Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть $L$ — произвольное линейное пространство, ${\bf a}_i \in L$, $i = \overline {1,n} $ — его элементы (векторы).

Определение:

Выражение $\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda_i {\bf a}_i }$, где $\lambda_i$, $i = \overline {1,n}$ — произвольные вещественные числа, называется

линейной комбинацией векторов

${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$.

Если вектор ${\bf p} = \sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _i {\bf a}_i}$, то говорят, что ${\bf p}$ разложен по векторам ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$.

Определение:

Линейная комбинация векторов называется нетривиальной, если среди чисел $\lambda _i $ есть хотя бы одно отличное от нуля. В противном случае, линейная комбинация называется тривиальной.

Определение:

Векторы ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$ называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, такая что $\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda_i {\bf a}_i} = {\bf 0}$.

Определение:

Векторы ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$ называются линейно независимыми, если равенство $\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _i {\bf a}_i} = {\bf 0}$ возможно лишь в случае, когда все числа $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n $ одновременно равны нулю.

Отметим, что всякий ненулевой элемент ${\bf a}_1$ можно рассматривать как линейно независимую систему, ибо равенство $\lambda {\bf a}_1 = {\bf 0}$ возможно лишь при условии $\lambda = 0$.

Теорема:

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$ является возможность разложения, по крайней мере, одного из этих элементов по остальным.

Доказательство:

Необходимость. Пусть элементы ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$ линейно зависимы. Это означает, что $\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _i {\bf a}_i} = {\bf 0}$, причем хотя бы одно из чисел $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ отлично от нуля. Пусть для определенности $\lambda _1 \ne 0$. Тогда ${\bf a}_1 + \sum\limits_{i = 2}^n {\frac{\lambda _i }{\lambda _1 } {\bf a}_i } = {\bf 0}$, отсюда ${\bf a}_1 = - \sum\limits_{i = 2}^n {\frac{\lambda _i }{\lambda _1 } {\bf a}_i}$, т. е. элемент ${\bf a}_1 $ разложен по элементам ${\bf a}_2, {\bf a}_3, ..., {\bf a}_n$.

Достаточность. Пусть элемент ${\bf a}_1$ разложен по элементам ${\bf a}_2, {\bf a}_3, ..., {\bf a}_n$, т. е. ${\bf a}_1 = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i {\bf a}_i }$. Тогда $ - 1 \cdot {\bf a}_1 + \sum\limits_{i = 2}^n {\alpha _i {\bf a}_i } = {\bf 0}$, следовательно, существует нетривиальная линейная комбинация векторов ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$, равная ${\bf 0}$, поэтому они являются линейно зависимыми.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Теорема:

Если хотя бы один из элементов ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$ нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

Доказательство:

Пусть ${\bf a}_n = {\bf 0}$, тогда $0 \cdot {\bf a}_1 + 0 \cdot {\bf a}_2 + ... + 0 \cdot {\bf a}_{n - 1} + 1 \cdot {\bf a}_n = {\bf 0}$, что и означает линейную зависимость указанных элементов.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Рис. 1. Слева третий вектор [math]\displaystyle{ a_3 }[/math] уже выражается через [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ a_2 }[/math], поэтому [math]\displaystyle{ 2a_1 + a_2 - a_3 = 0 }[/math] с ненулевыми коэффициентами — набор зависим. Справа два неколлинеарных вектора: равенство [math]\displaystyle{ \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 = 0 }[/math] возможно только при нулевых коэффициентах.

Теорема:

Если среди $n$ векторов какие-либо $p$ $(p < n)$ векторов линейно зависимы, то и все $n$ элементов линейно зависимы.

Доказательство:

Пусть для определенности элементы ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_p$ линейно зависимы.

Это означает, что существует такая нетривиальная линейная комбинация, что $\sum\limits_{i = 1}^p {\lambda _i {\bf a}_i} = {\bf 0}$.

Указанное равенство сохранится, если добавить к обеим его частям элемент $0 \cdot {\bf a}_{p + 1} + 0 \cdot {\bf a}_{p + 2} + ... + 0 \cdot {\bf a}_n $. Тогда $\sum\limits_{i = 1}^p {\lambda _i {\bf a}_i} + 0 \cdot {\bf a}_{p + 1} + 0 \cdot {\bf a}_{p + 2} + ... + 0 \cdot {\bf a}_n = {\bf 0}$, при этом хотя бы одно из чисел $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda _n$ отлично от нуля. Следовательно, векторы ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n$ являются линейно зависимыми.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Следствие:

Если $n$ элементов линейно независимы, то любые $k$ из них линейно независимы $(k < n)$.

Теорема:

Если векторы $ {\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_{n - 1}$ линейно независимы, а элементы ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_{n - 1}, {\bf a}_n $ линейно зависимы, то вектор ${\bf a}_n$ можно разложить по векторам ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_{n - 1}$.

Доказательство:

Так как по условию ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_{n - 1}, {\bf a}_n$ линейно зависимы, то существует их нетривиальная линейная комбинация $\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _i {\bf a}_i} = {\bf 0}$, причем $\lambda _n \ne 0$ (в противном случае, окажутся линейно зависимыми векторы ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_{n - 1}$). Но тогда вектор [math]\displaystyle{ {\bf a}_n = - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{\lambda_i}{\lambda_n} {\bf a}_i}, }[/math] что и требовалось доказать.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Рис. 2. Четыре следствия из определения: нулевой вектор делает набор зависимым; зависимость части переносится на весь набор добавлением нулевых коэффициентов; из независимости всего набора следует независимость любой его части; один ненулевой вектор независим.