\displaystyle{ P=P_1 \lambda ^{n-1} +P_2 \lambda ^{n-2} +\cdots +P_{n-1} \lambda +P_n, }[/math] где $P_{i}$, $i=\overline{1,n}$ — постоянные матрицы. Вычислим произведение двух матриц $P(\lambda E-A)$, получаем [math]\displaystyle{ P(\lambda E-A)=(P_1 \lambda ^{n-1} +P_2 \lambda ^{n-2} +\cdots +P_{n-1} \lambda +P_n )(\lambda E-A)= }[/math] [math]\displaystyle{ =P_1 \lambda ^{n} +(P_2 -P_1 A)\lambda ^{n-1} +(P_3 -P_2 A)\lambda ^{n-2} +\cdots +(P_n -P_{n-1} A)\lambda -P_n A. }[/math] С другой стороны, так как $P$ присоединенная матрица, то $P(\lambda E-A)=\det (\lambda E-A)E$, то есть $P(\lambda E-A)=f(\lambda )E=E\lambda ^{n} +\beta_1 E\lambda ^{n-1} +\cdots +\beta_{n-1} E\lambda +\beta_n E$. Сравнивая матрицы при одинаковых степенях параметра $\lambda$, получаем следующие матричные соотношения: [math]\displaystyle{ \lambda^{n}: P_1 =E, }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda^{n-1}: P_2 - P_1 A=\beta_1 E, }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda^{n-2}: P_3 - P_2 A=\beta_2 E, }[/math] [math]\displaystyle{ ... }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda^{1}: P_n - P_{n-1} A=\beta_{n-1} E, }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda^{0}: -P_n A=\beta_n E. }[/math]
Умножим обе части первого равенства на $A^{n}$, второго — на $A^{n-1}$, третьего — на $A^{n-2} $ и так далее, а затем, складывая все вновь полученные равенства, имеем равенство [math]\displaystyle{ P_1 A^{n} +(P_2 -P_1 A)A^{n-1} +(P_3 -P_2 A)A^{n-2} +\cdots +(P_n -P_{n-1} A)A-P_n AE= }[/math] [math]\displaystyle{ =EA^{n} +\beta_1 EA^{n-1} +\beta_2 EA^{n-2} +\cdots +\beta_{n-1} EA+\beta_n EE. }[/math] Производя сокращения в левой части последнего матричного соотношения, получаем $0=A^{n} +\beta_1 A^{n-1} +\beta_2 A^{n-2} +\cdots +\beta_{n-1} A+\beta_n E$, то есть $f(A)=0$.
Конспект: Алгебра и геометрия