Эллипс
Выберем декартову прямоугольную систему координат $Oxy$ так, что её начало $O$ — середина отрезка $F_{1}F_{2}$, а ось абсцисс находится на прямой, проходящей через $F_{1}$ и $F_{2}$, и имеет направление вектора $\overrightarrow{OF_2}$. Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка эллипса.
Тогда, если $r_1 = \vert F_1 M\vert$, $r_2 = \vert F_2 M\vert$, то по определению $r_{1} + r_{2} = 2a$ или $\sqrt {(x + c)^2 + y^2} + \sqrt {(x - c)^2 + y^2} = 2a$, $\sqrt {(x + c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt {(x - c)^2 + y^2}$, $(x + c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt {(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2$, $x^2 + 2xc + c^2 = 4a^2 - 4a\sqrt {(x - c)^2 + y^2} + x^2 - 2xc + c^2$, $4a\sqrt {(x - c)^2 + y^2} = 4a^2 - 4xc, a\sqrt {(x - c)^2 + y^2} = a^2 - xc$, $(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)$.
Положив $b^2 = a^2 - c^2$, имеем $b^{2}x^{2} + a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2}$, отсюда получаем уравнение
\begin{equation} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \tag{1} \end{equation}
которому удовлетворяют координаты произвольной точки $M(x, y)$ эллипса.
Убедимся, что любая точка $M(x, y)$ плоскости, координаты которой удовлетворяют (1), лежит на рассматриваемом эллипсе. Действительно,
[math]\displaystyle{ r_1 = \vert F_1 M\vert = \sqrt {\left( {x - \left( { - c} \right)} \right)^2 + y^2} = \sqrt {\left( {x + c} \right)^2 + b^2\left( {1 - \frac{x^2}{a^2}} \right)} = \sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}} = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2}x^2 + 2xc + b^2 + c^2} = \sqrt {\frac{c^2x^2}{a^2} + 2cx + a^2} = \sqrt {\left( {a + \frac{cx}{a}} \right)^2} = \left| {a + \frac{cx}{a}} \right|, }[/math] и аналогично $r_2 = \vert F_2 M\vert = \vert a - \frac{cx}{a}\vert$.
Из соотношения (1) следует, что $\vert x \vert \le a$, кроме того, $0 < c < a$, поэтому
\begin{equation} r_1 = a + \frac{cx}{a}, r_2 = a - \frac{cx}{a}. \tag{2} \end{equation}
$r_1 + r_2 = 2a$, следовательно, по определению точка $M(x, y)$ лежит на данном эллипсе.
Итак, уравнение (1) является уравнением эллипса, называемое каноническим уравнением.
Подчеркнем, что в полученном уравнении, определяющем рассматриваемый эллипс с фокусами на оси абсцисс, $a > b$. Если в уравнении (1) окажется $b > a$, то фокусы эллипса, определяемого таким уравнением, располагаются на оси ординат. Если в уравнении (1) $b = a$, то оно принимает вид $x^{2} + y^{2} = a^{2}$, то есть является уравнением окружности с радиусом $a$ и с центром в начале координат. В этом случае фокусы $F_{1}$ и $F_{2}$ совпадают, ибо $c = 0$. Поэтому окружность можно рассматривать как частный случай эллипса. В дальнейшем, если нет специальной оговорки, считаем, что в [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 }[/math] подразумевается $a > b$.
Заметим, что уравнение содержит $x$ и $y$ в четной степени. Поэтому, если точка $M(x, y)$ лежит на эллипсе, то и точки [math]\displaystyle{ M'(x, -y) }[/math] и [math]\displaystyle{ M''(-x,y) }[/math], симметричные с точкой $M$ относительно осей $Ox$ и $Oy$, также лежат на этом эллипсе. Кроме того, точка [math]\displaystyle{ M'''(-x, -y) }[/math], симметричная точке $M(x, y)$ относительно начала координат, также лежит на эллипсе.
Следовательно, для эллипса, заданного уравнением (1), осями симметрии являются оси координат, а центром симметрии — начало координат.
Эллипс расположен внутри прямоугольника, сторонами которого являются отрезки прямых $x = a$, $x = -b$, $ y = b$, $y = -b$, поскольку $\vert x\vert \le a$, $\vert y \vert \le b$.
Вершинами эллипса будем называть точки пересечения его с осями координат. Эллипс (1) имеет четыре вершины: [math]\displaystyle{ A(a,0) }[/math], [math]\displaystyle{ B(0, b) }[/math], [math]\displaystyle{ A'(-a,0) }[/math], [math]\displaystyle{ B'(0, -b) }[/math].
У эллипса, определяемого уравнением (1), в котором $a > b$, будем называть большой полуосью отрезок $OA$ или [math]\displaystyle{ OA' }[/math], а малой полуосью — отрезок $OB$ или [math]\displaystyle{ OB' }[/math], большой осью — отрезок [math]\displaystyle{ AA' }[/math], малой осью — отрезок [math]\displaystyle{ BB' }[/math]. Отметим, что фокусы эллипса всегда расположены на большой оси.
Из соотношения (1) имеем $y = \pm \frac{b}{a}\sqrt {a^2 - x^2}$, причем в первой четверти
\begin{equation} y = \frac{b}{a}\sqrt {a^2 - x^2}, 0 \le x \le a. \tag{3} \end{equation}
Функция (3) является монотонно убывающей. Ее значения убывают от $b$ до $0$ при возрастании $x$ от $0$ до $a$. График этой функции представляет собой часть эллипса, расположенную в первой четверти. Для построения полного эллипса следует воспользоваться отмеченными свойствами симметрии этой кривой.
Заметим, что любая прямая пересекает эллипс не более чем в двух точках, ибо точки пересечения всевозможных прямых с эллипсом находятся из решения системы
[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, y = \gamma x + \beta }[/math]
или системы
[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, x = \pm \alpha . }[/math]
Таким образом, эллипс, определяемый уравнением (1), есть замкнутая выпуклая линия, имеющая центр симметрии в точке $O$ и две взаимно перпендикулярные оси симметрии, совпадающие с осями координат.
Эллипс можно получить с помощью равномерного сжатия окружности [math]\displaystyle{ {x}'^2 + {y}'^2 = a^2 }[/math] к одной из координатных осей. Произведем, например, равномерное сжатие плоскости к оси абсцисс, т. е. преобразование, при котором точка [math]\displaystyle{ (x', y') }[/math] переходит в точку $(x, y)$, где
\begin{equation} \begin{cases} x = x', \\ y = (b / a)y', \tag{4} \end{cases} \end{equation}
причем $b < a$. Тогда окружность преобразуется в линию, определяемую уравнением $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, т. е. эллипс с фокусами на оси абсцисс, ибо здесь $a > b$.
Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка эллипса (1), [math]\displaystyle{ N(x', y') }[/math] — точка на окружности, соответствующая точке $M$ при преобразовании(4), $t = \angle (\vec {i},\overrightarrow{ON}), 0 \le t < 2\pi$.
С учетом параметрического способа задания окружности имеем [math]\displaystyle{ x' = a\cos t }[/math], [math]\displaystyle{ y' = a\sin t }[/math], отсюда в силу (4) $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, $0 \le t \lt 2\pi$.
Последние уравнения называют параметрическими уравнениями эллипса (1). Параметр $t$ называют эксцентрическим углом точки $M$ на эллипсе.
Эксцентриситетом $\varepsilon$ эллипса называют отношение половины расстояния между фокусами к длине большой полуоси, т. е. [math]\displaystyle{ \label{eq6} \varepsilon = \frac{c}{a} }[/math]
Ясно, что для эллипса $\varepsilon < 1$, ибо в силу определения эллипса $a > c$. Кроме того, $\varepsilon ^2 = \frac{c^2}{a^2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2} = 1 - \left({\frac{b}{a}} \right)^2$, откуда получаем $\varepsilon = \sqrt {1 - \left( {\frac{b}{a}} \right)^2}, \frac{b}{a} = \sqrt {1 - \varepsilon ^2}$, то есть эксцентриситет $\varepsilon $ определяется отношением длин полуосей $b/a$, а отношение длин полуосей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом $\varepsilon$.
Эксцентриситет характеризует форму эллипса, а именно степень его "вытянутости": чем больше эксцентриситет $\varepsilon$, тем более эллипс вытянут вдоль большой оси. Для окружности: $\varepsilon = 0$, ибо $c = 0$. Таким образом, для эллипса $0 \le \varepsilon < 1$.
Отрезки, соединяющие произвольную точку эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами эллипса.
Таким образом, фокальные радиусы эллипса есть $r_{1} =\vert F_{1}M\vert $, $ r_{2} = \vert F_{2}M\vert$. В силу (2) и $\varepsilon = \frac{c}{a}$, имеем $r_{1} = a + \varepsilon x$, $r_{2} = a - \varepsilon x$.
Две прямые, перпендикулярные прямой, проходящей через фокусы эллипса, и расположенные симметрично по отношению к центру эллипса на расстоянии $a/\varepsilon$ от него, где $a$ — длина большой полуоси, $\varepsilon$ — эксцентриситет эллипса, называются директрисами данного эллипса.
Уравнения директрис эллипса, имеют вид $\pmb{d_{1}}: x = -a/\varepsilon$, $\pmb{d_{2}}: x = a/\varepsilon$.
Поскольку для эллипса $0 \le \varepsilon < 1$, то его директрисы расположены вне эллипса.
Фокус и директрису, расположенные по одну сторону от малой оси эллипса, будем называть соответствующими друг другу. Расстояние между ними называется фокальным параметром эллипса.
Ради определенности рассмотрим фокус $F_{2}(c, 0)$ и соответствующую ему директрису $\pmb{d_{2
$ с уравнением [math]\displaystyle{ x = \frac{a}{\varepsilon} }[/math]. Пусть $\delta$ — отклонение произвольной точки эллипса от директрисы $\pmb{d_{2}}$. Уравнение директрисы $\pmb{d_{2}}: x - \frac{a}{\varepsilon} = 0$ имеет нормированный вид, ибо ее нормальный вектор $\vec {n}(1, 0)$ единичный и свободный член отрицательный. А тогда
[math]\displaystyle{ \frac{r}{d} = \frac{r_2}{\delta } = \frac{a - \varepsilon x}{-x + \frac{a}{\varepsilon}} = \frac{a - \varepsilon x}{-\frac{\varepsilon x + a}{\varepsilon }} = \varepsilon. }[/math] }} Доказанное свойство эллипса можно положить в основу его определения.
Заметим, что для эллипса определяемого уравнением (1), где $b > a$, уравнение директрис имеют вид $y = b/\varepsilon$, $y = - b /\varepsilon$.