Последовательности в пространстве Rn

Пусть каждому натуральному [math]\displaystyle{ k }[/math] поставлен в соответствие вектор [math]\displaystyle{ {\bf x}^{(k)}=(x_1^{(k)},\ldots,x_n^{(k)})^T }[/math]. Тогда говорят, что задана последовательность элементов в пространстве [math]\displaystyle{ R^n }[/math]: [math]\displaystyle{ \big\{ {\bf x}^{(k)}\big\}_{k=1}^{+\infty} }[/math].

Определение:

Точка [math]\displaystyle{ {\bf a}\in R^n }[/math] называется пределом последовательности [math]\displaystyle{ \big\{ {\bf x}^{(k)}\big\} }[/math] при [math]\displaystyle{ k\to+\infty }[/math] (пишут [math]\displaystyle{ {\bf a}=\lim\limits_{k\to+\infty}{\bf x}^{(k)} }[/math]), если для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] можно указать номер [math]\displaystyle{ K \gt 0 }[/math], такой что при всех [math]\displaystyle{ k\geq K }[/math] выполнено условие [math]\displaystyle{ \rho({\bf x}^{(k)},{\bf a}) \lt \varepsilon }[/math].

Теорема:

Пусть [math]\displaystyle{ {\bf a}=(a_1,\ldots,a_n)^T }[/math], [math]\displaystyle{ {\bf x}^{(k)}=(x_1^{(k)},\ldots,x_n^{(k)})^T }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ {\bf a}=\lim\limits_{k\to+\infty}{\bf x}^{(k)} }[/math] тогда и только тогда, когда

[math]\displaystyle{ a_i=\lim\limits_{k\to+\infty}x_i^{(k)},\quad i=1,\ldots,n. }[/math]

Доказательство:

Доказательство теоремы вытекает из леммы (об эквивалентности в плане близости сферической и параллелепипедальной метрик). В самом деле, согласно этой лемме, имеем что требование [math]\displaystyle{ \sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i^{(k)}-a_i)^2}\to0\quad\hbox{при}\quad k\to+\infty }[/math] эквивалентно требованию [math]\displaystyle{ \max_{i=1,\ldots,n}|x_i^{(k)}-a_i|\to0\quad\hbox{при}\quad k\to+\infty }[/math].

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Таким образом, исследование сходимости последовательности в [math]\displaystyle{ R^n }[/math] сводится к исследованию сходимости одномерных числовых последовательностей. Значит, вся теория, построенная ранее для одномерных числовых последовательностей, может быть распространена и на многомерный случай. Единственно, стоит заметить, что пространство [math]\displaystyle{ R^n }[/math] не упорядочено, т.е. между его элементами не установлены операции отношения "[math]\displaystyle{ \lt }[/math]", "[math]\displaystyle{ \gt }[/math]", "[math]\displaystyle{ \leq }[/math]", "[math]\displaystyle{ \geq }[/math]". Поэтому теоремы из одномерного анализа, где используются эти операции, напрямую на многомерный случай не переносятся.

Определение:

Последовательность [math]\displaystyle{ \big\{ {\bf x}^{(k)}\big\} }[/math] называется ограниченной, если существует [math]\displaystyle{ M \geq 0 }[/math], такое что [math]\displaystyle{ \rho({\bf x}^{(k)},{\bf0})\leq M }[/math] при всех [math]\displaystyle{ k=1,2,\ldots }[/math]. Здесь [math]\displaystyle{ {\bf 0}=(0,\ldots,0)^T }[/math] — нулевой элемент пространства [math]\displaystyle{ R^n }[/math].

Для пространства [math]\displaystyle{ R^n }[/math] верны следующие утверждения:

• Если предел последовательности существует, то он единственен.
• Если последовательность сходится, то она ограничена.
• Сходимость последовательности эквивалентна выполнению критерия Коши: для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] можно найти такое [math]\displaystyle{ K \gt 0 }[/math], что для любых натуральных [math]\displaystyle{ k\geq K }[/math] и [math]\displaystyle{ p \geq 0 }[/math] имеет место условие [math]\displaystyle{ \rho({\bf x}^{(k+p)},{\bf x}^{(k)}) \lt \varepsilon }[/math].
• Справедливы арифметические свойства предела.
• Если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу.
• Справедлива теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
• И т.д.