Демидович: Задача 56

Предполагая, что [math]\displaystyle{ n }[/math] пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражения [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}{\left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n+1)} \right)} }[/math].

Решение

Заметим, что [math]\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n+1)} }[/math] [math]\displaystyle{ = \left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \ldots + + \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ = 1 - \frac{1}{n+1} }[/math].

Тогда [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}{\left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n+1)} \right)} }[/math] [math]\displaystyle{ =\lim_{n \to \infty}{\left(1 - \frac{1}{n+1} \right)} = 1 }[/math].