Положительно определенные квадратичные формы
Канонический вид любой квадратичной формы определен неоднозначно. Например, если квадратичная форма имеет канонический вид [math]\displaystyle{ f(\xi_1, \xi_2, ...,\xi_n ) = \lambda_1 \xi_1^2 + \cdots + \lambda_k \xi_k^2 - \lambda_{k + 1} \xi_{k + 1}^2 - \cdots - \lambda_n \xi_n^2, }[/math] где [math]\displaystyle{ \lambda_i \ge 0 }[/math] для любого [math]\displaystyle{ i = \overline {1,n} }[/math], то всегда можно сделать еще одно невырожденное преобразование по формулам [math]\displaystyle{ \eta_1 = \sqrt {\lambda_1 } \xi_1 }[/math], ..., [math]\displaystyle{ \eta_k = \sqrt {\lambda_k } \xi_k }[/math], ..., [math]\displaystyle{ \eta_n = \sqrt {\lambda_n } \xi_n }[/math], в результате которого получаем [math]\displaystyle{ g(\eta_1, \eta_2, ...,\eta_n ) = \eta_1^2 + \cdots + \eta_k^2 - \eta _{k + 1}^2 - \cdots - \eta_n^2 . }[/math]
Общим у этих квадратичных форм является количество [math]\displaystyle{ N^{+} }[/math] положительных коэффициентов и количество [math]\displaystyle{ N^{-} }[/math] отрицательных коэффициентов. Таким образом, общее число ненулевых коэффициентов составляет [math]\displaystyle{ N^{+} + N^{-} }[/math], а оно равно рангу квадратичной формы.
Пусть квадратичная форма [math]\displaystyle{ f({\bf x})=f(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n ) }[/math] с помощью невырожденного преобразования [math]\displaystyle{ {\bf x} = {\bf By} }[/math] приводится к каноническому виду [math]\displaystyle{ g({\bf y}) = g(\eta_1, \eta_2, ..., \eta_n ) = \alpha_1 \eta_1^2 + \cdots + \alpha_k \eta_k^2 - \alpha_{k + 1} \eta_{k + 1}^2 - \cdots - \alpha_n \eta_n^2 }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha_i \ge 0 }[/math], [math]\displaystyle{ i = \overline {1,n} }[/math], а в результате преобразования [math]\displaystyle{ {\bf x} = {\bf Cz} }[/math] к виду [math]\displaystyle{ \varphi ({\bf z}) = \varphi (\zeta_1, \zeta_2, ..., \zeta_n ) = \beta_1 \zeta_1^2 + \cdots + \beta_r \eta_r^2 - \beta_{r + 1} \eta_{r + 1}^2 - \cdots - \beta_n \zeta_n^2 }[/math].
Предположим противное, что [math]\displaystyle{ k \lt r }[/math]. Заметим, что указанные линейные преобразования являются обратимыми, поэтому имеем
[math]\displaystyle{ {\bf y} = {\bf B}^{-1}{\bf x} \Leftrightarrow \eta_i = \sum\limits_{j = 1}^n {\mu_{ij} \xi_j }, i = \overline {1,n}, }[/math]
[math]\displaystyle{ {\bf z} = {\bf C}^{ - 1}{\bf x} \Leftrightarrow \zeta_i = \sum\limits_{j = 1}^n {\theta_{ij} \xi_j }, i = \overline {1,n} . }[/math]
Положим [math]\displaystyle{ \eta_1 = \eta_2 = \cdots = \eta_k = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \zeta_{r + 1} = \zeta _{r + 2} = \cdots = \zeta_n = 0 }[/math]. Указанные равенства определяют систему линейных алгебраических уравнений
[math]\displaystyle{ \label{eq5} \left\{ \begin{array}{l} \sum\limits_{j = 1}^n {\mu_{ij} \xi_j = 0, i = \overline {1,k}, } \\ \sum\limits_{j = 1}^n {\theta_{ij} \xi_j = 0, i = \overline {r + 1,n} .} \\ \end{array} \right. }[/math]
Число уравнений в системе равно [math]\displaystyle{ k + n - r }[/math], а число неизвестных [math]\displaystyle{ n }[/math]. По предположению [math]\displaystyle{ k \lt r }[/math], поэтому [math]\displaystyle{ k + n - r \lt n }[/math]. Следовательно, система имеет нетривиальное решение [math]\displaystyle{ \xi_1^\ast, \xi_2^\ast, ..., \xi_n^\ast }[/math].
Тогда [math]\displaystyle{ \eta_i^\ast = \sum\limits_{j = 1}^n {\mu_{ij} \xi_j^\ast } }[/math], причем [math]\displaystyle{ \eta_{1 }^\ast = \eta_{2 }^\ast = \cdots = \eta_{k }^\ast = 0 }[/math], а [math]\displaystyle{ \zeta_i^\ast = \sum\limits_{j = 1}^n {\theta_{ij} \xi_j^\ast } }[/math], где [math]\displaystyle{ \zeta_{r + 1}^\ast = \zeta_{r + 2}^\ast = \cdots = \zeta_{n}^\ast = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ i = \overline {1,n} }[/math]. Поэтому, с одной стороны, имеем [math]\displaystyle{ f(\xi_1^\ast, \xi_2^\ast, ...,\xi_n^\ast ) = g(\eta_1^\ast, \eta_2^\ast, ...,\eta_n^\ast ) = - \alpha_{k + 1} \eta_{k + 1}^{\ast 2} - \cdots - \alpha_n \eta_n^{\ast 2} \lt 0, }[/math] а с другой стороны, получаем [math]\displaystyle{ f(\xi_1^\ast, \xi_2^\ast, ..., \xi_n^\ast ) = \varphi (\zeta_1^\ast, \zeta_2^\ast, ..., \zeta_n^\ast ) = \beta_1 \zeta_1^{\ast 2} + \cdots + \beta_r \zeta_r^{\ast 2} \gt 0. }[/math]
Полученное противоречие доказывает, что [math]\displaystyle{ k = r = N^{+} }[/math].